吉林省东北师范大学附属中学2020届高三上学期第二次模拟数学（理）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2019—2020学年髙三年级上学期 第二次摸底考试（数学）学科试卷（理）‎ 考试时间：120分钟 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解二次不等式和绝对值不等式，求并集即可.‎ ‎【详解】对集合P：，解得；‎ 对集合Q：，解得：；‎ 求并集得：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的求解、并集的运算.‎ ‎2.复数等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.若是的充分不必要条件，则是的（ ）‎ A. 允分不必要条件 B. 必要不允分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由p是q的充分不必要条件，可得：若p，则q，再根据其逆否命题，即可求得.‎ ‎【详解】因为是的充分不必要条件，则可记作：‎ 若p，则q为真，求其逆否命题为：若，则，‎ 故：是的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化.‎ ‎4.设，，，则(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎5.将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），那么所得图象的一个对称中心的坐标为（ ）‎ A. B. ‎ - 23 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角图像变换，先求变换后的解析式，再求对称中心即可.‎ ‎【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，‎ 则得，令，解得 当时，解得，此时函数值为-1，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图像的变换，及变换后函数的性质.‎ ‎6.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求该命题的否定，再将恒成立问题转化为最值问题求解即可.‎ ‎【详解】命题：，是假命题；‎ 则其否定:，是真命题；‎ 当时，显然成立；‎ 当时，，解得 而当且仅当时取得，故：‎ - 23 -‎ ‎，由题可知：‎ 等价于，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，属综合基础题.‎ ‎7.若直线是曲线的一条切线，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 和 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是曲线的切线，求出，再求具体函数的单调增区间即可.‎ ‎【详解】设切点为，则可得过该点的切线方程为：‎ ‎，又知切线为：，‎ 故得：，，则：‎ ‎，‎ ‎，令，‎ 解得：，即 又该函数定义域为：，故单调增区间为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查曲线上一点处的切线方程的求解，以及求具体函数的单调区间，属综合基础题.‎ ‎8.下列函数中同时具有以下性质的是（ ）‎ - 23 -‎ ‎①最小正周期是； ②图象关于直线对称；‎ ‎③在上是增函数； ④图象的一个对称中心为．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】对A：函数的最小正周期为，故A不正确；‎ 对B：该函数在区间为减函数，故B不正确；‎ 对C：函数图像不关于直线对称，故C不正确；‎ 对D：该函数满足四条性质，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.‎ ‎9.己知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可.‎ ‎【详解】若满足题意，则要为增函数，则：‎ ‎；①‎ - 23 -‎ 若保证单调递增，则：‎ ‎；②‎ 若要保证该函数在R上单调递增，则在断点处：‎ ‎③‎ 由①②③解得：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数在R上的单调性，需要满足每段函数均为单调的，同时也要考虑断点处函数值的关系.‎ ‎10.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )‎ A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，‎ 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，‎ 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，‎ 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，‎ 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）‎ 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，‎ 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．‎ 则实数a的取值范围是（0，）．‎ 故选B．‎ - 23 -‎ ‎11.己知是内一点，，，且，则的面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可确定O点的位置，再求解面积即可.‎ ‎【详解】分别取AC、BC的中点为D、E，作图如下：‎ 由，可得：‎ ‎，即：‎ ‎，‎ 故O是DE上靠近E点的三等分点，‎ 故，‎ - 23 -‎ 根据题意可知：‎ 故 则，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的运算、三角形面积公式的计算，属综合基础题.‎ ‎12.设函数是定义在上的奇函数，且，当时，，函数有5个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数有5个零点的问题，转化为图像有5个交点的问题，则数形结合可得.‎ ‎【详解】可得：该函数关于对称，又其关于原点对称，故：‎ 该函数的周期为4；‎ 有5个零点，等价于函数与有5个交点，‎ 当时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：‎ - 23 -‎ 在时的函数值，且在时的函数值，‎ 解得：；‎ 当时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：‎ 此时，函数应该过点，故，解得.‎ 综上所述：或，‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】本题综合考查函数的性质，以及零点问题，利用数形结合；属综合中档题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.己知向量，满足，，，则______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直可得，将两边平方，结合已知，即可求得.‎ ‎【详解】因为，故；‎ ‎，两边平方，则：‎ ‎，‎ 解得：，即：.‎ - 23 -‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积、模长的计算，属向量基础运算题.‎ ‎14.已知，则____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：把所求的式子分母看作“1”，利用sin2θ+cos2θ=1，从而把所求的式子化为关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．‎ 详解：由tanθ=2，‎ 则sinθcosθ= ‎ ‎= .‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.‎ ‎15.己知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求角A，利用向量数量积，求得B，从而推出C.‎ ‎【详解】由：，可得：‎ ‎，又，故；‎ 由，可得：‎ ‎，解得：；‎ - 23 -‎ 由三角形内角和得：，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查了正弦定理的应用，属基础题.‎ ‎16.定义在上的函数，己知是它的导函数，且恒有成立，且，则不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可构造函数，由其单调性及特殊值，可求得不等式.‎ ‎【详解】由，可构造函数：‎ ‎，则：；‎ 故在上单调递减；‎ 由，可得；‎ 而等价于，解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查：利用导数构造函数，求解不等式的问题，属导数中的中档题；本题中的构造形式需要注意.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜‎ - 23 -‎ ‎21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17.已知数列的前项和为，，数列是等差数列，且，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用求得；再利用基本量求得；‎ ‎（2）先求的前项和，再用裂项求和即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，∴，‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 当时，即，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴为以1为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ - 23 -‎ 所以 ‎【点睛】第一问考查的利用，以及基本量求解通项公式；第二问考查分组求和与裂项求和.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，//，，，平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）设，求平面与平面所成的二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面，通过线面垂直，推出面面垂直即可；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：∵平面，且平面，‎ ‎∴又且，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）取的中点，连接，作图如下：‎ - 23 -‎ ‎∵，‎ ‎∴又平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 建立如图所示的直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎∴平面的一个法向量，‎ 平面的一个法向量 ‎，‎ ‎∴平面与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题第一问考查通过线面垂直证明面面垂直，第二问考查利用向量求解二面角的大小.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求函数在上的单调递减区间；‎ ‎（2）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，己知，，求面积的最大值．‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）和 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换将函数整理为标准型，再求单调区间；‎ ‎（2）由（1）解得角A，利用余弦定理及均值不等式，得的最大值，即可得面积最大值.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 由，‎ 得，‎ 又∵，‎ ‎∴函数在上的单调递减区间为和；‎ ‎（2）∵ ∴，‎ 即，‎ ‎∵为锐角三角形， ∴，‎ ‎∴‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，，‎ - 23 -‎ ‎∴‎ ‎∴当时，．‎ ‎【点睛】（1）第一问考查利用三角恒等变换化简三角函数为标准型，并求其单调性；（2）第二问考查三角函数与解三角形的结合，以及利用余弦定理，均值不等式求解三角形面积最大值得问题；本题属综合中档题，需要重视，高考常考.‎ ‎20.已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；‎ ‎（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3））当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.‎ 试题解析：（1）∵过椭圆的右焦点，‎ ‎∴右焦点，即，‎ - 23 -‎ 又∵的焦点为椭圆的上顶点，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴椭圆的方程；‎ ‎（2）由得，，‎ 设，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 综上所述，当变化时，的值为定值；‎ ‎（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：‎ ‎∵，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即三点共线.‎ 同理可得三点共线，‎ 则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.‎ - 23 -‎ 点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设的两个零点分别是，，求证：．‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，得其导数的主导因式为二次函数，对参数进行分类讨论即可；‎ ‎（2）要证，即证：，根据函数的单调性，等价于证：，故构造函数，讨论其单调性即可.‎ ‎【详解】（1）函数定义域为，‎ ‎，‎ ‎①当时，，则在上单调递增；‎ ‎②当时，若，则，若，则，‎ 则在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）证明：由（1）易知，‎ - 23 -‎ 且在上单调递增，在上单调递减，‎ 不妨设，‎ 构造函数，，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 即，，‎ 又，是函数的两个零点且，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ 而，均大于，且在上单调递减，‎ ‎∴，∴，得证．‎ ‎【点睛】本题第一问考查利用导数对含参函数单调性讨论；第二问考查极值点偏离问题的处理方法，构造函数法；本题的第二问属于经典题型，需要重点关注.‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，‎ - 23 -‎ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）若，直线与曲线相交于、两点，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）（为参数） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将极坐标方程，化为直角方程，再转化为参数方程即可；‎ ‎（2）可以利用直线参方中参数的几何意义进行处理，也可以利用直角坐标系中的弦长公式.‎ ‎【详解】（1）由得，，‎ 即，‎ ‎∴曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（2）解法一：若，‎ 则直线参数方程为，‎ 代入，‎ 整理得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ - 23 -‎ 解法二：若，则直线的直角坐标方程为，‎ ‎∵曲线为圆，它的直角坐标方程为，‎ 圆心为，半径，圆心到直线的距离，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查将极坐标方程转换为参数方程、利用直线参方中的几何意义求解弦长；本题中第二问的方法二，也是一种很好的思路，利用直角坐标系中的弦长公式进行求解.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.己知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将绝对值函数，转化为分段函数，分段求解不等式，先交后并即可；‎ ‎（2）不等式有解，等价于有解，求的最大值即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，由，得，得．‎ 当时，由，得，得，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎（2）由有解，可得有解，‎ 又∴①．‎ - 23 -‎ 当时，不等式①恒成立 当时，不等式①可化，可得，‎ 当时，不等式①可化为，可得．‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值不等式的性质、有解问题的转化，属不等式中档题.‎ - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎