高中数学第7章三角函数课时分层作业40函数y＝Asinωx＋φ的图象与性质含解析苏教版必修第一册 7页

课时分层作业(四十)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝(　　)‎ A．－ B． C．－ D． D　[由题图可知T＝4×＝π，故ω＝2，又f＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝．]‎ ‎2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为(　　)‎ A． B． C．π D． C　[∵f＝f，∴x＝＝为函数f(x)的图象的一条对称轴．‎ ‎∵f＝－f，f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)图象的一条对称轴，且与x＝相邻，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π．]‎ ‎3．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则下列说法正确的是(　　)‎ A．f(x)的最小正周期是π B．f(x)的值域为[0,4]‎ - 7 -‎ C．f(x)的初相φ＝ D．f(x)在上单调递增 D　[由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1．代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2．故函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[1,3]，初相为，排除A、B、C项，故选D．]‎ ‎4．设函数f(x)＝2sin．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)‎ A．2 B． C．1 D． A　[f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2．]‎ ‎5．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D． D　[由题意知，点M到x轴的距离是，‎ 根据题意可设f(x)＝cos ωx，‎ 又由题图知·＝1，所以ω＝π，‎ 所以f(x)＝cos πx，‎ 所以f＝cos＝． 故选D．]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________．‎ - 7 -‎ 　[由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称，‎ 所以f＝－f＝．]‎ ‎7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝________．‎ ‎±3　[由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，‎ 则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3．]‎ ‎8．(一题两空)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；φ＝________．‎ ‎2　－　[T＝－＝，∴T＝＝π，‎ ‎∴ω＝2．‎ 当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－．]‎ 三、解答题 ‎9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π - 7 -‎ x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．‎ ‎[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－．数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 函数解析式为f(x)＝5sin．‎ ‎(2)由(1)知， f(x)＝5sin，‎ 因此g(x)＝5sin＝5sin．‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．‎ 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z．‎ 即y＝g(x)的图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为．‎ ‎10．已知函数f(x)＝3sin的图象的一条对称轴是直线x＝．‎ ‎(1)求φ值；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．‎ ‎[解]　(1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴，‎ ‎∴sin＝±1，‎ - 7 -‎ ‎∴＋φ＝kπ＋，k∈Z．‎ ‎∵0＜φ＜，∴φ＝．‎ ‎(2)由(1)知y＝3sin．‎ 由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ 由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)，‎ 故该函数的对称中心为(k∈Z)．‎ ‎1．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：‎ ‎①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；‎ ‎②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；‎ ‎③y＝f(x)图象关于点对称；‎ ‎④y＝f(x)图象关于直线＝－对称．‎ 其中正确命题的序号为(　　)‎ A．①③　　　B．②④　　　C．②③　　　D．①④‎ C　[对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．‎ ‎∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，‎ ‎∴①错误；对于②，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，∴②正确；对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，‎ ‎∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；‎ - 7 -‎ 对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．]‎ ‎2．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，结论正确的是________．‎ ‎②④　[∵T＝π，∴ω＝2．又2×＋φ＝kπ＋，‎ ‎∴φ＝kπ＋．∵φ∈，∴φ＝，‎ ‎∴y＝sin．由图象及性质可知②④正确．]‎ ‎3．设函数f(x)＝sin(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．‎ 　[∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，‎ ‎∴当x＝时，f(x)取得最大值，‎ 即f＝sin＝1，‎ ‎∴ω－＝2kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴ω＝8k＋，k∈Z．‎ ‎∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值．]‎ ‎4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式及x0的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调增区间；‎ ‎(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．‎ ‎[解]　(1)由题意作出f(x)的简图如图．‎ - 7 -‎ 由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，‎ ‎∴4π＝，即ω＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin，‎ ‎∴f(0)＝2sin φ＝1，‎ 又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin．‎ ‎∵f(x0)＝2sin＝2，‎ ‎∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z．‎ ‎∴x0＝4kπ＋，k∈Z，‎ 又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，‎ ‎∴x0＝．‎ ‎(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ ‎(3)∵－π≤x≤π，‎ ‎∴－≤x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－≤f(x)≤2，‎ 故当x∈[－π，π]时，f(x)的值域为[－，2]．‎ - 7 -‎