高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测（十一）平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线word版含解析 3页

课时跟踪检测(十一) 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 一、选择题 1．一条直线在一个面上的平行投影是( ) A．一条直线 B．一个点 C．一条直线或一个点 D．不能确定 解析：选 C 当直线与面垂直时，平行投影可能是点． 2．△ABC 的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC 在面α内的射影是( ) A．三角形 B．一直线 C．三角形或一直线 D．以上均不正确 解析：选 D 当△ABC 所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是 三角形． 3．下列说法不．正确的是( ) A．圆柱面的母线与轴线平行 B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面 C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角 有关 D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 解析：选 D 显然 A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正 确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确． 4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为 120°，当圆锥的截面与轴成 45° 角时，则截得二次曲线的离心率为( ) A. 2 2 B. 2 C．1 D.1 2 解析：选 B 由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线， 其离心率为 e＝cos 45° cos 60° ＝ 2. 二、填空题 5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________. 解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同 情况． 答案：圆 圆或椭圆 6．有下列说法： ①矩形的平行射影一定是矩形； ②梯形的平行射影一定是梯形； ③平行四边形的平行射影可能是正方形； ④正方形的平行射影一定是菱形； 其中正确命题是________．(填上所有正确说法的序号) 解析：利用平行射影的概念和性质进行判断． 答案：③ 7．在底面半径为 6 的圆柱内有两个半径也为 6 的球面，两球的球心距为 13.若作一个 平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________． 解析：如图，为圆柱的轴截面，AB 为与两球 O1 和球 O2 都相切的平 面与轴截面的交线， 由对称性知 AB 过圆柱的几何中心 O. 由 O1O⊥OD，O1C⊥OA， 故∠OO1C＝∠AOD，且 O1C＝OD＝6， 所以 Rt△OO1C≌Rt△AOD， 则 AO＝O1O. 故 AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13. 显然 AB 即为椭圆的长轴， 所以椭圆的长轴长 13. 答案：13 三、解答题 8．△ABC 是边长为 2 的正三角形，BC∥平面α，A，B，C 在α 的同侧，它们在α内的射影分别为 A′，B′，C′，若△A′B′C′ 为直角三角形，BC 与α间的距离为 5，求 A 到α的距离． 解：由条件可知 A′B′＝A′C′， ∴∠B′A′C′＝90°. 设 AA′＝x，在直角梯形 AA′C′C 中， A′C′2＝4－(5－x)2， 由 A′B′2＋A′C′2＝B′C′2， 得 2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5± 2. 即 A 到α的距离为 5± 2. 9．若圆柱的一正截面的截线为以 3 为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成 60°，求截线 椭圆的两个焦点间的距离． 解：设椭圆长半轴为 a，短半轴为 b，半焦距为 c， 则 b＝3， a＝ b cos 60° ＝3×2＝6， ∴c2＝a2－b2＝62－32＝27. ∴两焦点间距离 2c＝2 27＝6 3. 10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，AB，CD 是圆 锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD 和母线 VB 的中点 E 作一 截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥 曲线． 解：设⊙O 的半径为 R，母线 VA＝l， 则侧面展开图的中心角为2πR l ＝ 2π， ∴圆锥的半顶角α＝π 4. 连接 OE，∵O，E 分别是 AB，VB 的中点， ∴OE∥VA， ∴∠VOE＝∠AVO＝π 4. 又∵AB⊥CD，VO⊥CD， ∴CD⊥平面 VAB. ∴平面 CDE⊥平面 VAB. 即平面 VAB 为截面 CDE 的轴面， ∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为π 4. 又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等， 故截面 CDE 与圆锥的截线为一抛物线．