安徽狮远县育才学校2020_2021学年高二数学暑假检测试题6（含解析） 8页

1 定远育才学校 2020-2021 学年高二暑假数学检测试题 6 一、选择题（60 分） 1.设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 43, 15S S  ，则 6S  （ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 2. ABC 中， 2, 3BC B   ，当 ABC 的面积等于 3 2 时， sinC  （ ） A. 3 4 B. 3 3 C. 3 2 D. 1 2 3.已知 ,x y 都是正数 , 且 2 1 1x y   则 x y 的最小值等于（ ） A. 6 B. 4 2 C. 3 2 2 D. 4 2 2 4.已知 A 船在灯塔 C 北偏东85 且 A 到C 的距离为 2km ， B 船在灯塔C 西偏北 25且 B 到C 的 距离为 3km ，则 ,A B 两船的距离为（ ） A. 13km B. 15km C. 2 3km D. 3 2km 5. ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 2b  ， 6B  ， 4C  ，则 ABC 的面积为（ ） A. 2 2 3 B. 3 1 C. 2 3 2 D. 3 1 6.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题 目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是较小的两分 之和，则最小的 1 份为（ ） A. 5 6 B. 10 3 C. 5 3 D. 11 6 7.若实数 ,x y 满足 0 { 1 0 x y x y x      ，则 2z x y  的最大值为（ ） 2 A. 0 B. 1 C. 3 2 D. 2 8.“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈 现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC 是边长为 1 的正三角 形，曲线 1 1 2 2 3CA A A A A、 、 分别以 A、B、C 为圆心， 1 2AC BA CA、 、 为半径画的弧，曲线 1 2 3CA A A 称为螺旋线，然后又以 A 为圆心， 3AA 为半径画弧......如此下去，则所得螺旋线 1 1 2 2 3 28 29 29 30CA A A A A A A A A、 、 、 的总长度 nS 为（ ） A. 310 B. 110 3  C. 58 D. 110 9.在 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 ， ， 为使此三角 形只有一个，则 a 满足的条件是( ) A. B. C. 或 D. 或 10. 在 ABC 中 ， a ， b ， c 分 别 为 角 A ， B ， C 所 对 应 的 三 角 形 的 边 长 ， 若 4 2 3 0aBC bCA cAB     ，则 Bcos （ ） A． 24 11 B． 24 11 C． 36 29 D． 36 29 11.如图所示，已知半圆的直径 2AB  ,点C 在 AB 的延长线上， 1BC  ，点 P 为半圆上的一个 动点，以 DC 为边做等边 PCD ，且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，则四边形 OPDC 面积的 最大值为（ ） A. 5 3 4 B. 5 31 4  C. 5 32 4  D. 5 33 4  12.已知-2 与 1 是方程 的两个根，且 ，则 的最大值为 （ ） A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 二、填空题（20 分） 3 13.在△ABC 中， ， AB=2，且△ABC 的面积为 ， 则边 BC 的长为 14.已知单调递减的等比数列 满足 ，且 是 ， 的等差中项，则数列 的通项公式 ________________； 15.已知函数    2 2 2f x x a x a     ，若集合   | 0 A x N f x   中有且只有一个元素， 则实数 a 的取值范围为 _____________. 16.某企业生产甲、乙两种产品均需用 两种原料，已知每种产品各生产 吨所需原料及每天原 料的可用限额如下表所示，如果生产 吨甲产品可获利润 3 万元，生产 吨乙产品可获利 万元，则 该企业每天可获得最大利润为___________万元． 三、解答题（70 分） 17. 已 知 a ， b ， c 分 别 为 ABC 三 个 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， cos 3 sin 0a C a C b c    . （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 ABC 为锐角三角形，且 3a  ，求 2 2b c 的取值范围. 18.已知数列 na 中， 1 3 4a  ， 1 1 2n n a a   （ *n N ）. （1）求证：数列 1 1na      是等差数列，并求数列 na 的通项公式； （2）设  *1n nb a n N   ， 1 2 2 3 1n n nS b b b b b b     ，求 nS . 19.已知函数   2sin 2 2cos 16f x x x       . （1）求函数  f x 的单调增区间； （2）在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，且   11, 2, 2a b c f A    ，求 ABC 的面 积. 20.已知数列 na 中， 3 5 65, 20a a a   ，且 1 22 ,2 ,2n n na a a  成等比数列． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； 4 （Ⅱ）设 1 ln n n n ab a        ，设数列 nb 的前 n 项和为 nS ，求证 ln3nS   ． 21.已知二次函数 2)( 2  bxaxxf )0( a . （1）若不等式 0)( xf 的解集为 2|{ xx 或 }1x ，求 a 和b 的值； （2）若 12  ab ，解关于 x 的不等式 0)( xf . 22.某企业生产 A，B 两种产品，生产 1 吨 A 种产品需要煤 4 吨、电 18 千瓦；生产 1 吨 B 种产品需 要煤 1 吨、电 15 千瓦。现因条件限制，该企业仅有煤 10 吨，并且供电局只能供电 66 千瓦，若生 产 1 吨 A 种产品的利润为 10000 元；生产 1 吨 B 种产品的利润是 5000 元，试问该企业如何安排生 产，才能获得最大利润？ 5 参考答案 1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.D 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B 13. 14. (形式不唯一) 15. 1 2,2 3      16.18 17.（Ⅰ） 3A  （Ⅱ）1 2sin 2 26B       ， 2 25 6b c   解析：（Ⅰ）由 cos 3 sin 0a C a C b c    ， 得： sin cos 3sin cos sin sin 0A C A C B C    ， 即  sin cos 3sin cos sin sin 0A C A C A C C     ， 3sin cos cos sin sin 0A C A C C   ，且sin 0C  ， 2sin 16A      ， 1sin 6 2A      ， 且 5,6 6 6A         ，所以 6 6A    ， 3A  （Ⅱ）由正弦定理： sin sin sin a b c A B C   ，  2 2 2 24 sin sinb c B C     2 2 cos2 cos2 4B C   22cos2 2cos2 3B B      6 4 cos2 3sin2B B   2sin 2 46B       又 0 2{ 20 3 2 B B         ，得 6 2B   ， 526 6 6B     ； 所以1 2sin 2 26B       ， 2 25 6b c   18.（1） 11 3na n    .（2） 1 1 4 4nS n    . 解析：（1）∵ 1 3 4a  ， 1 1 2n n a a   （ *n N ）， ∴ 1 1 21 1 1 14, 111 1 1 112 n n n n n a a a a a a           ，即 1 1 1 11 1n na a     . ∴ 1 1na      是首项为 4 ，公差为 1 的等差数列. 从而 1 13 11 3n n n aa n        . （2）∵  *1n nb a n N   ，由（1）知 11 3na n    . ∴ 1 1 1 1,3 3 4n k kb b bn k k     （ 1,2,3,k  ） ∴ 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 6 7 3 4 4 4n n nS b b b b b b n n n                                        ， 即 1 1 4 4nS n    . 19.（1）  ,3 6k k k Z        ；（2） 3 4 解析：（1）   2 3 1sin 2 2cos 1 sin 2 cos2 cos26 2 2f x x x x x x          3 1sin 2 cos2 sin 22 2 6x x x        7 ∴函数  f x 的单调递增区间是  ,3 6k k k Z        . （2）   1 1, sin 22 6 2f A A       ∴ . 又 130 , 26 6 6A A      ∴ . 52 6 6A   ∴ ，故 3A  . 在 ABC 中， 1, 2, 3a b c A     ， 2 21 2 cosb c bc A  ∴ ，即1 4 3bc  . 1bc ∴ . 1 3sin2 4ABCS bc A  ∴ . 20. 解：（Ⅰ）∵ 1 22 ,2 ,2n n na a a  成等比数列， ∴ 1 2, ,n n na a a  成等差数列， 由 3 5 65, 20a a a   ，得 1 1, 2a d  ，∴ 2 1na n  ． （ Ⅱ ） 1 2n nS b b b     1 2 2 3 1 ln ln ln n n aa a a a a     1 2 2 3 1 ln n n aa a a a a         1 1 1 1ln ln ln2 1 3n a a n    21.（1） 1a ， 3b ；（2）若 2 1a ， }21|{  xax ，若 2 10  a ， }12|{ axx  ，若 2 1a ， }2|{ xx . 解析：（1）不等式 0)( xf 的解集为 2|{ xx 或 }1x ， ∴与之对应的二次方程 022 bxax 的两个根为1， 2 ， 由根与系数关系得 1a ， 3b . （2） 0)1)(2(  axx ， ∴若 2 1a ， }21|{  xax ；若 2 10  a ， }12|{ axx  ；若 2 1a ， }2|{ xx . 22. 解 析 ： 设 生 产 A 种 产 品 x 吨 、 B 种 产 品 y 吨 ， 能 够 产 生 利 润 z 元 ， 目 标 函 数 为 8 10000 5000z x y  由题意满足以下条件： 4 10 18 15 66 0 0. x y x y x y         可行域如图 平移直线 0 : 0.5 0l x y  ，由图可以看出，当直线经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z 最大. 解方程组 18 15 66 4 10 x y x y      得 M 的坐标为 x＝2，y＝2. 所以 zmax＝10000x＋5000y＝30000. 故生产 A 种产品 2 吨，B 种产品 2 吨，该企业能够产生最大的利润.