高考数学真题专题归纳专题09不等式含解析理 28页

专题09 不等式 ‎【2020年】‎ ‎1.（2020·北京卷）已知函数，则不等式的解集是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以等价于，‎ 在同一直角坐标系中作出和的图象如图：‎ 两函数图象的交点坐标为，‎ 不等式的解为或.‎ 所以不等式的解集为：.‎ ‎2.（2020·山东卷）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】对于A，，‎ 28‎ 当且仅当时，等号成立，故A正确；‎ 对于B，，所以，故B正确；‎ 对于C，，‎ 当且仅当时，等号成立，故C不正确；‎ 对于D，因为，‎ 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；‎ ‎3.（2020·浙江卷）若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 目标函数即：，‎ 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，‎ z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，‎ 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，‎ 28‎ 联立直线方程：，可得点A的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最小值为：‎ 且目标函数没有最大值.‎ 故目标函数的取值范围是.‎ ‎4.（2020·天津卷）已知，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】，,‎ ‎，当且仅当=4时取等号，‎ 结合,解得，或时，等号成立.‎ ‎5.（2020·江苏卷）已知，则的最小值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴且 ‎∴，当且仅当，即时取等号.‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎6.（2020·新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．‎ ‎【答案】7‎ 28‎ ‎【解析】不等式组所表示的可行域如图 因为，所以，易知截距越大，则越大，‎ 平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，‎ 由，得，，‎ 所以 ‎7.（2020·新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 28‎ 目标函数即：，‎ 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，‎ 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点A的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ ‎【2019年】‎ ‎1．【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A． B． ‎ C． D．‎ 28‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以 ‎2．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│‎ ‎【答案】C ‎【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．‎ ‎3．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为 A．−7 B．1 ‎ C．5 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. ‎ 28‎ 设,‎ 当直线经过点时,取最大值5.故选C．‎ ‎4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A． 1010.1 B． 10.1 ‎ C． lg10.1 D． 10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.‎ 故选：A．‎ ‎5．【2019年高考天津卷理数】设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为 A．2 B．3 ‎ C．5 D．6‎ 28‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. ‎ 目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距，‎ 故目标函数在点A处取得最大值.‎ 由，得，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎6．【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】化简不等式，可知 推不出，‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B.‎ ‎【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.‎ 28‎ ‎7．【2019年高考浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的最大值是 A． -1 B． 1‎ C． 10 D． 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。‎ 因为，所以.‎ 平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.‎ 联立两直线方程可得，解得.‎ 即点A坐标为，‎ 所以.故选C.‎ ‎8．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．‎ 28‎ ‎①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．‎ ‎【答案】①130 ；②15.‎ ‎【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.‎ ‎（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,‎ 元时,李明得到的金额为,符合要求.‎ 元时,有恒成立,即,即元.‎ 所以的最大值为.‎ ‎9．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一：.‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，当且仅当时取等号成立.‎ 又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.‎ 方法二：‎ ‎.‎ 28‎ 当且仅当时等号成立，‎ 故的最小值为.‎ ‎【2018年】‎ ‎10．【2018·全国I卷】已知集合，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．‎ ‎11．【2018·全国III卷】设，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，，，‎ ‎,即，又，，即，故选B.‎ ‎12．【2018·天津卷】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 A．6 B．19 ‎ C．21 D．45‎ ‎【答案】C 28‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得，可得点A的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.‎ ‎13．【2018·天津卷】设，则“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】绝对值不等式 ，‎ 由 .‎ 据此可知是的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎14．【2018·北京卷】设集合则 A．对任意实数a， B．对任意实数a，（2，1）‎ 28‎ C．当且仅当a<0时，（2，1） D．当且仅当时，（2，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】点（2，1）在直线上，表示过定点（0，4），斜率为的直线，当 时，表示过定点（2，0），斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点.直线与直线互相垂直.显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点（2，1），故排除A；点（2，1）与点（0，4）连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点（2，1），此时表示的区域也包含点（2，1），故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点（2，1），故排除C，故选D.‎ ‎26．【2018·全国I卷】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：‎ 28‎ 由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，‎ 由，解得，此时，故答案为6.‎ ‎27．【2018·全国II卷】若满足约束条件 则的最大值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.‎ ‎28．【2018·浙江卷】若满足约束条件则的最小值是 28‎ ‎___________，最大值是___________．‎ ‎【答案】-2,8‎ ‎【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以（2，2），（1，1），（4，−2）为顶点的三角形及其内部区域，如图所示.由线性规划的知识可知，目标函数在点（2，2）处取得最大值，在点（4，−2）处取得最小值，则最小值，最大值.‎ ‎29．【2018·北京卷】若