高中数学2_4第1课时向量的数量积导学案苏教版必修4 5页

2.4 向量的数量积第 1 课时 向量的数量积 学习目标 重点难点 1．能记住向量的夹角、向量垂直、向量投影 等概念． 2．能说出平面向量的数量积的含义及几何意 义． 3．能记住平面向量的数量积与投影的关系． 4．会运用数量积的运算性质和运算律解决涉 及长度、夹角、平行、垂直的几何问题. 重点：平面向量数量积的含义及其几何意义． 难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂 直的几何问题. 1．向量的数量积 (1)向量的数量积：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.规定零向量与任一 向量的数量积为 0. (2)两个向量的夹角：对于两个非零向量 a 和 b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向 量 a 与 b 的夹角．其范围是 0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a 与 b 同向，a·b＝|a||b|； 当θ＝180°时，a 与 b 反向，a·b＝－|a||b|；当θ＝90°时，称向量 a 与 b 垂直，记作 a ⊥b. 预习交流 1 (1)已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于__________． (2)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角θ＝120°，则 a·b＝__________. (3)已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10 2，则 a 与 b 的夹角θ＝__________. 提示：(1)|2a－b|＝ 2a－b 2＝ 4a2－4a·b＋b2＝ 8＝2 2. (2)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4cos 120°＝－10. (3)由公式得 cos θ＝ a·b |a||b| ＝－10 2 5×4 ＝－ 2 2 ， 所以θ＝135°. 2．向量数量积的性质及其运算律 (1)向量数量积的性质：①a·a 可简写为 a2，所以 a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a·a；②a ⊥b⇔a·b＝0；③a 与 b 的夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a||b| ；④|a·b|≤|a||b|. (2)向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数λ. ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 预习交流 2 对于向量 a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，因为若(a·b)·c≠0，其方向与 c 相同或相反，而 a·(b·c)≠0 时其方向与 a 相同或相反，而 a 与 c 方向不一定相同，故该等式不一定成立． 3．向量数量积的几何意义 (1)向量 b 在 a 方向上的投影：设 a，b 是两个非零向量，|b|cos θ叫做向量 b 在 a 方 向上的投影，它是数量．当θ为锐角时，投影为正值．当θ为钝角时，投影为负值；当θ＝ 90°时，投影为 0. (2)数量积a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于a 的长度|a|与b 在 a 方向上的投影|b|cos θ的乘积． 预习交流 3 下列说法正确的是__________． ①a·b＝0⇒a＝0 或 b＝0； ②a∥b⇒a 在 b 上的投影为|a|； ③a⊥b⇒a·b＝(a·b)2；④a·c＝b·c⇒a＝b. 提示：③ 一、平面向量的数量积及几何意义 已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角θ＝120°. (1)求 a·b； (2)求 a 在 b 上的投影． 思路分析：已知向量 a，b 的模及其夹角，求 a·b 及 a 在 b 上的投影，解答本题只需依 据数量积的定义及其几何意义求解便可． 解：(1)∵|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角θ＝120°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4× －1 2 ＝－10. (2)由数量积的几何意义可知，a 在 b 上的投影为|a|cos θ＝5×cos 120°＝5× －1 2 ＝－5 2 . 1．已知|a|＝3，|b|＝5，且其夹角θ＝45°，则向量 a 在向量 b 上的投影为__________． 答案：3 2 2 解析：向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos θ，应用公式时要分清|a|与|b|，不能套错 公式，由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝ 2 2 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos θ＝3× 2 2 ＝3 2 2 . 2．已知 a，b，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为__________． ①|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b； ②a，b 反向⇔a·b＝－|a|·|b|； ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|. 答案：3 解析：①∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由|a·b|＝|a||b|及 a，b 为非零向量可得|cos θ| ＝1，∴θ＝0 或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题． ②若 a，b 反向，则 a，b 的夹角为π，∴a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步 均可逆，故命题②是真命题． ③当 a⊥b 时，将向量 a，b 的起点确定在同一点，以向量 a，b 为邻边作平行四边形， 则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a ＋b|＝|a－b|，则以 a，b 为邻边的四边形为矩形，故有 a⊥b，因此命题③是真命题． ④当|a|＝|b|，但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来 由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题④是假命题． 1．数量积的符号同夹角的关系： (1)若 a·b＞0⇔θ为锐角或零角； (2)若 a·b＝0⇔θ＝π 2 或 a 与 b 至少有一个为 0； (3)若 a·b＜0⇔θ为钝角或平角． 2．平面向量数量积的求法： (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b＝|a||b|cos θ. (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求 a·b. 二、平面向量数量积的运算 已知|a|＝4，|b|＝5，且 a 与 b 夹角为 60°，求值： (1)a2－b2； (2)(2a＋3b)·(3a－2b)． 思路分析：充分利用条件及数量积的定义性质即可求解． 解：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9； (2)(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2＋5a·b－6b2＝6|a|2＋5|a||b|cos 60°－6|b|2＝6×42 ＋5×4×5×1 2 －6×52＝－4. 1．已知正△ABC 的边长为 2，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，求 a·b＋b·c＋c·a. 解：如图，a 与 b，b 与 c，a 与 c 夹角均为 120°， ∴原式＝|a||b|cos 120°＋|b||c|cos 120°＋|a||c|cos 120°＝2×2× －1 2 ×3＝ －6. 2．已知|a|＝6，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 60°，求(a＋2b)·(a－3b)． 解：(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2 ＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72. 1．利用定义求向量的数量积时，要注意 a 与 b 的夹角大小．若|a||b| 是一个定值 k，则当这两个向量的夹角从 0°变化到 180°时，两向量的数量积从 k 减到－k， 其图象是从 0 到π的半个周期内的余弦函数图象． 2．求平面向量的数量积的一般步骤：(1)运用数量积的运算律展开、化简；(2)确定向 量的模和夹角；(3)根据定义求出数量积． 三、求向量的夹角问题 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a＝2m＋n 与 b＝2n－3m 的夹角． 思路分析：n 和 m 是两个单位向量且夹角已知，可求其数量积，又向量 a，b 均有向量 n 和 m 线性表示，待求向量 a，b 的夹角，求解时可先利用|a|＝|2m＋n|，|b|＝|2n－3m|求模， 再利用 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)求数量积，最后代入 cos α＝ a·b |a||b| 求α. 解：|m|＝1，|n|＝1，由夹角为 60°，得 m·n＝1 2 ，则有 |a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n 2 ＝ 4m2＋4m·n＋n2＝ 7， |b|＝|2n－3m|＝ 2n－3m 2 ＝ 4n2－12n·m＋9m2＝ 7. ∴a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－7 2 . ∴cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －7 2 7× 7 ＝－1 2 . 又θ∈[0°，180°]，∴a，b 夹角为 120°. 1．向量 m 和 n 满足|m|＝1，|n|＝ 2，且 m⊥(m－n)，求 m 与 n 的夹角． 解：∵|m|＝1，|n|＝ 2. 又 m⊥(m－n)， ∴m·(m－n)＝m2－m·n＝0. 设 m 与 n 的夹角为θ， 则 cos θ＝ m·n |m||n| ＝ m2 |m||n| ＝|m| |n| ＝ 2 2 . 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝45°. 2．已知 a，b 是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求 a 与 a＋b 的夹角． 解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2. 又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2， ∴a·b＝1 2 |a|2. ∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2. ∴|a＋b|＝ 3|a|. 设 a 与 a＋b 的夹角为θ， 则 cos θ＝a· a＋b |a||a＋b| ＝ |a|2＋1 2 |a|2 |a| 3|a| ＝ 3 2 . ∴θ＝30°. 1．求向量 a，b 夹角的流程图 求|a|，|b| → 计算 a·b → 计算 cos θ＝ a·b |a||b| → 结合θ∈[0，π]，求解θ 2．由于|a|，|b|及 a·b 都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 a·b 的相应等式中， 可用方程的思想求解(或表示)未知量． 1．若|m|＝4，|n|＝6，m 与 n 的夹角为 135°，则 m·n＝__________. 答案：－12 2 解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×cos 135°＝－12 2. 2．已知|b|＝3，a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 a·b 为__________． 答案：2 解析：∵a 在 b 方向的投影为|a|cos θ， ∴a·b＝|b|·|a|cos θ＝3×2 3 ＝2. 3．已知 a 与 b 是相反向量，且|a|＝2，则 a·b＝__________. 答案：－4 解析：∵a 与 b 互为相反向量， ∴|a|＝|b|且两向量夹角为 180°. ∴a·b＝2×2×cos 180°＝－4. 4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b 的夹角为__________． 答案：π 3 解析：cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 2 1×4 ＝1 2 ， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π 3 . 5．已知|a|＝3，|b|＝6，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a 与 b 的夹角是 60°时，分别求 a·b. 解：(1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； (2)当 a⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a·b＝0； (3)当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×1 2 ＝9.