【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第七章　第4讲　基本不等式作业 4页

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2021-06-16 发布

【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第七章　第4讲　基本不等式作业

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第4讲　基本不等式 ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，‎ 所以xy≤＝＝1，‎ 所以≥1.‎ ‎2．下列选项中，正确的是(　　)‎ A．x＋的最小值为2‎ B．sin x＋的最小值为4，x∈(0，π)‎ C．x2＋1的最小值为2‎ D．4x(1－x)的最大值为1‎ 解析：选D.对于A，当x<0时，x＋<0，错误；对于B，当x∈(0，π)时，00，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)‎ A．0 B. C．1 D．解析：选A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝‎ eq f(1,x＋f(1,2))，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.‎ ‎4．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选B.法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.‎ 法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.‎ 法三：由题意知a＝(b>1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.‎ ‎5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．‎ 解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.‎ 答案：30‎ ‎6．函数y＝(x>－1)的最小值为．‎ 解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，‎ 所以y≥2－2＝0，‎ 当且仅当x＝0时，等号成立．‎ 答案：0‎ ‎7．(2020·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为，＋的最小值为．‎ 解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.‎ 答案：2　 ‎8．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，‎ 得＋＝1，‎ 又x>0，y>0，‎ 则1＝＋≥2 ＝.‎ 得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)‎ ‎＝10＋＋≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)‎ A．16 B．9‎ C．4 D．2‎ 解析：选C.在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)．‎ 由题意知2＋1≥5，所以a≥4.‎ ‎2．(2020·陕西铜川一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．3 B．5‎ C．7 D．9‎ 解析：选C.因为x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.‎ ‎3．已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是．‎ 解析：因为x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，所以x2＋y2的最小值为.‎ 若a≤＋恒成立，则a小于等于的最小值，因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．‎ 答案：　(－∞，9]‎ ‎4．(2020·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为．‎ 解析：因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋2y)(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.‎ 答案：7＋4

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