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- 2021-06-16 发布
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复 习 课
整合·网络构建]
警示·易错提醒]
1.不等式性质的两个易错点.
(1)忽略不等式乘法中“大于 0”这一条件.
(2)求相关式子的取值范围时,常常因变形不等价导致错误.
2.应用基本不等式求最值的三个注意点.
(1)“一正”:各项或各因数都是正数.
(2)“二定”:积(或和)为定值.
(3)“三等”:等号成立的条件.
3.绝对值不等式的两个注意点.
(1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉
绝对值符号.
(2)在应用零点分段法分类讨论时,要注意做到分类标准统一,分
类方法既不重复又不遗漏,在应用平方法时,要注意同解变形.
专题一 基本不等式的应用
在用基本不等式求最值时,“正数”“相等”等条件往往容易从题
设中获得或验证,而“定值”则需要一定的技巧和方法.常用的方法
有“加-项、减-项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等.
例 1] 已知 x>1,求函数 y=x2-2x+2
2x-2
的最小值.
解:y=x2-2x+2
2x-2
=
(x-1)2+1
2(x-1)
=
1
2
(x-1)+
1
x-1 ≥1,
当且仅当 x-1= 1
x-1
,即 x=2时,等号成立,
所以当 x=2时,y有最小值,最小值为 1.
归纳升华
1.利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,“一
正”是指各项均为正数;“二定”就是若积为定值则和有最小值,若
和为定值则积有最大值;“三相等”就是必须验证等号成立的条件,
若等号不在给定的区间内,通常利用函数的单调性求最值.
2.基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化,使用基本
不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需
要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不
等式的形式再进行求解.
变式训练] 已知 x>0,y>0,且
1
x
+
9
y
=1,求 x+y的最小值.
解:法一:因为 x>0,y>0,1
x
+
9
y
=1,
所以 x+y=1·(x+y)=
1
x
+
9
y (x+y)=y
x
+
9x
y
+10≥2 y
x
·
9x
y
+
10=6+10=16,
当且仅当
y
x
=
9x
y
,且
1
x
+
9
y
=1,
所以当 x=4,y=12时,x+y有最小值为 16.
法二:因为由
1
x
+
9
y
=1得(x-1)(y-9)=9(定值),
且 x>0,y>0,
所以 x>1,y>9,
所以 x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2 (x-1)(y-9)+10=16,
当且仅当
x-1=y-9,
(x-1)(y-9)=9
即
x=4,
y=12
时,等号成立,
所以 x+y有最小值为 16.
专题二 绝对值三角不等式的应用
绝对值三角不等式指的是||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.这是一类特殊
的不等式,它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关
系,常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明.
例 2] 求函数 y=|x-2|+|x+5|的最小值.
解:y=|x-2|+|x+5|≥|(x-2)-(x+5)|=7.
当且仅当(x-2)(x+5)≤0,即-5≤x≤2时等号成立,
故函数的最小值为 7.
归纳升华
绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺
度”还要仔细把握,如下面的式子:
|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a+b|.
我们较为常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,但有些学生就会
误认为只能如此,而实质上,|a+b|是不小于|a|-|b|的.
变式训练] (2016·江苏卷)设 a>0,|x-1|<a
3
,|y-2|<a
3
,求证:
|2x+y-4|<a.
证明:因为|x-1|<a
3
,|y-2|<a
3
,a>0,
所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2a
3
+
a
3
=a,
故不等式成立.
专题三 绝对值不等式的解法
解绝对值不等式的基本思想就是去掉绝对值符号,使不等式变成
不含绝对值的一般不等式或不等式组,(1)利用|ax+b|≤c和|ax+b|≥c
型的解法可以解决形如|f(x)|≤g(x),c≤|ax+b|≤b的不等式.
(2)根据绝对值的意义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函
数,或利用平方去掉绝对值符号,是常用的思维方法.
例 3] 解不等式|x-1|+|2-x|>3+x.
解:把原不等式变为|x-1|+|x-2|>3+x,
令|x-1|=0,得 x=1;令|x-2|=0,得 x=2.
这样,1,2的对应点把数轴分成了三个部分.
(1)当 x≤1时,x-1≤0,x-2<0,
所以原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x,
解得 x<0.
由
x≤1,
x<0
得 x<0.
(2)当 1<x≤2时,x-1>0,x-2≤0,
所以原不等式变为 x-1-(x-2)>3+x,
解得 x<-2.
由
1<x≤2,
x<-2
得 x∈∅.
(3)当 x>2时, x-1>0,x-2>0,
所以原不等式变为 x-1+x-2>3+x,解得 x>6.
由
x>2,
x>6
得 x>6.
综上所示,原不等式的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).
归纳升华
1.|ax+b|≤c(c>0),|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.
c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c 等价于 ax
+b≥c或 ax+b≤-c,然后根据 a,b的值解出即可.
2.对于形如|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c的不等式,可通
过分类讨论或利用绝对值的几何意义求解.
利用绝对值的几何意义或者画出函数的图象去解不等式,更为直
观、简捷,它体现了数形结合思想方法的优越性.
变式训练] 解不等式|x+2|+|1-x|<x+4.
解:原不等式为|x+2|+|x-1|<x+4.
所以可把全体实数分为三部分:
x<-2,-2≤x<1,x≥1.
于是原不等式的解集是下面三个不等式组的解集的并集:
(1)
x<-2,
-x-2+1-x<x+4,
得解集为∅.
(2)
-2≤x<1,
x+2+1-x<x+4,
得-1<x<1.
(3)
x≥1,
x+2+x-1<x+4,
得 1≤x<3.
所以原不等式的解集是{x|-1<x<3}.
专题四 数形结合思想
包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分
为两种情形:借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作
为手段,数为目的;或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些
属性,即以数作为手段,形作为目的.
例 4] 解不等式|x+1|+|x|<2.
解:法一:由绝对值的几何意义知,
|x+1|表示数轴上点 P(x)到点 A(-1)的距离,|x|表示数轴上点 P(x)
到点 O(0)的距离.
由条件知这两个距离之和小于 2.
由数轴(如图①所示)可知原不等式的解集为
x|-
3
2
<x<1
2|.
图① 图②
法二:令 f(x)=|x+1|+|x|-2,
则 f(x)=
2x-1(x≥0),
-1(-1<x<0),
-2x-3(x≤-1).
作函数 f(x)的图象(如图②所示),
由图象可知,当 f(x)<0时,-
3
2
<x<1
2
.
故原不等式的解集为 x|-
3
2
<x<1
2 .
归纳升华
1.利用函数图象解题,直观快捷,注意作图的准确性.
2.在解决数学问题时,将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,
使抽象思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系和
转化,即把数量关系转化为图象的性质来确定或者把图象的性质转化
为数量关系的问题来研究.
变式训练] 已知关于 x的不等式|3x-1|+x<ax有解,求 a的取
值范围.
解:设 y1=|3x-1|+x,y2=ax,则 y1=
1-2x,x<1
3
,
4x-1,x≥1
3
.
分别作出两函数的图象,如图所示.
当 y2=ax的图象过点 A
1
3
,
1
3 时,a=1,
若 y1<y2有解,
则 y1的图象与 y2的图象应有交点,且 y1在 y2的下方应有图象,故
a>1或 a<-2,
即 a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).
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