2021届高考数学一轮复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式课件新人教A版 37页

第 1 节　不等式的性质与一元二次不等式 考试要求　 1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 ( 组 ) 的实际背景； 2. 会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型； 3. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 4. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 知 识 梳 理 1. 实数大小比较的依据 (1) a > b ⇔ a － b >0 ； (2) a ＝ b ⇔ a － b ＝ 0 ； (3) a < b ⇔ a － b <0. 2. 不等式的性质 ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ 3. 三个 “ 二次 ” 间的关系 判别式 Δ ＝ b 2 － 4 ac Δ ＞ 0 Δ ＝ 0 Δ ＜ 0 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ＞ 0) 的图象 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ＞ 0) 的根 有两相异实根 x 1 ， x 2 ( x 1 ＜ x 2 ) 有两相等实根 没有实 数根 ax 2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 ( a ＞ 0) 的解集 _________________ _________________ _______ ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0( a ＞ 0) 的解集 ________________ _________ _________ { x | x ＞ x 2 或 x ＜ x 1 } R { x | x 1 ＜ x ＜ x 2 }   [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 有关分式的性质 2. 对于不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 ，求解时不要忘记 a ＝ 0 时的情形 . 3. 当 Δ <0 时，不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) 的解集为 R 还是 ∅ ，要注意区别 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) a ＞ b ⇔ ac 2 ＞ bc 2 .( 　　 ) (2) 若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，则必有 a ＞ 0.( 　　 ) (3) 若方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ＜ 0) 没有实数根，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＞ 0( a <0) 的解集为 R .( 　　 ) (4) 不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ 0 在 R 上恒成立的条件是 a ＜ 0 且 Δ ＝ b 2 － 4 ac ≤ 0.( 　　 ) 解析　 (1) 由不等式的性质， ac 2 ＞ bc 2 ⇒ a ＞ b ；反之， c ＝ 0 时， a ＞ b ⇒ / ac 2 ＞ bc 2 . (3) 若方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a <0) 没有实根，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a <0) 的解集为 ∅ . (4) 当 a ＝ b ＝ 0 ， c ≤ 0 时，不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ 0 也在 R 上恒成立 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 新教材必修第一册 P55T3 改编 ) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 5 x ＋ 4<0} ， B ＝ { x | x 2 － x － 6<0} ，则 A ∩ B ＝ ( 　　 ) A.( － 2 ， 3) B.(1 ， 3) C.(3 ， 4) D.( － 2 ， 4) 解析　 由题意知 A ＝ { x |1< x <4} ， B ＝ { x | － 2< x <3} ，所以 A ∩ B ＝ (1 ， 3). 答案　 B 3. ( 老教材必修 5P74 例 1 改编 ) 若 a ＞ b ＞ 0 ， c ＜ d ＜ 0 ，则一定有 ( 　　 ) 答案　 B 4. (2020· 厦门期末 ) 实数 x ， y 满足 x > y ，则下列不等式成立的是 ( 　　 ) 解析　 由 x > y ，得－ x < － y ，所以 2 － x <2 － y ，故选 B. 答案　 B 5. (2019· 河北重点中学模拟 ) 不等式 2 x 2 － x － 3>0 的解集为 ________. 6. (2020· 汉中调研 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ ax － 1 ，若对任意实数 x ，恒有 f ( x ) ≤ 0 ，则实数 a 的取值范围是 ______. 答案　 [ － 4 ， 0] 考点一　不等式的性质及应用 多维探究 角度 1 　比较大小及不等式性质的简单应用 ② 中，因为 b ＜ a ＜ 0 ，所以－ b ＞－ a ＞ 0. 故－ b ＞ | a | ，即 | a | ＋ b ＜ 0 ，故 ② 错误； ④ 中，因为 b ＜ a ＜ 0 ，根据 y ＝ x 2 在 ( － ∞ ， 0) 上为减函数，可得 b 2 ＞ a 2 ＞ 0 ，而 y ＝ ln x 在定义域 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数，所以 ln b 2 ＞ ln a 2 ，故 ④ 错误 . 由以上分析，知 ①③ 正确 . 角度 2 　利用不等式性质求范围 【例 1 － 2 】 ( 一题多解 ) 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ，若 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2 ， 2 ≤ f (1) ≤ 4 ，则 f ( － 2) 的取值范围是 ________. 解析　法一　 设 f ( － 2) ＝ mf ( － 1) ＋ nf (1)( m ， n 为待定系数 ) ， 则 4 a － 2 b ＝ m ( a － b ) ＋ n ( a ＋ b ) ，即 4 a － 2 b ＝ ( m ＋ n ) a ＋ ( n － m ) b . ∴ f ( － 2) ＝ 3 f ( － 1) ＋ f (1). 又 ∵ 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2 ， 2 ≤ f (1) ≤ 4. ∴ 5 ≤ 3 f ( － 1) ＋ f (1) ≤ 10 ， 故 5 ≤ f ( － 2) ≤ 10. ∴ f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b ＝ 3 f ( － 1) ＋ f (1). 又 ∵ 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2 ， 2 ≤ f (1) ≤ 4 ， ∴ 5 ≤ 3 f ( － 1) ＋ f (1) ≤ 10 ，故 5 ≤ f ( － 2) ≤ 10. 当 f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b 过点 B (3 ， 1) 时， 取得最大值 4 × 3 － 2 × 1 ＝ 10 ， ∴ 5 ≤ f ( － 2) ≤ 10. 答案　 [5 ， 10] 规律方法　 1. 比较两个数 ( 式 ) 大小的两种方法 2. 与命题真假判断相结合问题 . 解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法 . 3. 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大 . 【训练 1 】 (1) ( 角度 1) 若 a < b <0 ，给出下列不等式： (2) ∵ － 1< x <3 ，－ 1< y <3 ， ∴ － 3< － y <1 ， ∴ － 4< x － y <4. 又 ∵ x < y ， ∴ x － y <0 ， ∴ － 4< x － y <0 ， 故 x － y 的取值范围为 ( － 4 ， 0). 答案　 (1)D 　 (2)( － 4 ， 0) 考点二　一元二次不等式的解法 【例 2 － 1 】 (1) 不等式 0< x 2 － x － 2 ≤ 4 的解集为 ________. 答案　 (1){ x | － 2 ≤ x < － 1 ，或 2< x ≤ 3} 　 (2){ x | x ≥ 3 ，或 x ≤ 2} 【例 2 － 2 】 解关于 x 的不等式 ax 2 － 2 ≥ 2 x － ax ( a ∈ R ). 解　 原不等式可化为 ax 2 ＋ ( a － 2) x － 2 ≥ 0. ① 当 a ＝ 0 时 ， 原不等式化为 x ＋ 1 ≤ 0 ， 解得 x ≤ － 1. 当 a ＝－ 2 时，不等式的解集为 { － 1} ； 规律方法　 1. 解一元二次不等式的一般步骤 (1) 化为标准形式 . (2) 确定判别式 Δ 的符号，若 Δ ≥ 0 ，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若 Δ <0 ，则对应的一元二次方程无根 . (3) 结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集 . 2. 含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较 ( 相应方程 ) 根的大小，注意分类讨论思想的应用 . 【训练 2 】 (1) (2019· 清远一模 ) 关于 x 的不等式 ax － b <0 的解集是 (1 ，＋ ∞ ) ，则关于 x 的不等式 ( ax ＋ b )( x － 3)>0 的解集是 ( 　　 ) A.( － ∞ ，－ 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) B.(1 ， 3) C.( － 1 ， 3) D.( － ∞ ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) 解析　 关于 x 的不等式 ax － b <0 即 ax < b 的解集是 (1 ，＋ ∞ ) ， ∴ a ＝ b <0 ， ∴ 不等式 ( ax ＋ b )( x － 3)>0 可化为 ( x ＋ 1)( x － 3)<0 ，解得－ 1< x <3 ， ∴ 所求不等式的解集是 ( － 1 ， 3). 答案　 C (2) 求不等式 12 x 2 － ax > a 2 ( a ∈ R ) 的解集 . 解　 原不等式可化为 12 x 2 － ax － a 2 >0 ， 即 (4 x ＋ a )(3 x － a )>0 ，令 (4 x ＋ a )(3 x － a ) ＝ 0 ， 考点三　一元二次不等式恒成立问题 多维探究 角度 1 　在实数集 R 上恒成立 【例 3 － 1 】 (2020· 大庆实验中学期中 ) 对于任意实数 x ，不等式 ( a － 2) x 2 － 2( a － 2) x － 4<0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.( － ∞ ， 2) B.( － ∞ ， 2] C.( － 2 ， 2) D.( － 2 ， 2] 答案　 D 角度 2 　在给定区间上恒成立 【例 3 － 2 】 ( 一题多解 ) 设函数 f ( x ) ＝ mx 2 － mx － 1( m ≠ 0) ，若对于 x ∈ [1 ， 3] ， f ( x ) ＜－ m ＋ 5 恒成立，则 m 的取值范围是 ________. 当 m ＞ 0 时， g ( x ) 在 [1 ， 3] 上是增函数， 所以 g ( x ) max ＝ g (3) ＝ 7 m － 6 ＜ 0. 当 m ＜ 0 时， g ( x ) 在 [1 ， 3] 上是减函数， 所以 g ( x ) max ＝ g (1) ＝ m － 6 ＜ 0. 所以 m ＜ 6 ，所以 m ＜ 0. 角度 3 　给定参数范围的恒成立问题 【例 3 － 3 】 对任意 m ∈ [ － 1 ， 1] ，函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m － 4) x ＋ 4 － 2 m 的值恒大于零，求 x 的取值范围 . 解　 由 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m － 4) x ＋ 4 － 2 m ＝ ( x － 2) m ＋ x 2 － 4 x ＋ 4 ， 令 g ( m ) ＝ ( x － 2) m ＋ x 2 － 4 x ＋ 4. 由题意知在 [ － 1 ， 1] 上， g ( m ) 的值恒大于零 ， 故当 x ∈ ( － ∞ ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) 时，对任意的 m ∈ [ － 1 ， 1] ，函数 f ( x ) 的值恒大于零 . 规律方法　 1. 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 . 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 . 2. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1)(2020· 湘潭联考 ) 若不等式 4 x 2 ＋ ax ＋ 4>0 的解集为 R ，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.( － 16 ， 0) B.( － 16 ， 0] C.( － ∞ ， 0) D.( － 8 ， 8) (2) ( 角度 2)(2019· 安徽八校联考 ) 若不等式 ( a － a 2 )( x 2 ＋ 1) ＋ x ≤ 0 对一切 x ∈ (0 ， 2] 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ________________. (3) ( 角度 3) 若 mx 2 － mx － 1<0 对于 m ∈ [1 ， 2] 恒成立，则实数 x 的取值范围是 ________. 解析　 (1) 由题意知 Δ ＝ a 2 － 4 × 4 × 4<0 ，解得－ 8< a <8 ，故选 D.