三角函数的图象与性质教案4 21页

‎ ‎ 三角函数的图象与性质 ‎　　一、知识网络 二、高考考点 　　（一）三角函数的性质 　　1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 　　2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 　　3、三角函数的周期性；　　寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. 　　（二）三角函数的图象 　　1、基本三角函数图象的变换； 　2、 型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 　　3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；　　4、利用函数图象解决应用问题. 　　（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 　　三、知识要点 　　（一）三角函数的性质 　　1、定义域与值域 ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　2、奇偶性 　　（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：y＝sinx，y＝tanx；　　偶函数：y＝cosx. 　　（2） 型三角函数的奇偶性 　　（ⅰ）g（x）＝ （x∈R） g（x）为偶函数 ‎ 　　由此得 ； 　　同理， 为奇函数　　 . 　　（ⅱ） 为偶函数 ； 为奇函数 . 　　3、周期性 　　（1）基本公式 　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为 ；　　y＝tanx，y＝cotx的周期为 . 　　（ⅱ） 型三角函数的周期 　　 的周期为 ； 　　 的周期为 . 　　（2）认知 　　（ⅰ） 型函数的周期 的周期为 ； ‎ 的周期为 . ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　（ⅱ） 的周期 的周期为； ‎ 的周期为 . 　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. 　　（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. 　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. 　　（3）特殊情形研究 　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；　　 ‎（ⅱ） 的最小正周期为 ； 　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .　　 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 　　4、单调性 　　（1）基本三角函数的单调区间（族） 　　依从三角函数图象识证“三部曲”： 　　①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； 　　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； 　　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 　　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. 　　（2）y＝ 型三角函数的单调区间 　　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 　　①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ； 　　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式； 　　③还原、结论：将u＝ 代入②‎ - 21 -‎ ‎ ‎ 中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论. 　　（二）三角函数的图象 　　1、对称轴与对称中心 　　（1）基本三角函数图象的对称性 　　（ⅰ）　正弦曲线y＝sinx的对称轴为 ；　正弦曲线y＝sinx的对称中心为（ ，0） . 　　（ⅱ）　余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ；　余弦曲线y＝cosx的对称中心 　　（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为 ；　正切曲线y＝tanx无对称轴. 　　认知： 　　①两弦函数的共性： x＝ 为两弦函数f（x）对称轴 为最大值或最小值；（ ，0）为两弦函数f（x）对称中心 ＝0. 　　②正切函数的个性： 　　（ ，0）为正切函数f（x）的对称中心 ＝0或 不存在. 　　（2） 型三角函数的对称性（服从上述认知） 　　（ⅰ）对于g（x）＝ 或g（x）＝ 的图象 x＝ 为g（x）对称轴 为最值（最大值或最小值）；（ ，0）为两弦函数g（x）对称中心 ＝0. （ⅱ）对于g（x）＝ 的图象（ ，0）为两弦函数g（x）的对称中心 ＝0或 不存在. 　　2、基本变换 　（1）对称变换　（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移 　　3、y＝ 的图象 ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　（1）五点作图法 　　（2）对于A，T， ， 的认知与寻求：　①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离； 　　 2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离. 　　② ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离. 　　 ： 由T＝ 得出.　 　③ ： 　　解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根； 　　解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）. 　　四、经典例题 　　例1、求下列函数的值域： 　　（1） 　（2） 　（3） 　　（4） 　　（5） 　（6） 　　分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为 的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 　　解： 　　（1） 　 ‎ 　　 　∵ 　　∴ ，　　即所求函数的值域为 . ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　（2）由 　　 ‎∴ 　　∴ 　注意到这里x∈R， ， 　　∴ 　　∴所求函数的值域为[－1，1]. 　　（3）这里 　令sinx＋cosx＝t　则有 　　且由 　　于是有 　 ‎ ∵ ∴ ‎ 因此，所求函数的值域为 . （4）注意到这里y>0，且 ∵ ∴即所求函数的值域为 . 　　（5）注意到所给函数为偶函数，又当 　∴此时 　　同理，当 亦有 .　∴所求函数的值域为 . 　　（6）令 　则易见f（x）为偶函数，且 　　∴ 是f（x）的一个正周期.　①　　只需求出f（x）在一个周期上的取值范围. ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　当x∈[0， ]时， 　又注意到 ， 　　∴x＝ 为f（x）图象的一条对称轴　②　　 ‎∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值. 　　而在[0， ]上， 递增. ③ 亦递增④ 　　∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.　　 ‎∴ 　　即 ⑤ 　　于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 . 　　点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致. 　　例2、求下列函数的周期： 　　（1） ；　　（2） ； 　　（3） ；　　（4） ；　　（5） 　　分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 ＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理. 　　解：　（1） 　　＝ 　　＝ 　　 ‎∴所求最小正周期 . ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　（2） ＝ 　　＝ ＝ 　　∴所求周期 . 　　（3） 　＝ 　 ‎＝ ＝ .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 . 　　（4） 　注意到3sinx及-sinx的周期为2 ，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 .　　∴所求函数的周期为2 . 　　（5） 　 　　注意到sin2x的最小正周期 ，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期 ，这里 的最小公倍数为 .　　∴所求函数的周期 . 　　点评：对于（5），令 　则由 知， 是f（x）的一个正周期.① 　　又 　∴ 不是f（x）的最小正周期. ② 　　于是由①②知，f（x）的最小正周期为 . 　　在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果. ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　 请大家研究 的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验. 　　例3、已知函数的部分图象， 　　（1）求 的值；　　（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标. 　　解： 　　（1）令 ，则由题意得f（0）＝1 　　∵ 　　∴ 　　注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 ，故逆用“五点作图法”　得： 　由此解得 　∴所求 ， . 　　（2）由（1）得 　令 ，解得 ， 　　∴函数f（x）图象的对称轴方程为 ；令 解得 ， 　　∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 . 　　点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式： 　　 　　 　　 ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　例4、　（1）函数 的单调递增区间为　　　　　　　　 。 　　（2）若函数 上为单调函数，则a的最大值为　　　　　　 。 　　（3）　函数 的图象的对称中心是　　　　　　　　　　 。 　　函数 的图象中相邻两条对称轴的距离为　　　　　　 。 （4）把函数 的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为　　　　　　　　　　 。 　　（5）对于函数 ，给出四个论断： 　　①它的图象关于直线x＝ 对称；　　②它的图象关于点（ ,0）对称； 　　③它的周期为 ；　　④它在区间〔－ ，0〕上单调递增. 　　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是　　　　　　　　　。 　　分析： 　　（1）这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 　　 　　 　 ‎∴应填 　　（2）由f（x）递增得 ‎ 　　易见， ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　由f（x）递减得 ‎ 　　当k＝0时， 　注意到 而不会属于其它减区间，　故知这里a的最大值为 . （3）（ⅰ）令 ‎∴所给函数图象的对称中心为（ ，0） ； 　　（ⅱ） 　　　　 ① 　　解法一（直接寻求）　在①中令 　则有② 　　又在②中令k＝0得 ，　　令k＝1得 　　∴所求距离为 － 　　解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为 T＝ ，故所求距离为 . 　　（4）这里 将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为 　　令 ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　则由题设知f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）　 ∴所求m的最小值为 . 　　（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察 　　①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形. 　　（ⅰ）考察①、③ ②、④是否成立. 由③得 ，故 ；又由①得 　　注意到 .　∴在①、③之下， ，易知此时②、④成立. 　　（ⅱ）考察②、③ ①、④是否成立.　　由③得 ，故 ； 　　又由②得 　注意到 . 　　∴在②、③之下， ，易知此时①、④成立. 　　于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③ ②、④与②、③ ①、④. 　　点评：对于（4）利用了如下认知： ； 　　 . 　　对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节. 　　例5、已知 的最小正周期为2，当 - 21 -‎ ‎ ‎ ‎ 时，f（x）取得最大值2. 　　（1）求f（x）的表达式； 　　（2）在闭区间 上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由. 　　分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为＋k的形式，这是此类问题的解题的基础. 　　解：　（1）去 　　令 ， ，即 　则有① 　　由题意得②　又由①知 ，注意到这里A>0且B>0，取辅助角 ， 　　则由②得③ 　　（2）在③中令 　解得x＝k＋ 　　解不等式④　　注意到 ，故由④得k＝5. 　　于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 . 　　点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为 ＋k的形式，解题便胜券在握. 　　例6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f（x）]<0且x∈[0， ]时，实数a的取值范围. ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ ‎　　分析：由点A、B都在函数 的图象上　得： ，∴b＝a，c＝1－a. 　　∴ 　∴ 　　此时，由g[f（x）]<0且x∈[0， ]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性. 　　解：由分析得 　　∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0， ① 　　∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0②　∴由①②知，当x<-2或00), 　　由00且h（t）<2 　　（1）h(t)>0， ⑤　当a>0时，h(t)在 上递增，　∴由⑤得，h(1)>0，显然成立； 　　当a<0时，h(t)在 上递减　　∴由⑤得，h( )>0 （ －1）a＋1>0 ； 　　当a＝0时，h（t）显然满足10， 得　　 － －10时，h(t)在 上递增，∴由⑦‎ - 21 -‎ ‎ ‎ 得，h( )<2 ； 　　当a<0时，h(t)在 上递减　　∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件；　当a＝0时，h（t）＝1，显然满足条件. 　　因此由⑦得 ⑧　　于是综合（1）（2）知，由0