浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量补上一课空间角的大小比较及最值范围问题课件 31页

空间角的大小比较及最值 ( 范围 ) 问题 1. 空间角的大小比较是每年高考的常考题型，以选择题的形式考查，主要类型有线线角间的大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线面角、面面角间的大小比较，主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较法及利用最小角定理等方法 . 2. 立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型，常与图形转折、点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数 ( 导数 ) 法，不等式法等 . 知识拓展 题型一　空间角的大小比较 类型 1 　同类角间的大小比较 【例 1 － 1 】 (1) (2020· 嘉兴测试 ) 已知长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 为正方形， AA 1 ＝ a ， AB ＝ b ，且 a ＞ b ，侧棱 CC 1 上一点 E 满足 CC 1 ＝ 3 CE ，设异面直线 A 1 B 与 AD 1 ， A 1 B 与 D 1 B 1 ， AE 与 D 1 B 1 的所成角分别为 α ， β ， γ ，则 ( 　　 ) A. α ＜ β ＜ γ B. γ ＜ β ＜ α C. β ＜ α ＜ γ D. α ＜ γ ＜ β 题型突破 (2) 如图 ① ，作出点 D 在底面 ABC 上的射影 O ，过点 O 分别作 PR ， PQ ， QR 的垂线 OE ， OF ， OG ，连接 DE ， DF ， DG ，则 α ＝ ∠ DEO ， β ＝ ∠ DFO ， γ ＝ ∠ DGO . 由图可知它们的对边都是 DO ， ∴ 只需比较 EO ， FO ， GO 的大小即可 . 如图 ② ，在 AB 边上取点 P ′ ，使 AP ′ ＝ 2 P ′ B ，连接 OQ ， OR ，则 O 为 △ QRP ′ 的中心 . 答案　 (1)A 　 (2)B 类型 2 　不同类型角间的大小比较 【例 1 － 2 】 (1) (2019· 浙江卷 ) 设三棱锥 V － ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等， P 是棱 VA 上的点 ( 不含端点 ). 记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 α ，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 β ，二面角 P － AC － B 的平面角为 γ ，则 ( 　　 ) A. β < γ ， α < γ B. β < α ， β < γ C. β < α ， γ < α D. α < β ， γ < β (2) ( 一题多解 )(2018· 浙江卷 ) 已知四棱锥 S － ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等， E 是线段 AB 上的点 ( 不含端点 ). 设 SE 与 BC 所成的角为 θ 1 ， SE 与平面 ABCD 所成的角为 θ 2 ，二面角 S － AB － C 的平面角为 θ 3 ，则 ( 　　 ) A. θ 1 ≤ θ 2 ≤ θ 3 B. θ 3 ≤ θ 2 ≤ θ 1 C. θ 1 ≤ θ 3 ≤ θ 2 D. θ 2 ≤ θ 3 ≤ θ 1 解析 　 (1) 由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等 . 因为点 P 是棱 VA 上的点 ( 不含端点 ) ，所以直线 PB 与平面 ABC 所成的角 β 小于直线 VB 与平面 ABC 所成的角，而直线 VB 与平面 ABC 所成的角小于二面角 P － AC － B 的平面角 γ ，所以 β < γ ；因为 AC ⊂ 平面 ABC ，所以直线 PB 与直线 AC 所成的角 α 大于直线 PB 与平面 ABC 所成的角 β ，即 α > β . 故选 B. (2) 法一 　由题意知四棱锥 S － ABCD 为正四棱锥，如图，连接 AC ， BD ，记 AC ∩ BD ＝ O ，连接 SO ，则 SO ⊥ 平面 ABCD ，取 AB 的中点 M ，连接 SM ， OM ， OE ，易得 AB ⊥ SM ，则 θ 2 ＝ ∠ SEO ， θ 3 ＝ ∠ SMO ，易知 θ 3 ≥ θ 2 . 再根据最小角定理知 θ 3 ≤ θ 1 ，所以 θ 2 ≤ θ 3 ≤ θ 1 ，故选 D. 答案　 (1)B 　 (2)D 【训练 1 】 (1) (2020· 浙江十校联盟适考 ) 已知 三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的所有棱长均相等，侧棱 AA 1 ⊥ 平面 ABC . 过 AB 1 作平面 α 与 BC 1 平行，设平面 α 与平面 ACC 1 A 1 的交线为 l ，记直线 l 与直线 AB ， BC ， CA 所成锐角分别为 θ ， β ， γ ，则这三个角的大小关系为 ( 　　 ) A. θ ＞ γ ＞ β B. θ ＝ β ＞ γ C. γ ＞ β ＞ θ D. θ ＞ β ＝ γ (2) (2020· 浙江新高考仿真卷一 ) 已知三棱锥 S － ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA ＜ SB ＜ SC ，平面 SBC ， SCA ， SAB 与平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α 1 ， α 2 ， α 3 ，则 ( 　　 ) A. α 1 ＜ α 2 B. α 1 ＞ α 2 C. α 2 ＜ α 3 D. α 2 ＞ α 3 (3) (2020· 浙江三校三联 ) 已知正三棱锥 S － ABC 中， G 为 BC 的中点， E 为线段 BG 上的动点 ( 不包括端点 ) ， SE 与平面 ABC 所成的角为 α ，二面角 S － BC － A 的平面角为 β ， SE 与 AC 所成的角为 γ ，则 ( 　　 ) A. β ＞ γ ＞ α B. γ ＞ β ＞ α C. γ ＞ α ＞ β D. β ＞ α ＞ γ 答案　 (1)B 　 (2)A 　 (3)B 题型二　空间角的最值 【例 2 】 (1) (2020· 台州期末评估 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， AD ＝ 1 ， M 为 AB 的中点，将 △ ADM 沿 DM 翻折，在翻折过程中，当二面角 A － BC － D 的平面角最大时，其正切值为 ( 　　 ) (2) 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 是棱 AB 上的动点 ( P 点可以运动到端点 A 和 B ) ，设在运动过程中，平面 PDB 1 与平面 ADD 1 A 1 所成的最小角为 α ，则 cos α ＝ ________. 【训练 2 】 (1) 已知三棱锥 P － ABC 中，点 P 在底面 ABC 上的投影正好在等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 上 ( 不包含两端点 ) ，点 P 到底面 ABC 的距离等于等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 的长 . 设平面 PAC 与底面 ABC 所成的角为 α ，平面 PBC 与底面 ABC 所成的角为 β ，则 tan( α ＋ β ) 的最小值为 ________. (2) 如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点 . 设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ ，则 cos θ 的最大值是 ________. 答案　 (1)C 　 (2)C