高中数学第六章平面向量初步6-2-1向量基本定理课件新人教B版必修第二册 31页

第六章　平面向量初步 6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 课程标准 学法解读 1. 掌握共线向量基本定理． 2 ．掌握平面向量基本定理． 1. 通过学习共线向量定理，提升学生的数学抽象与数学运算的核心素养． 2 ．借助平面向量基本定理，培养学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养． 必备知识 · 探新知 共线向量定理 知识点 一 a ≠0 　 唯一　 思考： (1) 定理中的条件 “ a ≠0 ” 能否省略，为什么？ (2) 这里的 “ 唯一 ” 的含义是什么？ 提示： (1) 不能．如果 a ＝ 0 ， b ≠ 0 ，不存在实数 λ ，使得 b ＝ λ A ． 如果 a ＝ 0 ， b ＝ 0 ，则对任意实数 λ ，都有 b ＝ λ A ． (2) 如果还有 b ＝ μ a ，则有 λ ＝ μ ． (1) 定理：如果平面内的两个向量 a ， b __________ ，则对该平面内的 ____________ 向量 c ， ____________ 的实数对 ( x ， y ) ，使得 c ＝ x a ＋ y B ． (2) 基底：平面内 __________ 的两个向量 a ， b 组成的集合 { a ， b } 称为该平面上向量的 ____________ ． 平面向量基本定理 知识点 二 不共线　 任意一个　 存在唯一　 不共线　 一组基底　 思考： (1) 定理中的 “ 不共线 ” 能否去掉？ (2) 平面内的每一个向量都能用 a ， b 唯一表示吗？ 提示： (1) 不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底． (2) 是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的． 关键能力 · 攻重难 共线向量定理的应用 题型探究 题型 一 　　　　已知向量 m ， n 不是共线向量， a ＝ 3 m ＋ 2 n ， b ＝ 6 m － 4 n ， c ＝ m ＋ x n ． (1) 判断 a ， b 是否平行； (2) 若 a ∥ c ，求 x 的值． 典例剖析 典例 1 规律方法： 1. 利用共线向量基本定理可解决两类向量问题： (1) 判定向量平行 ( 先假设平行，用基本定理列方程，根据 λ 1 e 1 ＋ μ 1 e 2 ＝ λ 2 e 1 ＋ μ 2 e 2 ，其中 e 1 ， e 2 不共线，列实数方程组，求解 ) ； (2) 已知向量求参数． 2 ．判定向量平行还可用结论 “ 当存在实数 λ ，使得 b ＝ λ a 时， b ∥ a ” ． 3 ．证三点共线：用三点共线的两个充要条件． 1 ．已知非零向量 e 1 ， e 2 不共线，欲使 k e 1 ＋ e 2 和 e 1 ＋ k e 2 共线，试确定实数 k 的值． 对点训练 平面向量基本定理的理解 题型 二 C 　 　　　　　 (1) 设 e 1 、 e 2 是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是 ( 　　 ) ① e 1 和 e 1 ＋ e 2 ② e 1 － 2 e 2 和 e 2 － 2 e 1 ③ e 1 － 2 e 2 和 4 e 2 － 2 e 1 ④ e 1 ＋ e 2 和 e 1 － e 2 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 典例剖析 典例 2 (2) 如果 e 1 、 e 2 是平面 α 内所有向量的一组基底，那么 ( 　　 ) A ．若实数 λ 1 、 λ 2 ，使 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ＝ 0 ，则 λ 1 ＝ λ 2 ＝ 0 B ．空间任一向量 a 可以表示为 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ，这里 λ 1 、 λ 2 是实数 C ．对实数 λ 1 、 λ 2 ， λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 不一定在平面 α 内 D ．对平面 α 中的任一向量 a ，使 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 的实数 λ 1 、 λ 2 有无数对 A 　 [ 分析 ] 　 (1) 根据基底的构成条件判断． (2) 由平面向量基本定理的内容理解判断． [ 解析 ] 　 (1) ③ 中， ∵ 4 e 2 － 2 e 1 ＝－ 2( e 1 － 2 e 2 ) ， ∴ 两向量共线，其他不共线，故选 C ． (2) 平面 α 内任一向量都可写成 e 1 与 e 2 的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故 B 不正确；对任意实数 λ 1 、 λ 2 ，向量 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 一定在平面 α 内；而对平面 α 中的任一向量 a ，实数 λ 1 、 λ 2 是唯一的． 规律方法：对平面向量基本定理的理解 (1) 在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即 0 ＝ x a ＋ y b ，且 x ＝ y ＝ 0 ． (2) 对于固定的不共线向量 a ， b 而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组． 2 ．已知平面向量 e 1 ， e 2 是一组基底，实数 x ， y 满足 (3 x － 4 y ) e 1 ＋ (2 x － 3 y ) e 2 ＝ 6 e 1 ＋ 3 e 2 ，则 x － y ＝ _____ ． 对点训练 3 　 用基底表示向量 题型 三 典例剖析 典例 3 规律方法：平面向量基本定理的作用及注意点 (1) 根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算． (2) 解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量． 对点训练 典例剖析 典例 4 易错警示 [ 辨析 ] 　 不能正确应用直线的向量参数方程致错． 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能