高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评11 word版含答案 7页

学业分层测评(十一) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．直线 a∥平面α，α内有 n 条直线交于一点，那么这 n 条直线中 与直线 a 平行的( ) A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．没有 【解析】 过 a 和平面内 n 条直线的交点只有一个平面β，所以平 面α与平面β只有一条交线，且与直线 a 平行， 这条交线可能不是这 n 条直线中的一条也可能是．故选 B. 【答案】 B 2．设 a，b 是两条直线，α，β是两个平面，若 a∥α，a⊂β，α∩β ＝b，则α内与 b 相交的直线与 a 的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【解析】 条件即为线面平行的性质定理，所以 a∥b， 又 a 与α无公共点，故选 C. 【答案】 C 3．下列命题中不正确的是( ) A．两个平面α∥β，一条直线 a 平行于平面α，则 a 一定平行于平 面β B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形 所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面 直线 【解析】 选项 A 中直线 a 可能与β平行，也可能在β内，故选项 A 不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那 么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项 C 正确；依据平面与 平面平行的性质定理可知，选项 B，D 也正确，故选 A. 【答案】 A 4．如图 2221，四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的 点，且 MN∥平面 PAD，则( ) 图 2221 A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 【解析】 ∵MN∥平面 PAD，MN⊂平面 PAC，平面 PAD∩平面 PAC＝PA， ∴MN∥PA. 【答案】 B 5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C 是 AB 的中点，当点 A、B 分别在平面α，β内运动时，动点 C( ) 【导学号：09960067】 A．不共面 B．当且仅当点 A、B 分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当点 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．无论点 A，B 如何移动都共面 【解析】 无论点 A、B 如何移动，其中点 C 到α、β的距离始终 相等，故点 C 在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上． 【答案】 D 二、填空题 6．(2016·芜湖高一检测)如图 2222，正方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF∥平面 AB1C，则线 段 EF 的长度等于________． 图 2222 【解析】 因为 EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ABCD， 平面 AB1C∩平面 ABCD＝AC， 所以 EF∥AC.又点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上， 所以点 F 是 CD 的中点，所以 EF＝1 2AC＝ 2. 【答案】 2 7．如图 2223 所示，直线 a∥平面α，A∉α，并且 a 和 A 位于平面 α两侧，点 B，C∈a，AB、AC 分别交平面α于点 E，F，若 BC＝4，CF ＝5，AF＝3，则 EF＝________. 图 2223 【解析】 EF 可看成直线 a 与点 A 确定的平面与平面α的交线， ∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知 AC＝AF＋CF ＝3＋5＝8. 又EF BC ＝AF AC ，∴EF＝AF×BC AC ＝3×4 8 ＝3 2. 【答案】 3 2 三、解答题 8．如图 2224，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，M 是 A1C1 的中点，平 面 AB1M∥平面 BC1N，AC∩平面 BC1N＝N. 求证：N 为 AC 的中点． 【导学号：09960068】 图 2224 【证明】 因为平面 AB1M∥平面 BC1N， 平面 ACC1A1∩平面 AB1M＝AM， 平面 BC1N∩平面 ACC1A1＝C1N， 所以 C1N∥AM，又 AC∥A1C1， 所以四边形 ANC1M 为平行四边形， 所以 AN＝C1M＝1 2A1C1＝1 2AC， 所以 N 为 AC 的中点． 9．如图 2225，平面 EFGH 分别平行于 CD，AB，E，F，G，H 分别在 BD，BC，AC，AD 上，且 CD＝a，AB＝b，CD⊥AB. (1)求证：EFGH 是矩形． (2)设 DE＝m，EB＝n，求矩形 EFGH 的面积． 图 2225 【解】 (1)证明：因为 CD∥平面 EFGH，而平面 EFGH∩平面 BCD＝EF， 所以 CD∥EF.同理 HG∥CD， 所以 EF∥HG. 同理 HE∥GF，所以四边形 EFGH 是平行四边形． 由 CD∥EF，HE∥AB，所以∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角． 又因为 CD⊥AB，所以 HE⊥EF. 所以四边形 EFGH 是矩形． (2)由(1)可知在△BCD 中，EF∥CD，DE＝m，EB＝n， 所以EF CD ＝BE DB.又 CD＝a，所以 EF＝ n m＋na. 由 HE∥AB，所以HE AB ＝DE DB. 又因为 AB＝b，所以 HE＝ m m＋nb. 又因为四边形 EFGH 为矩形， 所以 S 矩形 EFGH＝HE·EF＝ m m＋nb· n m＋na＝ mn m＋n2ab. [自我挑战] 10．对于直线 m、n 和平面α，下列命题中正确的是( ) A．如果 m⊂α，n⊄α，m、n 是异面直线，那么 n∥α B．如果 m⊂α，n⊄α，m、n 是异面直线，那么 n 与α相交 C．如果 m⊂α，n∥α，m、n 共面，那么 m∥n D．如果 m∥α，n∥α，m、n 共面，那么 m∥n 【解析】 对于 A，如图(1)所示，此时 n 与α相交，故 A 不正确； 对于 B，如图(2)所示，此时 m，n 是异面直线，而 n 与α平行，故 B 不 正确；对于 D，如图(3)所示，m 与 n 相交，故 D 不正确．故选 C. 图(1) 图(2) 图(3) 【答案】 C 11．如图 2226，三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是边长为 2 的正三 角形，点 E，F 分别是棱 CC1，BB1 上的点，点 M 是线段 AC 上的动点， EC＝2FB＝2，当点 M 在何位置时，BM∥平面 AEF. 【导学号：09960069】 图 2226 【解】 如图，取 EC 的中点 P，AC 的中点 Q，连接 PQ，PB， BQ，则 PQ∥AE. 因为 EC＝2FB＝2，所以 PE＝BF.所以四边形 BFEP 为平行四边形， 所以 PB∥EF.又 AE，EF⊂平面 AEF，PQ，PB⊄平面 AEF， 所以 PQ∥平面 AEF，PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB＝P，所以平面 PBQ∥平面 AEF.又 BQ⊂平面 PBQ，所 以 BQ∥平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M，即点 M 为 AC 的中点时， BM∥平面 AEF.