高中数学黄金100题系列第74题双曲线中的基本问题文 18页

第 74 题 双曲线中的基本问题 I．题源探究·黄金母题 【例 1】双曲线 2 24 64 0x y   上一点 P 到它的 一个焦点 的距离等于 1，那么点 P 到另一个焦点的距离等于 ． 【答案】17 【解析】把方程化为标准方程，得 2 2 164 16 y x  ． 8a  ， 由双曲线定义可知，点 P 到两焦点距离的差的绝对值等于 16， P 到另一个焦点的距离等于 17． 【例 2】求以椭圆 158 22  yx 的焦点为顶点，以椭圆的顶点 为焦点的双曲线的方程． 【解析】设双曲线的方程为 )0,0(12 2 2 2  bab y a x ，因为 158 22  yx ， 8,358 22  ca ，所求双曲线的方程为 183 22  yx 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版选修 1-1P42 习题 2．1A 组 T7． 【母题评析】本题考查双曲线的定义，考查 考生的简单的计算能力和逻辑推理能力． 【思路方法】结合双曲线的定义解题． 【试题来源】人教版 A 版选修 1-1P61T4． 【母题评析】求圆锥曲线方程问题是教材中 例题和练习题都重点、高频出现的问题，也 是高考常见题，大多利用待定系数法求解， 本题主要借助圆锥曲线间的联系求解 ，主 要考查对椭圆、双曲线的定义、性质的理解． 【 思路方法】求双曲线的标准方程先定“形” 再定“参”． II．考场精彩·真题回放 【 例 1 】 【 2017 高 考 天 津 卷 】 已 知 双 曲 线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，离心率为 2 ．若 经过 F 和 (0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则 双曲线的方程为 （ ） A． 2 2 14 4 x y  B． 2 2 18 8 x y  C． 2 2 14 8 x y  D． 2 2 18 4 x y  【命题意图】这类题主要考查双曲线的定 义、标准方程及其简单几何性质等． 【考试方向】高考对这部分的考查主要集中 在以下几个方面：（1）根据双曲线的定义 求双曲线的标准方程（选择、填空，解答题 第一问，常与双曲线性质、其它圆锥曲线和 直线等综合考察）；（2）双曲线性质的初 步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3） 求双曲线中距离、周长或者面积等；（4） 求直线与双曲线相交时弦长、中点轨迹（解 答题第二问）；（5）确定双曲线中的弦长、 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 得 2 24, 1, 4 , 2 2 , 18 8 x ya b c a bc           ，故选 B． 【例 2】【2017 高考北京卷】若双曲线 2 2 1yx m   的离心率 为 3 ，则实数 m=_________． 【答案】2 【解析】 2 21, , 1 3ca b m ma       ，解得 2m  ． 【例 3】【2017 高考山东卷】在平面直角坐标系 xOy 中，双 曲 线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的 右 支 与 焦 点 为 F 的 抛 物 线  2 2 0x px p  交于 ,A B 两点，若 4AF BF OF  ，则该 双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 2 2y x  【解析】 4 ,2 2 2A B A B p p pAF BF y y y y p          ． 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1, 2 0 , 2 , 2 2, , 2 ,A B x y a y ab y a ba b x px pb pby y p a ba a                  故所求渐近线方程为 2 2y x  ． 【例 4】【2017 高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，双 曲线 2 2 13 x y  的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ， Q ，其焦点是 1 2,F F ，则四边形 1 2F PF Q 的面积是 ． 【答案】 2 3 式子的定值问题，确定与双曲线有关的曲线 经过的定点问题（解答题第二问）；（6） 求双曲线中的弦长（或其它量）的最值或者 范围（解答题第二问）． 【难点中心】 1．利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考 常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是 依据题目的条件列出关于 , ,a b c 的方程，解 方程组求出 ,a b ，另外求双曲线方程要注意 巧设双曲线：（1）双曲线过两点可设为 2 2 1( 0)mx ny mn   ；（2）与 2 2 2 2 1x y a b   共 渐 近 线 的 双 曲 线 可 设 为 2 2 2 2 ( 0)x y a b     ；（3）等轴双曲线可 设为 2 2 ( 0)x y     等，均为待定系数 法求标准方程． 2．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独 特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐 近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、 斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双 曲线方程的待定系数． 3．求双曲线的离心率（或离心率的取值范 围），常见有两种方法： ①求出 a c， ，代入公式 ce a  ； ②只需要根据一个条件得到关于 a b c，， 的 齐次式，结合 b c a2 2 2－ 转化为 ,a c 的齐 次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程 (不等式)即可得 e （ e 的取值范围）． 4．双曲线的 焦点到渐近线的距离是 b ；双 曲线的顶点到渐近线的距离是 ab c ． 5．涉及直线与双曲线的位置关系的问题， 只要联立直线与双曲线的方程，借助根与系 数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等 量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不 一定要把结果及时求出来，可能需要整体代 换到后面的计算中去，从而减少计算量．等 于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处 理． III．理论基础·解题原理 考点一 双曲线的定义 在平面内到两个定点 1 2,F F 的距离之差的绝对值等于常数，大于 0 且小于 1 2F F 的点的轨迹叫做双曲 线，两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 考点二 双曲线的标准方程 （1）焦点在 x 轴上： 2 2 2 2 1x y a b    0 , 0a b  ；（2）焦点在 y 轴上： 2 2 2 2 1y x a b    0 , 0a b  ． 考点三 双曲线的几何性质 标准方程   2 2 2 2 1 0 , 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0 , 0y x a ba b     图 形 性 质 范 围 ,x a y  R ,y a x  R 对称性 关于原点、 x 轴、 y 轴对称 顶 点    1 2, 0 , , 0A a A a    1 20 , , 0 ,A a A a 焦 点    1 2, 0 , , 0F c F c    1 20 , , 0 ,F c F c 轴长与焦距 实轴长 1 2 2A A a ，虚轴长 1 2 2B B b ，焦距 1 2 2F F c 渐近线方程 by xa   ay xb   离心率 ce a  ，  1,e   , ,a b c 关系  2 2 2 0 , 0a b c c a c b      IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体， 考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识． 双曲线问题借助定义 1 2 2PF PF a  ，结合试题所给其它条件解题，特别是在焦三角形中，经常利 用 三 角 形 的 边 角 关 系 （ 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 、 有 时 利 用 勾 股 定 理 、 面 积 公 式 ） 解 题 ， 注 意 1 2 1 2,PF PF PF PF  之间的联系，灵活应用定义解题． 双曲线是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查双曲线的定义、性质、 方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题． 【易错指导】 1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的正负． 2．注意双曲线的范围，在设双曲线   2 2 2 2 1 0 , 0x y a ba b     上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|≤a， 这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因． 3．学习中，要注意双曲线几何性质的挖掘： （1）双曲线中有两条对称轴，“四点”（两个焦点、两个顶点），要注意它们之间的位置关系（如焦 点在长轴上等）以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为 a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为 2 222 b be c a   等． （2）设双曲线   2 2 2 2 1 0 , 0x y a ba b     上任意一点 P(x，y)，则当 y＝0 时，|OP|有最小值 a，这时， P 在实轴端点处． （3）双曲线上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c，0)，F2(c，0)构成的△PF1F2 称为焦点三角形， 其周长为 2(a＋c)． （4）双曲线的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 c 是斜边，c2＝a2＋b2． 4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． 5．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双 曲线的一支，则需确定是哪一支． V．举一反三·触类旁通 考向一 双曲线的定义与焦点三角形 【例 1】已知双曲线 2 2 124 yx   的两个焦点为 1 2, ,F F P 为双曲线右支上一点．若 1 2 4 3PF PF ，则 1 2PF F△ 的面积为 （ ） A．48 B．24 C．12 D．6 反思提炼：双曲线定义的应用规律 1．求方程：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2 , 2a b 或 2c 的值，从而求出 2 2,a b 的值，写出双曲线方程； 2．解焦点三角形有关问题：利用双曲线上点 M 与两焦点的距离差的绝对值 1 2 2MF MF a  （其中 1 22a F F ）与正弦定理、余弦定理，运用“整体代入法”解决焦点三角形问题． 【跟踪练习】 已知双曲线C 的离心率为 2，焦点为 1 2,F F ，点 A 在C 上．若 1 22F A F A ，则 2 1cos AF F  ( ) A． 1 4 B． 1 3 C． 2 4 D． 2 3 【答案】A 【解析】由 2ce a   得 2c a ，如图，由双曲线的定义得 1 2 2F A F A a  ． 又 1 22F A F A ，故      2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 14 , 2 , cos 2 4 2 4 a a aF A a F A a AF F a a         ． 考向二 双曲线的标准方程 【例 2】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，离心率为 2 ．若经过 F 和 (0,4)P 两点 的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ） A． 2 2 14 4 x y  B． 2 2 18 8 x y  C． 2 2 14 8 x y  D． 2 2 18 4 x y  【答案】 B 反思提炼： 1．求双曲线的标准方程关键在于确定 ,a b 的值，通过条件找出 , ,a b c 之间的关系，再结合 2 2 2c a b  ，解出 , ,a b c 的值． 2．求双曲线方程还要注意巧设双曲线： （1）若已知双曲线过两点方程可设为 2 2 1( 0)Ax By AB   或  2 2 1 0Ax By AB   ； （2）若已知等轴双曲线方程可设为 2 2 ( 0)x y     ； （3）与双曲线 2 2 2 2 1x y a b   有公共渐近线的双曲线方程可设为   2 2 2 2 0x y a b     ； （4）若已知双曲线的渐近线方程为 by xa  或 by xa   ，则可设双曲线方程为   2 2 2 2 0x y a b     ； （5）与双曲线 2 2 2 2 1x y a b   共焦点的双曲线方程可设为  2 2 2 2 2 2 1x y b k aa k b k       ； （6）与椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     有共同焦点的双曲线方程可设为  2 2 2 2 2 2 1x y b aa b       ． 【跟踪练习】 1．已知直线l 过点  1,0A  且与圆 2 2: 2 0B x y x   相切于点 D ，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过 点 D ，其一条渐近线平行于 l ，则 E 的方程为（ ） A． 2 23 14 4 x y  B． 2 23 12 2 x y  C． 2 25 13 y x  D． 2 23 12 2 y x  【答案】D 2．已知双曲线 M 的实轴长为 2，且它的一条渐近线方程为 2y x ，则双曲线 M 的标准方程可能是 （ ） A． 2 24 1x y  B． 2 2 14 64 x y  C． 2 2 14 y x  D． 2 24 1y x  【答案】D 【注意问题】需讨论焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上两种情况． 3．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆 心 M 的轨迹方程为____________________． 【答案】x2－y2 8 ＝1(x≤－1) 【解析】如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B． 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝ |MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC 1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6． 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，其中 a ＝1，c＝3，则 b2＝8．故点 M的轨迹方程为 x2－y2 8 ＝1(x≤－1)． 【注意问题】又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离 小)，． 考向三 双曲线的几何性质（离心率、渐近线、通径等） 【例 3】（1）（2017 新课标 I 卷）已知双曲线 C ：   2 2 2 2 1 0 , 0x y a ba b     的右顶点为 A ，以 A 为圆 心，b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 ,M N 两点．若 60MAN   ，则 C 的离心率 为________． （2）（2017 河北石家庄调研）设双曲线   2 2 2 2 1 0 , 0x y a ba b     的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1， A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点．若 A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为__________． 【答案】（1） 2 3 3 ；（2） 0 , 0x y x y    ． （2）由题设易知     2 2 1 2, 0 , , 0 , , , ,b bA a A a B c C ca a            A1(－a，0)，A2(a，0)，B c，b2 a ， C c，－b2 a ． 2 2 1 2 , 1 b b a aA B A C c a c a        ，整理得 a b ．因此该双曲线的渐近线为 by xa   ，即 0x y  ． 反思提炼： 1．离心率是双曲线重要的几何性质之一，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方 法： ①求出 ,a c ，代入公式 ce a  ；②根据已知条件得到关于 , ,a b c 的齐次式，结合 2 2 2b c a  转化为 ,a c 的齐次式，然后两边分别除以 a 或 2a 转化为关于 e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（ e 的取值范围）． 2．双曲线渐近线是其独有的性质，∴有关渐近线问题受到出题者的青睐．做好这类问题要抓住以下重 点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线 的顶点到渐近线的距离是 ab c ． 【跟踪练习】 1．若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线离心率为 3 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A． y x  B． 2 2y x  C． 2y x  D． 1 2y x  【答案】B 2．设 P 为双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0x y aa b    ， 0)b  上且在第一象限内的点，F1，F2 分别是双曲的左、右 焦点，PF2⊥F1F2，x 轴上有一点 A 且 AP⊥PF1，E 是 AP 的中点，线段 EF1 与 PF2 交于点 M．若 22PM MF ， 则双曲线的离心率是 A．1 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2 【答案】A 4 2 2 ,4 2 b bE c a c a      ． 1 2 2 4 4 2 2 2 0 22 82 4 EF b ab cak b b a cc a c     ．所以 EF1 的直线方程是  1EFy k x c  ，当 x = c 时 1 2 2 2 4 2 2 42 8 3EF ab c by ck b a c a    ． 即 6 2 2 2 2 2 28 12b a b c a b c  ， 4 2 24b a c ， 又 2 2 2b c a  ， 所 以  22 2 2 24c a a c  ， 即 4 2 2 46 0c a c a   ， 同 除 以 a4 得 4 26 1 0e e   ， 得 2 3 2 2e   或  2 3 2 2e   舍 ．所以 1 2e   ． 3．【2018 江西宜春调研】已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0, 0a b  ）的焦距为 2c ，直线l 过点 2 ,03 a     且与双曲线C 的一条渐近线垂直；以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆  与直线l 交于 ,M N 两 点，若 4 2 3MN c ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A． 2y x  B． 3y x  C． 2y x  D． 4y x  【答案】B 4．双曲线 E： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a  ， 0b  )的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 3a ，则 E 的离心 率是 A． 2 B． 3 2 C．2 D．3 【答案】C 【 解 析 】 由 双 曲 线 方 程 的 性 质 可 知 ， 双 曲 线 的 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 b ， 据 此 可 得 ： 2 2 2 2 2 2 2 23 , 3 , 3 , 4, 2cb a b a c a a e ea         ．故选 C． 5．已知抛物线 2 1 : 8 ( 0)C y ax a  ，直线l 倾斜角是 45 且过抛物线 1C 的焦点，直线l 被抛物线 1C 截 得的线段长是 16，双曲线 2C ： 2 2 2 2 1x y a b   的一个焦点在抛物线 1C 的准线上，则直线l 与 y 轴的交点 P 到 双曲线 2C 的一条渐近线的距离是（ ） A．2 B． 3 C． 2 D．1 【答案】D 考向四 直线与双曲线位置关系 【例 4】若双曲线 E ：   2 2 2 1 0x y aa  － 的离心率等于 2 ，直线 1y kx  与双曲线 E 的右支交于 A B, 两点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 6 3AB  ，求 k 的值． 【解析】（1）由 2 2 2 , 1, c a a c      得 2 2 1, 2 , a c    故双曲线 E 的方程为 2 2 1x y  ． 设    1 1 2 2A x y B x y, , , ，由 2 2 1, 1, y kx x y      得  2 21 2 2 0k x kx    ．① ∵直线与双曲线右支交于 A B, 两点，故      2 2 1, 2 4 1 2 0 , k k k        即 1, 2 2 , k k    ∴1 2k  ． （2）由①得 1 2 1 22 2 2 2 1 1 kx x x xk k     , ，        2 2 22 1 2 1 2 22 1 2 1 4 2 6 3 1 k k AB k x x x x k            ， 整理得 4 2 2 528 55 25 0 7k k k    , 或 2 5 4k  ．又 51 2 , 2k k    ． 反思提炼： 1．直线与双曲线位置关系的判定方法 设直线 : 0l Ax By C   ，双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   （或 2 2 2 2 1y x a b   ），联立得方程组 2 2 2 2 0 1 Ax By C x y a b      （或 2 2 2 2 0 1 Ax By C y x a b      ），消去 y （或 x ）得到一个关于 x （或 y ）的方程，若是 一元二次方程，根据一元二次方程的判别式  再作具体的判定． 2．双曲线的弦长问题 斜率为 k 的直线l 与双曲线C 交于    1 1 2 2, , ,A x y B x y 两个不同的点，则弦长    2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 11 1AB x x y y k x x y yk           ． 当直线l 的斜率不存在时，可直接求得直线与双曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 【跟踪练习】 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 2 0, ，实轴长为 2 3 ． （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l ： 2y kx  与双曲线C 左支交于 A B, 两点，求 k 的取值范围． 【解析】（1）设双曲线C 的方程为   2 2 2 2 1 0 , 0x y a ba b     ． 由已知得， 3 2a c , ，再由 2 2 2a b c  ，得 2 1b  ，∴双曲线C 的方程为 2 2 13 x y  ． （2）设    A A B BA x y B x y, , , ，将 2y kx  代入 2 2 13 x y  ，得 2 21 3 6 2 9 0k x kx    ． 由题意知   2 2 2 2 1 3 0 36 1 0 , 6 2 0 ,1 3 9 0 ,1 3 A B A B k k kx x k x x k                 ， 解得 3 13 k  ．∴当 3 13 k  时，直线l 与双曲线左支有两个交点． 考向五 与双曲线有关的最值、取值范围问题 【例 5】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在双曲线的右支上， 且 1 24PF PF ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为________． 【答案】 5 3 ． 【例 6】【2018 湖南长沙模拟】已知    1 21,0 , 1,0F F ，曲线 1C 上任意一点 M 满足 2 1 2MF MF  ； 曲线 2C 上的点 N 在 y 轴的右边且 N 到 2F 的距离与它到 y 轴的距离的差为 1． （1）求 1 2,C C 的方程； （2）过 1F 的直线l 与 1C 相交于点 ,A B ，直线 2 2,AF BF 分别与 2C 相交于点 ,C D 和 ,E F ．求 ·CD EF 的取值范围． 【答案】（1） 1C 的方程为 2 2 1 ( 0)2x y x   ， 2C 的方程为 2 4 ( 0)y x x  ．（2） 36,40 【解析】试题分析：（1）由已知，根据双曲线的定义可得 2 2, 12 2a c b    ，从而可得 1C 的 方程，用直接法可求得 2C 的方程；（2）直线l 的方程为 21(0 1)x ky k    ，直线与曲线联立，根据韦 达定理，焦半径公式将 ·CD EF 用 k 表示，进而可得结果． 试题解析：（1）由题意可知点 M 的轨迹是以 1 2,F F 为焦点， 2 为实轴长的双曲线的左支，故有 2 2, 12 2a c b    ， ∴ 1C 的方程为 2 2 1 ( 0)2x y x   ， 设  , ( 0)N x y x  ，则有  2 21 1x y x    ，化简得 2 4 ( 0)y x x  ， 即 2C 的方程为 2 4 ( 0)y x x  ． （2）设直线l 的方程为 21(0 1)x ky k    ， 联立方程组 2 2 1 1 2 x ky x y     ，消去 x 得  2 2 11 2 02k y ky    ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则有   1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ky y k y y k       ， 设 2 2,AF BF 的斜率分别为 1 2,k k ，则有 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 y yk x ky y yk x ky           ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 12 2 6k k k kk k y y y y                           ， 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 4· 2 8k k kk k y y y y           ， 直线 2AF 的方程为  1 1y k x  ，代入 2 4y x 有  2 2 2 2 1 1 12 4 0k x k x k    ， 设    3 3 4 4, , ,C x y D x y ，则有 3 4 2 1 42x x k    ， ∴    2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 4 11 1 2 4 4 1CD CF DF x x x x k k                  ， 同理 2 2 14 1EF k       ． ∴       2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 116 1 1 16 1 16 36 9 16 9CD EF k k kk k k k k k                                   ， ∴    24 9 36,40CD EF k   ． 【跟踪练习】 1．已知双曲线 2 2 14 2 x y  右焦点为 ,F P F，P 为双曲线左支上一点，点  0, 2A ，则 APF 周长的 最小值为 A．  4 1 2 （B） 4 2 C．  2 2 6 （D） 6 3 2 【答案】A 2．【2018 安徽铜陵模拟】已知双曲线 2 2: 14 xC y  ， P 是C 上的任意点． （1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点 A 的坐标为  5,0 ，求 PA 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2） min 2PA  ． 【解析】试题分析：（1）设  0 0,P x y ，写出点 P 到渐近线的距离的乘积，利用点在双曲线上化简， 得到常数；（2）  22 2 0 05PA x y   ，根据 2 20 0 14 x y  化简 2PA ，转化为二次函数求最小值． 试题解析：（1）设  0 0,P x y ， P 到两准线的距离记为 1d 、 2d ， ∵两准线为 2 0x y  ， 2 0x y  ， ∴ 0 0 0 0 2 2 1 2 0 0 2 2 1 455 5 x y x yd d x y       ， 又∵点 P 在曲线上，∴ 2 2 2 2 0 0 0 04 4 4x y x y    ，得 1 2 4 5d d  （常数） 即点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ． （2）设  0 0,P x y ，由平面内两点距离公式得，  22 2 0 05PA x y   ， ∵ 2 20 0 14 x y  ，可得 2 2 0 0 14 xy   ，∴   2 22 2 0 0 0 0 510 25 1 4 44 4 xPA x x x        ， 又∵点 P 在双曲线上，满足 0 2x  ，∴当 0 4x  时， PA 有最小值， min 2PA  ． 考向六 双曲线中的定点、定值、定直线及存在性问题 【例 7】已知双曲线 E： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0，b＞0)的渐近线方程为 3x±4y＝0，且过焦点垂直 x 轴的 直线与双曲线 E 相交弦长为 9 2 ，过双曲线 E 中心的直线与双曲线 E 交于 A，B 两点，在双曲线 E 上取一点 C(与 A，B 不重合)，直线 AC，BC 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2 等于( ) A． 3 4 B． 4 5 C． 9 16 D． 16 25 【答案】C 设点 A(x1，y1)，则根据对称性可知 B(－x1，－y1)，点 C(x0，y0)， k1＝ 0 1 0 1 y y y y   ，k2＝ 0 1 0 1 y y y y   ， ∴k1k2＝ 2 2 0 1 2 2 0 1 y y y y   ，且 2 2 1 1 116 9 x y  ， 2 2 0 0 116 9 x y  ，两式相减可得， 2 2 0 1 2 2 0 1 y y y y   ＝ 9 16 ． 故选:C 【例 8】【2018 安徽太和模拟】如图， 1F 、 2F 分别为双曲线C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的 左、右焦点，过 1F 的直线l 交 C 于 A 、 B 两点，若 C 的离心率为 7 ， 2AB AF ，则直线 l 的斜率为 （ ） A． 1 2 B． 3 3 C． 2 2 D． 3 2 【答案】D 点睛：解答本题的关键是求出直线的倾斜角的正弦和余弦，进而求得其正切值也即直线的斜率．本题 在求解时巧妙运用双曲线的定义，充分借助余弦定理建立方程，进而求得倾斜角的余弦值，使得问题巧妙 获解． 【跟踪练习】 1．【2018 河北沧州一中 11 月月考】已知双曲线 2 2 125 9 x y  的左右焦点分别为 1 2,F F ，若双曲线左支 上有一点 M 到右焦点 2F 距离为 18， N 为 2F 中点，O 为坐标原点，则 1NO 等于（ ） A． 2 3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】 试题分析:由双曲线的定义可得 1012  MFMF ，即 1018 1  MF ，则 81 MF ；又 2MF 的中点为 N ，故由三角形的中位线定理可得 1NO 482 1  ，应选 D． 2．【2018 辽宁辽河模拟】已知双曲线 2 2 1 : 1.4 yC x   (1)求与双曲线 1C 有相同的焦点，且过点 (4, 3)P 的双曲线 2C 的标准方程； (2)直线 :l y x m  分别交双曲线 1C 的两条渐近线于 A B、 两点．当 3OA OB    时，求实数 m 的 值． 【答案】(1) 2 2 14 x y  (2) 3m   【解析】 试 题 解 析 ： (1) 双 曲 线 1C 的 焦 点 坐 标 为 ( 5,0),( 5,0) ， 设 双 曲 线 2C 的 标 准 方 程 为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ，则 2 2 2 2 2 2 5 4 16 3 1 1 a b a ba b            ，所以双曲线 2C 的标准方程为 2 2 14 x y  ． (2)双曲线 1C 的渐近线方程为 2y x  ，设 1 1 2 2( ,2 ), ( , 2 )A x x B x x 由 2 2 2 204 3 2 0 yx x mx m y x m           ，由 216 0 0m m     又因为 2 1 2 3 mx x   ，而 1 2 1 2 1 22 ( 2 ) 3OA OB x x x x x x        ，所以 2 3 3m m    ．