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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修4-5练习:第一讲复 习 课word版含解析

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复 习 课 整合·网络构建] 警示·易错提醒] 1.不等式性质的两个易错点. (1)忽略不等式乘法中“大于 0”这一条件. (2)求相关式子的取值范围时,常常因变形不等价导致错误. 2.应用基本不等式求最值的三个注意点. (1)“一正”:各项或各因数都是正数. (2)“二定”:积(或和)为定值. (3)“三等”:等号成立的条件. 3.绝对值不等式的两个注意点. (1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉 绝对值符号. (2)在应用零点分段法分类讨论时,要注意做到分类标准统一,分 类方法既不重复又不遗漏,在应用平方法时,要注意同解变形. 专题一 基本不等式的应用 在用基本不等式求最值时,“正数”“相等”等条件往往容易从题 设中获得或验证,而“定值”则需要一定的技巧和方法.常用的方法 有“加-项、减-项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等. 例 1] 已知 x>1,求函数 y=x2-2x+2 2x-2 的最小值. 解:y=x2-2x+2 2x-2 = (x-1)2+1 2(x-1) = 1 2 (x-1)+ 1 x-1 ≥1, 当且仅当 x-1= 1 x-1 ,即 x=2时,等号成立, 所以当 x=2时,y有最小值,最小值为 1. 归纳升华 1.利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,“一 正”是指各项均为正数;“二定”就是若积为定值则和有最小值,若 和为定值则积有最大值;“三相等”就是必须验证等号成立的条件, 若等号不在给定的区间内,通常利用函数的单调性求最值. 2.基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化,使用基本 不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需 要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不 等式的形式再进行求解. 变式训练] 已知 x>0,y>0,且 1 x + 9 y =1,求 x+y的最小值. 解:法一:因为 x>0,y>0,1 x + 9 y =1, 所以 x+y=1·(x+y)= 1 x + 9 y (x+y)=y x + 9x y +10≥2 y x · 9x y + 10=6+10=16, 当且仅当 y x = 9x y ,且 1 x + 9 y =1, 所以当 x=4,y=12时,x+y有最小值为 16. 法二:因为由 1 x + 9 y =1得(x-1)(y-9)=9(定值), 且 x>0,y>0, 所以 x>1,y>9, 所以 x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2 (x-1)(y-9)+10=16, 当且仅当 x-1=y-9, (x-1)(y-9)=9 即 x=4, y=12 时,等号成立, 所以 x+y有最小值为 16. 专题二 绝对值三角不等式的应用 绝对值三角不等式指的是||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.这是一类特殊 的不等式,它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关 系,常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明. 例 2] 求函数 y=|x-2|+|x+5|的最小值. 解:y=|x-2|+|x+5|≥|(x-2)-(x+5)|=7. 当且仅当(x-2)(x+5)≤0,即-5≤x≤2时等号成立, 故函数的最小值为 7. 归纳升华 绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺 度”还要仔细把握,如下面的式子: |a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a+b|. 我们较为常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,但有些学生就会 误认为只能如此,而实质上,|a+b|是不小于|a|-|b|的. 变式训练] (2016·江苏卷)设 a>0,|x-1|<a 3 ,|y-2|<a 3 ,求证: |2x+y-4|<a. 证明:因为|x-1|<a 3 ,|y-2|<a 3 ,a>0, 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2a 3 + a 3 =a, 故不等式成立. 专题三 绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的基本思想就是去掉绝对值符号,使不等式变成 不含绝对值的一般不等式或不等式组,(1)利用|ax+b|≤c和|ax+b|≥c 型的解法可以解决形如|f(x)|≤g(x),c≤|ax+b|≤b的不等式. (2)根据绝对值的意义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函 数,或利用平方去掉绝对值符号,是常用的思维方法. 例 3] 解不等式|x-1|+|2-x|>3+x. 解:把原不等式变为|x-1|+|x-2|>3+x, 令|x-1|=0,得 x=1;令|x-2|=0,得 x=2. 这样,1,2的对应点把数轴分成了三个部分. (1)当 x≤1时,x-1≤0,x-2<0, 所以原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x, 解得 x<0. 由 x≤1, x<0 得 x<0. (2)当 1<x≤2时,x-1>0,x-2≤0, 所以原不等式变为 x-1-(x-2)>3+x, 解得 x<-2. 由 1<x≤2, x<-2 得 x∈∅. (3)当 x>2时, x-1>0,x-2>0, 所以原不等式变为 x-1+x-2>3+x,解得 x>6. 由 x>2, x>6 得 x>6. 综上所示,原不等式的解集为(-∞,0)∪(6,+∞). 归纳升华 1.|ax+b|≤c(c>0),|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c 等价于 ax +b≥c或 ax+b≤-c,然后根据 a,b的值解出即可. 2.对于形如|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c的不等式,可通 过分类讨论或利用绝对值的几何意义求解. 利用绝对值的几何意义或者画出函数的图象去解不等式,更为直 观、简捷,它体现了数形结合思想方法的优越性. 变式训练] 解不等式|x+2|+|1-x|<x+4. 解:原不等式为|x+2|+|x-1|<x+4. 所以可把全体实数分为三部分: x<-2,-2≤x<1,x≥1. 于是原不等式的解集是下面三个不等式组的解集的并集: (1) x<-2, -x-2+1-x<x+4, 得解集为∅. (2) -2≤x<1, x+2+1-x<x+4, 得-1<x<1. (3) x≥1, x+2+x-1<x+4, 得 1≤x<3. 所以原不等式的解集是{x|-1<x<3}. 专题四 数形结合思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分 为两种情形:借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作 为手段,数为目的;或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些 属性,即以数作为手段,形作为目的. 例 4] 解不等式|x+1|+|x|<2. 解:法一:由绝对值的几何意义知, |x+1|表示数轴上点 P(x)到点 A(-1)的距离,|x|表示数轴上点 P(x) 到点 O(0)的距离. 由条件知这两个距离之和小于 2. 由数轴(如图①所示)可知原不等式的解集为 x|- 3 2 <x<1 2|. 图① 图② 法二:令 f(x)=|x+1|+|x|-2, 则 f(x)= 2x-1(x≥0), -1(-1<x<0), -2x-3(x≤-1). 作函数 f(x)的图象(如图②所示), 由图象可知,当 f(x)<0时,- 3 2 <x<1 2 . 故原不等式的解集为 x|- 3 2 <x<1 2 . 归纳升华 1.利用函数图象解题,直观快捷,注意作图的准确性. 2.在解决数学问题时,将抽象的数学语言与直观的图象结合起来, 使抽象思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系和 转化,即把数量关系转化为图象的性质来确定或者把图象的性质转化 为数量关系的问题来研究. 变式训练] 已知关于 x的不等式|3x-1|+x<ax有解,求 a的取 值范围. 解:设 y1=|3x-1|+x,y2=ax,则 y1= 1-2x,x<1 3 , 4x-1,x≥1 3 . 分别作出两函数的图象,如图所示. 当 y2=ax的图象过点 A 1 3 , 1 3 时,a=1, 若 y1<y2有解, 则 y1的图象与 y2的图象应有交点,且 y1在 y2的下方应有图象,故 a>1或 a<-2, 即 a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).