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- 2021-06-16 发布
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眉山市高中 2018 届第三学期期末教学质量检测
数学(文科)参考答案 2017.01
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A B B B A C D A C B
二、填空题
13、 1
16y 14. 24 15. ]30[ , 16. 4 3
3
三、解答题
17、解:⑴.当 3
4
时,直线 AB 的方程为: 2 ( 1) 1 0y x x y
设圆心到直线 AB 的距离为 d,则 2
2d
∴ 2 2| | 2 30AB r d ………………………… 5分
⑵.当弦 AB 被点 P0 平分时 OP0⊥AB
∵
0
2OPK ∴ 1
2ABK
故直线 AB 的方程为: 12 ( 1)2y x 即 2 5 0x y ……………10
分
18、由命题 p: 0 得 2a 或 1a , ……………………………………4
分
对于命题 q:
因 时 0222 axax 恒成立,所以 或 a =0,
0 4a ……………………………………………6 分
由题意知 p 为假命题,q 为真命题。……………………………………………8 分
∴ 1040
12
aa
a ,∴a 的取值范围为 1,0 …………………………12 分
19、解(1)因为 3×2+4×3-7>0,3×2+4×3+8>0,所以 P 在两条平行直线 l1,
l2 外.
过 P 作直线 l,使 l⊥l1,则 l⊥l2,
设垂足分别为 G,H,则|GH|就是所求 d 最小值.
由两平行线间距离公式,得 d 最小值为|GH|=|8-(-7)|
32+42
=3. ………………6
分
(2)当直线 l 与 x 轴平行时,l 的方程为 y=3;
设直线 l 与直线 l1,l2 分别交于点 A(x1,3),B(x2,3),则 3x1+12-7=0,3x2+12
+8=0,
所以 3(x1-x2)=15,即 x1-x2=5,所以 d=|AB|=|x1-x2|=5. ……………12
分
20、解:(1)以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点建立直角坐标系. ….1 分
| PA |+| PB |=| CA |+| CB |=
2
2 + 22 )2
2(2 =2 2 ,
动点的轨迹是以为 ,A B 焦点椭圆…………………………………………….4 分
设其长、短半轴的长分别为 a 、b ,半焦距为 c,则 a = 2 ,c=1,b =1,
曲线 E 的方程为:
2
2x +y 2 =1 .……………………………………………6 分
(2)直线l 得方程为 3( 1)y x= - - 且 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ………….7 分
由方程组 2
2
3( 1)
12
y x
x y
得方程 27 12 4 0x x
1 2
12
7x x+ = 1 2
4
7x x = ………………………………………………….9 分
2
1 2| | 1 ( 3) | |MN x x 2
1 2 1 22 ( ) 4x x x x
7
28
7
44)7
12(2 2
故
7
28MN …………………………………………………………..12 分
21、(1)证明:当直线 l 的斜率不存在时, : 3l x (3, 6)A , (3, 6)B
3)6(633 OBOA …………………………………………1 分
22 8 0
0
a a
a
x R
设直线 l 的方程为 ( 3)y k x= - ( 0k )且 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y
由方程组 2
( 3)
2
y k x
y x
代入化简得 2 2 2 2(6 2) 9 0k x k x k
0k 1 2 9x x = …………………………………………. 3 分
由
2
1 1
2
2 2
2
2
y x
y x
得 2
1 2 1 2( ) 4y y x x= 1 2 6y y ……………………….4 分
1 2 1 2OA OB x x y y
9 6 3 ……………………………………….5 分
故综上所述:“如果直线l 过点 T(3,0),那么
OA
OB =3”是真命题….6 分
(2)逆命题:直线 l 与抛物线 2y =2 x 相交于 A、B 两点,如果
OA
OB =3,
那么直线l 过点 T(3,0)。此逆命题是假命题。……………………………………….8
分
设直线 l 的方程为 x ky m= + 且 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y
由方程组 2 2
x ky m
y x
代入化简得 2 2 2 0y ky m
1 2
2
2
4 4 0
y y m
k m
…………………………………………………………….9 分
由
2
1 1
2
2 2
2
2
y x
y x
得 2
1 2 1 2( ) 4y y x x=
2
1 2x x m= ………………………………………………………………………10 分
由 1 2 1 2OA OB x x y y = 22m m =3
解方程 2 2 3 0m m 得 3, 1m m
即直线方程为 3x ky 或
1x ky …………………………………………….11 分
所以直线 l 过点(3,0)或 ( 1,0)-
故此逆命题是假命
题……………………………………………………………….12 分
说明:若有学生用特值法举出一条直线经过 ( 1,0) 且满足
OA
OB =3 说明逆
命题是假命题,也给 6 分.
22、解:(1)设点 M 的坐标为 yx, ,点 P 的坐标为 00 , yx ,
则 0xx , 02yy ,所以 xx 0 ,
20
yy , ………………………….. 1 分
因为 00 , yxP 在圆 122 yx 上,所以 12
0
2
0 yx …………………2 分
将①代入②,得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 14
2
2 yx . ……………4 分
(2)由题意知, 1|| t .
当 1t 时,切线l 的方程为 1y ,点 A、B 的坐标分别为 ),1,2
3(),1,2
3(
此时 3|| AB ,当 1t 时,同理可得 3|| AB ; …………………6 分
当 1t 时,设切线l 的方程为 ,mkxy Rk
由
,14
,
2
2 yx
tkxy
得 042)4( 222 tktxxk ……………………………………………3 分
设 A、B 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxyx ,则由③得:
2
2
21221 4
4,
4
2
k
txx
k
ktxx
.………………………………………8 分
又由 l 与圆 122 yx 相切,得 ,1
1
||
2
k
t 即 .122 kt ………9 分
所以
2
12
2
12 )()(|| yyxxAB ]
4
)4(4
)4(
4)[1( 2
2
22
2
2
k
t
k
tkk
.
3
||34
2
t
t
因为 ,2
||
3||
34
3
||34|| 2
ttt
tAB 且当 3t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大
值为 2,
依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 122 yx 的半径,所以 AOB 面积
112
1 ABS ,当且仅当 3t 时, AOB 面积 S 的最大值为 1,相应
的 T 的 坐 标 为 3,0 或 者
3,0 .……………………………………………….12 分
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