2016-2017 学年度上学期高二年级四调考试 理数试卷 9页

2016-2017 学年度上学期高二年级四调考试 理数试卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 0 1 2 18 3 4 5 21C C C C   … 的值等于（ ） A．7351 B．7355 C．7513 D．7315 2.已知椭圆 2 24 1mx y  的离心率为 2 2 ，则实数 m 等于（ ） A．2 B．2 或 8 3 C． 2 或 6 D．2 或 8 3.某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的 茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m n 的值是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 4. A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F 6 个同学和 1 个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色 文化衫，A ，B 和C ，D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和 F 分别穿着红色和橙色的 文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为（ ） A．72 B．112 C．160 D．192 5.以椭圆 2 2 19 5 x y  的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是 1F ， 2F ， 已知点 M 坐标为 (2,1) ，双曲线C 上点 P 在第一象限，满足 1 1 2 1 1 1 2 1| | | | PF MF F F MF PF F F         ，则 1 2PMF PMFS S   （ ） A． 2 B． 4 C．1 D． 1 6.将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这 3 所大学就读，则 每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为（ ） A．150 种 B．180 种 C．240 种 D．540 种 7.若 m ，n 均为非负整数，在做 m n 的加法时各位均不进位（例如，134 3802 3936  ）， 则称 ( , )m n 为“简单的”有序对，而 m n 称为有序数对 ( , )m n 的值，那么值为 1942 的“简 单的”有序对的个数是（ ） A．100 B．150 C．200 D．300 8.如图，在 ABC 中， 30CBA CAB     ， AC 、 BC 边上的高分别为 BD 、 AE ， 则以 A 、 B 为焦点，且过点 D 、 E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A． 3 B．1 C． 2 3 D． 2 9.我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分别填入3 3 的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和 都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同， 就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ） 8 3 4 1 5 9 6 7 2 A．9 B．8 C．6 D．4 10.某中学早上 8 点开始上课，若学生小典与小方均在早上 7:40 至 8:00 之间到校，且两人 在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ） A． 9 32 B． 1 2 C． 3 64 D． 5 64 11.自圆C ： 2 2( 3) ( 4) 4x y    外一点 ( , )P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的 长度等于点 P 到原点O 的长，则| |PQ 的最小值为（ ） A． 13 10 B．3 C．4 D． 21 10 12.设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线l 交 两渐近线于 A ， B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若 OP OA OB     （  ， R  ）， 3 16   ，则该双曲线的离心率为（ ） A． 2 3 3 B． 3 5 5 C． 3 2 2 D． 9 8 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题 p ： 0x R  ， 2 0 2 0mx   ，命题 q ： x R  ， 2 2 1 0x mx   ，若“ p q ” 为假命题，则实数 m 的取值范围为 ． 14.设集合   1 2 3 4 5( , , , , ) | 1,0,1 , 1,2,3,4,5iA x x x x x x i    ，那么集合 A 中满足条件 “ 1 2 3 4 51 | | | | | | | | | | 3x x x x x      ”的元素个数为 ． 15.我校有 4 名青年教师参加说课比赛，共有 4 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机 选出一道题进行说题，则恰有 1 道题没有被这 4 位选中的情况共 种． 16.在直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，准线为l ，点 P 是准线l 上任一点， 准线 PF 交抛物线于 A ， B 两点，若 4FP FA  ，则 AOB 的面积 S  ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（Ⅰ）解不等式 2 8 86x xA A  ； （Ⅱ）求值 1 17 10 10 r rC C  ． 18.已知动圆C 与定圆 2 2 1x y  内切，与直线 3x  相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程； （Ⅱ）若Q 是上述轨迹上一点，求Q 到点 ( ,0)P m 距离的最小值． 19.在直角坐标系 xOy 中，曲线C ： 2 4 xy  与直线 y kx a  （ 0a  ）交于 M ，N 两点． （Ⅰ）当 0k  时，分别求C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 OPM OPN   ？说明理由． 20.已知抛物线 2 4y x ， F 是焦点，直线l 是经过点 F 的任意直线． （Ⅰ）若直线l 与抛物线交于 A 、 B 两点，且OM AB （O 是坐标原点， M 是垂足）， 求动点 M 的轨迹方程； （Ⅱ）若C 、 D 两点在抛物线 2 4y x 上，且满足 4OC OD    ，求证：直线CD 必过定 点，并求出定点的坐标． 21.已知抛物线 C ： 2 4y x 的焦点为 F ，过点 ( 1,0)K  的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D ． （Ⅰ）判断点 F 是否在直线 BD 上，并给出证明； （Ⅱ）设 8 9FA FB   ，求 BDK 的内切圆 M 的方程． 22.已知椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的两个焦点为 1F ， 2F ，离心率为 6 3 ，点 A ， B 在椭圆上， 1F 在线段 AB 上，且 2ABF 的周长等于 4 3 ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过圆O ： 2 2 4x y  上任意一点 P 作椭圆C 的两条切线 PM 和 PN 与圆O 交于点 M ， N ，求 PMN 面积的最大值． 2016-2017 学年度上学期高二年级四调考试理数试卷答案 一、选择题 1-5: DDCDA 6-10: ADABA 11、12： DA 二、填空题 13.[1, ) 14.130 15.144 16. 3 2 2 三、解答题 17.解：（Ⅰ）原不等式可化为 8! 8!6(8 )! (10 )!x x    ， ∴ (10 )(9 ) 6x x   ，即 2 19 84 0x x   ， ∴ 7 12x  ， 又∵ 8x  且 2 0x   ，∴ 2 8x  ，∴ 7 8x  ， 又 *x N ，∴ 8x  ． （Ⅱ）由组合数的定义知 0 1 10, 0 17 10, r r        ∴ 7 9r  ． 又 *r N ，∴ 7r  ，8 ，9 ， 当 7r  时，原式 8 10 10 10 46C C   ； 当 8r  时，原式 9 9 10 10 20C C   ； 当 9r  时，原式 10 8 10 10 46C C   ． 18.解：（Ⅰ）设动圆 C 的圆心 ( , )C x y ， ∵动圆 C 与定圆 2 2 1x y  内切，与直线 3x  相切， ∴ 2 23 1x x y    ， 化简得 2 4 4y x  ． （Ⅱ）设 ( , )Q x y ，则 2 4 4y x  ， ∴ 2 2 2 2| | ( ) ( ) 4 4PQ x m y x m x        2( 2) 4x m m    ． 当 1m   时， 1x  时上式取得最小值 2( 1)m  ，即| |PQ 取得最小值| 1|m  ； 当 1m   时， 2x m  时上式取得最小值 4m ，即| |PQ 取得最小值 2 m ． ∴ min | 1|, 1, | | 2 , 1. m m PQ m m        19.解：（Ⅰ）由题意可设 (2 , )M a a ， ( 2 , )N a a 设过点 M 的切线方程是 '( 2 )y a k x a   ， 代入曲线C ，得 2 4 ' 8 ' 4 0x k x k a a    ． 由 0  ，即 2( ' ) 0k a  ，得 'k a ． 即曲线C 在点 (2 , )M a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a   ，即 0ax y a   ． 同理，曲线C 在点 ( 2 , )N a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a    ，即 0ax y a   ， 故所求切线方程为 0ax y a   ， 0ax y a   ． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设 (0, )P b ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 直线 PM ， PN 的斜率分别为 1k ， 2k ， 将 y kx a  代入曲线 C ，得 2 4 4 0x kx a   ， ∴ 1 2 4x x k  ， 1 2 4x x a  ， ∴ 1 2 1 2 1 2 y b y bk k x x     1 2 1 2 1 2 2 ( )( ) ( )kx x a b x x k a b x x a      ． 当b a  时，有 1 2 0k k  ， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故 OPM OPN   ， ∴ (0, )P a 符合题意． 20.解：（Ⅰ）设动点 M 的坐标为 ( , )x y . ∵抛物线 2 4y x 的焦点是 (1,0)F ， 直线恒过点 F ，且与抛物线交于两点 A 、 B ， 又OM AB ， ∴OM FM  ，即 0OM FM   ， ∴ ( , ) ( 1, ) 0x y x y   ，即 2 2 0x y x   ， 又当 M 与原点重合时，直线l 与 x 轴重合，故 0x  ． ∴动点 M 的轨迹方程是 2 2 0x y x   （ 0x  ）． （Ⅱ）设点C ， D 的坐标分别为 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ， ∵点C 、 D 在抛物线 2 4y x 上， ∴ 2 1 14y x ， 2 2 24y x ， 即 2 2 1 2 1 2 4 y yx x   ， 2 2 1 2 1 2 16 y yx x  ， 又 4OC OD    ， ∴ 1 2 1 2 4x x y y   ，即 2 2 1 2 1 2 416 y y y y   ， 解得 1 2 8y y   ． 设直线CD 的方程为 x my t  ， 由 2 4 , , y x x my t      得 2 4 4 0y my t   ． 则 0  ，即 2 0m t  ， 1 2 4y y t  ， 又 1 2 8y y   ，∴ 2t  ． ∴直线 CD 恒过定点，且定点坐标为 (2,0) ． 21.解：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 1 1( , )D x y ，l 的方程为 1x my  （ 0m  ）． （Ⅰ）将 1x my  代入 2 4y x 并整理， 得 2 4 4 0y my   ，由 216 16 0m    ， 得 2 1m  ，且 1 2 4y y m  ， 1 2 4y y  ， 直线 BD 的方程为 2 1 2 2 2 1 ( )y yy y x xx x    ，即 2 2 2 2 1 4 ( )4 yy y xy y     . 令 0y  ，得 1 2 14 y yx   ， ∴点 (1,0)F 在直线 BD 上． （Ⅱ）由（Ⅰ），知 2 1 2 1 2( 1) ( 1) 4 2x x my my m       ， 1 2 1 2( 1)( 1) 1x x my my    ， 因为 1 1( 1, )FA x y  ， 2 2( 1, )FB x y  ， 所以 1 2 1 2( 1)( 1)FA FB x x y y      2 1 2 1 2( ) 1 4 8 4x x x x m       ， 故 2 88 4 9m  ，解得 4 3m   ． 所以直线l 的方程为3 4 3 0x y   ，3 4 3 0x y   ， 又由（Ⅰ）知， 2 2 1 4 7(4 ) 4 4 3y y m       ， 故直线 BD 的斜率为 2 1 4 3 7 7y y   ， 因而直线 BD 的方程为3 7 3 0x y   ，3 7 3 0x y   ． 因为 KF 为 BKD 的平分线，故可设圆心 ( ,0)M t （ 1 1t   ）， ( ,0)M t 到直线l 及 BD 的 距离分别为 3| 1| 5 t  ， 3| 1| 4 t  ， 由 3| 1| 3| 1| 5 4 t t  ，得 1 9t  ，或 9t  （舍去）， 故圆 M 的半径 3| 1| 2 5 3 tr   ， 所以圆 M 的方程为 2 21 4( )9 9x y   ． 22.解：（Ⅰ）由 2ABF 的周长为 4 3 ， 得 4 4 3a  ， 3a  ， 由离心率 6 3 ce a   ，得 2c  ， 又 2 2 2 1b a c   ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 13 x y  ． （Ⅱ）设 ( , )P PP x y ，则 2 2 4P Px y  ． （i）若两切线中有一条切线的斜率不存在， 则 3Px   ， 1Py   ，另一切线的斜率为 0，从而 PM PN ，此时 1 1| | | | 2 2 3 2 32 2PMNS PM PN       ． （ii）若切线的斜率均存在，则 3Px   ， 设过点 P 的椭圆的切线方程诶 ( )P Py y k x x   ， 代入椭圆方程，消 y 并整理得 2 2 2(3 1) 6 ( ) 3( ) 3 0P P P Pk x k y kx x y kx       ， 依题意 0  ，即 2 2 2(3 ) 2 1 0P P P Px k x y k y     ． 设切线 PM ， PN 的斜率分别为 1k ， 2k ， 从而 2 2 1 2 2 2 1 3 13 3 P P P P y xk k x x       ，即 PM PN ， 即线段 MN 为圆O 的直径，| | 4MN  ， ∴ 2 2 21 1 1| | | | (| | | | ) | | 42 4 4PMNS PM PN PM PN MN       ， 当且仅当| | | | 2 2PM PN  时，取等号． 所以 PMN 面积的最大值为 4．