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- 2021-06-16 发布
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第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A 级 基础巩固
一、选择题
1.已知集合 A {1,2,3},且 A 中至少有一个奇数,则这样的
集合 A 有( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
解析:满足题意的集合 A 分两类:第一类有一个奇数有{1},{3},
{1,2},{3,2}共 4 个;第二类有两个奇数有{1,3},所以共有 4+1
=5(个).
答案:D
2.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一条长
裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有( )
A.7 种 B.12 种 C.64 种 D.81 种
解析:要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从 4 件中任选一
件,有 4 种不同的选法;第二步,选长裤,从 3 条长裤中任选一条,
有 3 种不同选法.故不同取法共有 4×3=12(种).
答案:B
3.如图所示,一条电路从 A 处到 B 处接通时,可构成的通路有
( )
A.8 条 B.6 条 C.5 条 D.3 条
解析:依题意,可构成的通路有 2×3=6(条).
答案:B
4.已知集合,M={1,-2,3},N={-4,5,6,7},从两个集
合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表
示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A.18 B.17 C.16 D.10
解析:分两类:第 1 类,M 中的元素作横坐标,N 中的元素作纵
坐标,则在第一、第二象限内的点有 3×3=9(个);第 2 类,N 中的元
素作横坐标,M 中的元素作纵坐标,则在第一、第二象限内的点有 4×2
=8(个).由分类加法计数原理,在第一、第二象限内的点共有 9+8=
17(个).
答案:B
5.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b
组成复数 a+bi,其中虚数有( )
A.30 个 B.42 个 C.36 个 D.35 个
解析:要完成这件事可分两步,第一步确定 b(b≠0)有 6 种方法,
第二步确定 a 有 6 种方法,故由分步乘法计数原理知共有虚数 6×6=
36(个).
答案:C
二、填空题
6.加工某个零件分三道工序,第一道工序有 5 人,第二道工序有
6 人,第三道工序有 4 人,从中选 3 人每人做一道工序,则选法有
________种.
解析:选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为 5,6,4,
由分步乘法计数原理知,选法总数为 N=5×6×4=120(种).
答案:120
7.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程,不同的
选法有________种.
解析:由分步乘法计数原理知,不同的选法有 N=2×2×2=23=
8(种).
答案:8
8.一学习小组有 4 名男生、3 名女生,任选一名学生当数学课代
表,共有________种不同选法;若选男女生各一名当组长,共有
________种不同选法.
解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选,有 4
种选法;另一类是从女生中选,有 3 种选法.根据分类加法计数原理,
不同选法共有 4+3=7(种).
若选男女生各一名当组长,需分两步:第 1 步,从男生中选一名,
有 4 种选法;第 2 步,从女生中选一名,有 3 种选法.根据分步乘法
计数原理,不同选法共有 4×3=12(种).
答案:7 12
三、解答题
9.若 x,y∈N*,且 x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数.
解:按 x 的取值进行分类:
x=1 时,y=1,2,…,5,共构成 5 个有序自然数对;
x=2 时,y=1,2,…,4,共构成 4 个有序自然数对;
……
x=5 时,y=1,共构成 1 个有序自然数对.
根据分类加法计数原理,有序自然数对共有 N=5+4+3+2+1=
15(个).
10.如图是某校的校园设施平面图,现用不同的颜色作为各区域
的底色,为了便于区分,要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有 6
种不同的颜色可选,问有多少种不同的着色方案?
操
场
窗舍区
餐厅 教学区
解:操场可从 6 种颜色中任选 1 种着色;餐厅可从剩下的 5 种颜
色中任选 1 种着色;宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同,故可从剩
下的 4 种颜色中任选 1 种着色;教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能
相同,故可从剩下的 4 种颜色中任选 1 种着色.根据分步乘法计数原
理知,着色方案共有 6×5×4×4=480(种).
B 级 能力提升
1.某班小张等 4 位同学报名参加 A、B、C 三个课外活动小组,
每位同学限报其中一个小组,且小张不能报 A 小组,则不同的报名方
法有( )
A.27 种 B.36 种
C.54 种 D.81 种
解析:除小张外,每位同学都有 3 种选择,小张只有 2 种选择,
所以不同的报名方法有 3×3×3×2=54(种).
答案:C
2.有三个车队分别有 4 辆、5 辆、5 辆车,现欲从其中两个车队
各抽取一辆车外出执行任务,设不同的抽调方案数为 n,则 n 的值为
________.
解析:不妨设三个车队分别为甲、乙、丙,则分 3 类.甲、乙各
一辆共 4×5=20(种);甲、丙各一辆共 4×5=20(种);乙、丙各一辆
共 5×5=25(种),所以共有 20+20+25=65(种).
答案:65
3.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛,3
名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员中选 2 名安排
在第二、四位置,求不同的出场安排共有多少种.
解:按出场位置顺序逐一安排:
第一位置有 3 种安排方法;
第二位置有 7 种安排方法;
第三位置有 2 种安排方法;
第四位置有 6 种安排方法;
第五位置有 1 种安排方法.
由分步乘法计数原理知,不同的出场安排方法有 3×7×2×6×1
=252(种).
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