2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识2 31页

2.1 　必要条件与充分条件 第 1 课时　必要条件与充分条件 激趣诱思 知识点拨 小李设计如下三个电路图 , 在第一个电路中 , 如果开关 A 闭合 , 灯泡 B 是否一定会亮 ? 要想使灯泡 B 亮起 , 是否必须闭合开关 A ? 第二个和第三个电路中呢 ? 那么 “ 闭合开关 A ” 是 “ 灯泡 B 亮 ” 发生的什么条件呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、必要条件与性质定理 1 . 推出 ( ⇒ ) 若命题表示为 “ 若 p , 则 q ” 时 , p 是命题的条件 , q 是命题的结论 . 当命题 “ 若 p , 则 q ” 是真命题时 , 就说由 p 推出 q , 记作 p ⇒ q. 2 . 必要条件 一般地 , 当命题 “ 若 p , 则 q ” 是真命题时 , 称 q 是 p 的 　　　　　　　 . 也就是说 , 一旦 q 不成立 , p 一定也不成立 , 即 q 对于 p 的成立是必要的 .   名师点析 说条件是必要的 , 就是说该条件必须要有 , 是必不可少的 . 简单地说 , 就是 “ 有它不一定能成立 , 但没它一定不成立 ” . 必要条件 激趣诱思 知识点拨 微练习 用 “ ⇒ ” 或 “ 不能推出 ” 填空 . (1) a , b 都是偶数 　　　　 a+b 是偶数 ;   (2) a+b 是偶数 　 　　　 a , b 都是偶数 ;   (3) A ∩ B= ⌀ 　　 　　 A= ⌀ ;   (4)Rt △ ABC 中 , ∠ A= 30 ° 　　　　 边 BC 长等于斜边长的一半 . ⇒ 不能 推出 不能 推出 ⇒ 激趣诱思 知识点拨 二、充分条件与判定定理 一般地 , 当命题 “ 若 p , 则 q ” 是真命题时 , 称 p 是 q 的充分条件 . 综上 , 对于真命题 “ 若 p , 则 q ”, 即 p ⇒ q 时 , 称 q 是 p 的必要条件 , 也称 p 是 q 的充分条件 . 名师点析 1 . 说条件是充分的 , 也就是说这个条件足以保证结论成立 . 即要使结论成立 , 只要有它就可以了 . 2 . 可以把充分条件理解为 “ 有之即可 , 无之也行 ” 激趣诱思 知识点拨 微思考 如何从集合角度理解必要条件、充分条件 ? 提示 : 一般地 , 如果 A = { x|p ( x )}, B= { x|q ( x )}, 且 A ⊆ B , 如图所示 , 那么 p ( x ) ⇒ q ( x ), 因此 p ( x ) 是 q ( x ) 的充分条件 , q ( x ) 是 p ( x ) 的必要条件 . 激趣诱思 知识点拨 三、充要条件 1 . 一般地 , 如果 p ⇒ q , 且 q ⇒ p , 那么称 p 是 q 的充分且必要条件 , 简称 p 是 q 的充要条件 . 记作 p ⇔ q. 2 .p 是 q 的充要条件也常常说成 “ p 成立 , 当且仅当 q 成立 ” 或 “ p 与 q 等价 ” . 3 . 当 p 是 q 的充要条件时 , q 也是 p 的充要条件 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 设集合 A= { x|p ( x )}, B= { x|q ( x )}, 若 x 具有性质 p , 则 x ∈ A ; 若 x 具有性质 q , 则 x ∈ B. 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微思考 判断 p 是 q 的什么条件时 , 有哪些可能情况 ? 提示 : (1) 如果 p ⇒ q , 且 q 不能推出 p , 则称 p 是 q 的充分不必要条件 ; (2) 如果 p 不能推出 q , 且 q ⇒ p , 则称 p 是 q 的必要不充分条件 ; (3) 如果 p ⇒ q , 且 q ⇒ p , 则称 p 是 q 的充要条件 ; (4) 如果 p 不能推出 q , 且 q 不能推出 p , 则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列各题中 , p 是 q 的什么条件 ? (1) p : x=- 3, q : x 2 = 9; (2) p : 两个三角形面积相等 , q : 两个三角形全等 ; (3) p : A ∪ B=A , q : B ⊆ A ; (4) p : a>b , q : ac>bc. 答案 : (1) 充分不必要条件 . (2) 必要不充分条件 . (3) 充要条件 . (4) 既不充分也不必要条件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 充分条件、必要条件及充要条件的判断 例 1 (1) 对于任意的 x , y ∈ R ,“ xy= 0” 是 “ x 2 +y 2 = 0” 的 ( 　　 ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2) 设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC , BD , 则 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 是 “ AC ⊥ BD ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (3) 设 A , B 是两个集合 , 则 “ A ∩ B=A ” 是 “ A ⊆ B ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 : (1) 由 x 2 +y 2 = 0, 得 x= 0, 且 y= 0, 由 xy= 0 得 x= 0 或 y= 0, 即 “ xy= 0” 不能推出 “ x 2 +y 2 = 0” . (2) 若 “ 四边形 ABCD 为菱形 ”, 显然对角线垂直 ; 但 “ AC ⊥ BD ” 推不出 “ 四边形 ABCD 为菱形 ”, 例如对角线垂直的等腰梯形 . 所以 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 是 “ AC ⊥ BD ” 的充分不必要条件 . (3) 因为 A ∩ B=A ⇔ A ⊆ B , 所以 “ A ∩ B=A ” 是 “ A ⊆ B ” 的充要条件 . 答案 : (1) A 　 (2) A 　 (3) C 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 例 1(2) 中 , 把原条件中的 “ 四边形 ABCD ” 改为 “ 平行四边形 ABCD ”, 其余不变 , 结论有变化吗 ? 解 : 若条件为平行四边形 , 则 “ ABCD 为菱形 ” 是 “ AC ⊥ BD ” 的充要条件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 1 设 A , B 为两个互不相同的集合 . 命题 p : x ∈ A ∩ B ; 命题 q : x ∈ A 或 x ∈ B. 则 p 是 q 的 ( 　　 ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 : B 　 解析 : 若命题 p : x ∈ A ∩ B 成立 , 命题 q : x ∈ A 或 x ∈ B 一定成立 ; 若命题 q : x ∈ A 或 x ∈ B 成立 , 但是 x 不一定是 A ∩ B 中的元素 , 所以 p 是 q 的充分不必要条件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 数根的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 : “ 方程 ax+ 3 = 0 在 [ - 1,2] 上有实数根 ” 等价于 “ 直线 y=ax+ 3 在 [ - 1,2] 上与 x 轴有交点 ”, 则 答案 : A 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 2 设 x ∈ R , 则 “ x> 1” 是 “ x 3 > 1” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 : C 　 解析 : 令 A= { x|x> 1}, B= { x|x 3 > 1} . 由于 A=B , 所以 “ x> 1” 是 “ x 3 > 1” 的充要条件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 例 3 (2019 湖北襄阳期中 ) 若 p 是 r 的充分不必要条件 , r 是 q 的必要条件 , r 是 s 的充要条件 , q 是 s 的必要条件 , 则 s 是 p 的什么条件 ? 分析 用推出符号 表示 p , q , r , s 的关系 → 由图求出结果 解 : p , q , r , s 之间的关系如图所示 , 由图可知 p ⇒ s , 但 s 不能推出 p , 故 s 是 p 的必要不充分条件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1 . 定义法 : (1) 分清哪个是条件 , 哪个是结论 . (2) 判断 “ 若 p , 则 q ” 及 “ 若 q , 则 p ” 的真假 . (3) 根据 (2) 得出结论 . 2 . 集合法 : 写出集合 A= { x|p ( x )} 及 B= { x|q ( x )}, 利用集合间的包含关系进行判断 . 3 . 等价转化法 : 将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题 . 4 . 特殊值法 : 对于选择题 , 可以取一些特殊值或特殊情况 , 用来说明由条件 ( 结论 ) 不能推出结论 ( 条件 ), 但是这种方法不适用于证明题 . 5 . 传递法 : 若问题中出现若干个条件和结论 , 应先根据条件画出相应的 “ 推式图 ”, 再根据图中推式的传递性进行判断 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 A. x> 1 B. x >- 1 C. x<- 1 或 0 0 (2)1 < 2 x+ 2 < 8 的一个必要不充分条件是 ( 　　 ) 分析 (1) 先寻找命题成立的充要条件 , 然后将该充要条件缩小范围 , 即得相应的充分不必要条件 ;(2) 先寻找命题成立的充要条件 , 然后将该充要条件扩大范围 , 即得相应的必要不充分条件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是 - 1 - 1 . 其中 , 可以作为 x 2 < 1 的充分不必要条件的有 　　　　　 ; 可以作为 x 2 < 1 的必要不充分条件的有 　　　　　 . ( 填序号 )   ② ③ ① ⑤ 解析 : 由 x 2 < 1, 得 - 1 - 1}, 所以 x< 1 和 x>- 1 均可作为 x 2 < 1 的一个必要不充分条件 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 例 5 已知方程 x 2 + (2 k- 1) x+k 2 = 0, 求使方程有两个正实数根的充要条件 . 解 : 方程 x 2 + (2 k- 1) x+k 2 = 0 有两个正实数根等价于 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 寻求 q 的充要条件有两种方法 (1) 等价转化法 : 将原命题进行等价转化 , 直至获得其成立的充要条件 , 其中 求解 的 过程也是证明的过程 , 因为过程 的每一步都是等价的 , 所以不需要将充分性和必要性分开来证 . (2) 非等价转化法 : 先寻找必要条件 , 再证明充分性 , 即从必要性和充分性两方面说明 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 4 (2019 湖南永州高三模拟 )“ 不等式 x 2 -x+m> 0 在 R 上恒成立 ” 的充要条件是 ( 　　 ) 解析 : ∵ 不等式 x 2 -x+m> 0 在 R 上恒成立 , 答案 : A 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 自主招生中的充分条件与必要条件 某大学 2017 年自主招生简章中规定 , 凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖 ( 含 ) 以上者 ( 简记为 “ 满足竞赛条件 ”, 下同 ), 都可以报名参加该校的自主招生考试 . 根据 以上 信息 , 回答下列问题 : (1) 已知甲同学满足竞赛条件 , 那么甲能申请参加该大学 2017 年的自主招生考试吗 ? (2) 已知乙同学已经成功申请到了参加该大学 2017 年自主招生考试的资格 , 那么乙同学一定满足竞赛条件吗 ? 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (3) 已知丙同学不满足竞赛条件 , 那么丙同学一定不能申请参加该大学 2017 年的自主招生考试吗 ? 第一个问题 , 相信大家都能得到正确答案能 . 但第二个和第三个问题的答案都是 : 不一定 . 你知道为什么吗 ? 这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学 2017 年自主招生考试的充分条件 , 而不是必要条件 , 但是充分条件可以不止一个 . 事实上 , 全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学 2017 年的自主招生考试 . 生活中还有很多类似的情况 , 请自行找出更多的例子 吧 ！ 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . “ a=- 3” 是 “ |a|= 3” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 　　　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 2 . “ x> 2” 是 “ x> 1” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 3 . 设 x ∈ R , 则 x> 2 的一个必要不充分条件是 ( 　　 ) A. x> 1 B. x< 1 C. x> 3 D. x< 3 答案 : A 答案 : A 答案 : A 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 4 . 已知 a , b 是实数 , 则 “ a> 0, 且 b> 0” 是 “ a+b> 0 且 ab> 0” 的 　　　　 条件 .   解析 : a> 0 且 b> 0 ⇒ a+b> 0, 且 ab> 0; a+b> 0, 且 ab> 0 ⇒ a> 0, 且 b> 0, 故为充要条件 . 5 . 写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件 : 充要条件 ① 　 ;   充要条件 ② 　 .   ( 写出你认为正确的两个充要条件 ) 答案 : 充 要 答案 : 两组对边分别平行 　 一组对边平行且 相等