2020届安徽省马鞍山市高三数学（理科）二模试题及答案解析 21页

2020 届安徽省马鞍山市高三数学（理科）二模试题 一、单选题 1．若全集 {0,1,2,3,4}U  ，集合 {1,2,3}A  ， {2,4}B  ，则 UB A ð （ ） A．{0,2,4} B．{1,3, 4} C．{2,3, 4} D．{0,2,3, 4} 2．已知椭圆 C： 2 2 1 4 3 x y   ，直线 l： 0x my m   （m R ），l与 C的公共点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法判断 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 4．已知命题 2: , 1 0P x R x    ；命题 ，则下列判断正确的是（ ） A． 是假命题 B． 是假命题 C． 是真命题 D． 是真命题 5．设 i为虚数单位，复数   1 2i i  的实部为（ ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 6．函数 2sin 2 2x x xy   的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．右图所示的程序框图中的输出结果是 ( ) A．2 B．4 C．8 D．16 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外 接球的表面积是（ ） A． B． 4 3  C． 4 D．16 9．从 20名男同学和30名女同学中选 4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面 是不同的选法种数的三个算式： ① 1 1 2 20 30 48C C C ；② 4 4 4 50 20 30C C C  ；③ 1 3 2 2 3 1 20 30 20 30 20 30C C C C C C  . 则其中正确算式的个数是（ ） A． 0 B．1 C．2 D．3 10．在等边三角形 ABC中,D是 AC上一点， 2CD DA ,M 是 BD上一点， 90AMC   ,则 tan AMD  ( ) A． 3 4 B． 3 3 C． 1 2 D． 1 3 11．若n是正奇数，则 1 1 2 2 17 7 7 7n n n n n n nC C C      被 9除的余数为（ ） A．2 B．5 C．7 D．8 12．在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 A是 B和 C的等差中项， 0AB BC    ， 3 2 a  ，则 ABC 周长的取值范围是 ( ) A． 2 3 3 3, 2 2         B． 3 33, 2        C． 1 3 2 3, 2 2         D． 1 3 3 3, 2 2         二、填空题 13．已知函数 y＝ 2 1 1 x x   的图像与函数 y＝kx－2的图像恰有两个交点，则实数 k的取值范围是 ________． 14．已知 ( , )f x y ax by  ，若 1 (1,1) 2f  且 -1 (1, 1) 1f   ，则 (2,1)f 的取值范围为______． 15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为 40%，用随机模拟的方法估计这三天中 恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生 0到 9之间的整数值的随机数，如果我们用 1，2，3，4表 示下雨，用 5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下： 这三天中恰有两天下雨的概率约为______. 16．在平面直角坐标系 xOy中，设 ( 1,1)A  ， ,B C 是函数 1 ( 0)y x x   图像上的两点，且 ABC 为正三角形，则 ABC 的高为____________． 三、解答题 17．已知函数   3f x x x  ，   2 3g x x  . (1)求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)求函数  f x 在 0,2 上的最大值； (3)求证：存在唯一的 0x ，使得    0 0f x g x . 18．设函数 ( ) ln( 1)( 0)f x x x   ， ( 1)( ) ( 0) 1 x x ag x x x      . （1）证明： 2( )f x x x  . （2）若 ( ) ( )f x x g x  恒成立，求 a的取值范围； （3）证明：当 *n N 时， 2 2 1 2 1ln( 3 2) 4 9 nn n n        . 19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推 出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微 信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、 女性使用微信的时间分成5组：  0,2 ,  2,4 ,  4,6 ,  6,8 ,  8,10 分别加以统计，得到如图所示的 频率分布直方图． （1）根据女性频率分布直方图，估计女性使用微信的平均时间； （2）若每天玩微信超过 4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件 完成 2 2 的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？ 参考公式：           2 2 n ad bc K a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    ． 参考数据： 20．已知 a、b、c都是正实数，且 ab+bc+ca=1求证： 3a b c   21．已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 2AB  ， 1 3AA  ，D为 AC的中点． （1）当 1 1 2 AE EA   时，求证： 1DE BC ； （2）在线段 1AA 上是否存在点 E，使二面角 A BE D  等于 30°？若存在求出 AE的长；若不存 在，请说明理由． 22．已知数列 na 中， 1 1a  ，  *1 n n n a aa n e  N ，记 nS 为其前n项和．数列 nb 的各项均不 为 0，且对任意 *n N ， 1 2 nan n b e b   ． （Ⅰ）证明：数列 n na b 是等比数列； （Ⅱ）（ⅰ）证明： 1 1 1 1 n na a   ； （ⅱ）证明：  ln 1nS n  ． 23．在直角坐标系 xOy中，曲线 1C 的普通方程为 2 2 2x y x  ，曲线 2C 的参数方程为 1 cos 2 3 sin 2 x a y         （ 为参数）.以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别求曲线 1C 与 2C 的极坐标方程； （2）过原点的直线 l分别与曲线 1C ， 2C 相交于异于原点的 A，B两点，求线段 AB长度的最大值. 【答案与解析】 1．A 先求出 U Að ，再与集合 B求并集即可. 由已知， {0, 4}U A ð ，故 UB A ð {0,2,4} . 故选：A 本题考查集合间的基本运算，涉及到补集、并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2．C 分析：先分析直线所过的定点，然后代入椭圆看此点是否在椭圆内部即可. 详解：因为直线： 0x my m   恒过（0,1），而将（0,1）代入椭圆方程得： 1 1 3  ，故此点在椭 圆内部，所以直线与椭圆相交，故有两个交点，选 C. 点睛：考查直线和椭圆的位置关系，正确求出直线的定点并检验是否在椭圆内部是解题关键，属于 基础题. 3．D 利用三视图的成图原理，即长对正、宽相等、高平齐，可得四个几何体的三视图。 对①，三视图均相同； 对②，主视图与侧视图相同； 对③，三个视图均不相同； 对④，主视图和侧视图相同。 故选：D. 本题考查三视图的成图原理，考查空间相象能力，属于容易题。 4．D 试题分析：命题 2: , 1 0P x R x    是假命题；命题 是真命题，因此 是真命题， 是假命题， 是真命题，选 D. 考点：复合命题真假 5．A 根据复数的运算法则及复数的概念即可求解. 因为   1 2 2 +2 1 3+i i i i i      ， 所以复数的实部为 3， 故选 A 本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题. 6．A 利用奇偶性排除 C，当0 x   时利用基本不等式和三角函数的有界性可以得到 ( ) (0,1)f x  ，从 而排除 BD，进而得到答案. 记 2sin 2 2x x xy   为 2sin( ) 2 2x x xf x   ，  2sin 2sin( ) ( ) 2 2 2 2x x x x x xf x f x           ， ∴  f x 是奇函数，排除 C; 当0 x   时， 2sin 2sin( ) = sin (0,1) 2 2 2 2 2x x x x x xf x x       , 故 B、D错误， 故选：A. 本题考查已知函数的解析式，判定图象，涉及函数的奇偶性，三角函数的性质，基本不等式，指数 函数的性质，属小综合，难度一般. 7．C 由程序框图可知程序运行三次，则 1 2 2 2 8S      ，故选 C 8．C 根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据 求出球的半径，进而可得球的表面积． 由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥 P ABC ，其中侧面 PAB 底面 ABC，在 ABC 和 PAB 中， 90ACB APB   ， 2AC BC AP BP    ． 取 AB的中点D，连 PD，则D为 ABC 外接圆的圆心，且 PD 底面 ABC， 所以球心O在 PD上． 设球半径为 R，则在 Rt ODB 中， 1 , , 1OD R OB R DB    ， 由勾股定理得 2 2 2(1 ) 1R R   ，解得 =1R ， 所以三棱锥的外接球的表面积为 24 4S R   ． 故选 C． 求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对 于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心 和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象 能力． 9．C ①错，计算有重复； ②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况； ③对，分类，即 1 男 3 女，2 男 2 女，3男 1女. 故选：C. 求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺 序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题 ——间接法. 10．B 以 BC的中点为原点，BC  为 x轴正方向，设等边三角形 ABC边长为 a，得到 , ,A B C的坐标，再 根据 2CD DA ，得到D点坐标，设M 坐标为  ,x y ，M 是 BD上一点，BM tBD   ，可以得 到关于 ,x y的方程； 90AMC  可得 0MA MC    ,得到关于 ,x y的方程；解出 ,x y得到M 点 坐标，再由向量的夹角公式，得到 cos AMD ，从而可得 tan AMD . 以 BC的中点为原点， BC  为 x轴正方向，设等边三角形 ABC边长为 2a， 则      0, 3 , ,0 , ,0A a B a C a ，  2CD DA ， 2 3, 3 3 aD a         设M 坐标为  ,x y M 是 BD上一点，则 BM tBD     4 2 3, , 3 3 x a y t a a          ，  3 2 y x a   由 90AMC  可得 0MA MC    ，即    , 3 , 0x a y a x y      2 23 0ax x ay y     解得 3 2 3, 7 7 a ax y   ， 3 2 3, 7 7 a aM        3 5 3, 7 7 aMA a          ， 16 8 3, 21 21 aMD a          2 22 2 3 5 3 16 8 3, , 7 7 21 21 3cos = 23 5 3 16 8 3+ 7 7 21 21 a aa a MA MDAMD MA MD a aa a                                            0,AMD   ， 3 AMD    ， 3tan 3 AMD  ，故选 B项. 本题考查向量的坐标表示，向量共线和垂直的表示，向量夹角的余弦公 式，计算量较大，属于难题. 11．C 根据二项式定理化简 0 1 1 2 2 1 7 7 7 7 7 (7 1) 1n n n n n n n nC C C C         ，再根据题意对化简的式子 进行变形得到 (9 1) 1n  ，再次展开进行求解即可. 解：由题可知：原式= 0 1 1 2 2 1 7 7 7 7 7n n n n n n nC C C C       0 0 1 1 2 2 2 1 1 0 07 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1n n n n n n n n n n n n n n nC C C C C C                (7 1) 1n   8 1n  (9 1) 1n    00 1 1 2 2 2 1 1 09 1 9 ( 1) 9 ( 1) 9 ( 1) 9 ( 1) 1n n n n n n n n n n n nC C C C C                      ， 因为 n为正奇数，所以上式可化简为： 0 1 1 2 2 2 1 19 9 ( 1) 9 ( 1) 9 ( 1) 2n n n n n n n n nC C C C              0 1 1 2 2 2 1 19 9 ( 1) 9 ( 1) 9 ( 1) 9 7n n n n n n n n nC C C C                所以该式除以 9，余数为：7. 故选：C. 本题考查运用二项式定理解决余数问题，考查代数式的恒等变形能力，考查了数学运算能力. 12．B 分析：由 0AB BC    得 B角是钝角，由等差中项定义得 A为 60°，再根据正弦定理把周长用三 角函数表示后可求得范围． 详解：∵ A是 B和C的等差中项，∴2A B C  ，∴ 3 A   ， 又 0AB BC    ，则 cos( ) 0B   ，从而 2 B   ，∴ 2 2 3 B    ， ∵ 3 2 1 sin sin sin sin 3 a b c A B C      ，∴ 2sin , sin sin( ) 3 b B C C B     ， 所以 ABC 的周长为 3 2sin sin( ) 2 3 l a b c B B        33 sin( ) 6 2 B     ， 又 2 2 3 B    ， 2 5 3 6 6 B      ， 1 3sin( ) 2 6 2 B     ，∴ 3 33 2 l    ． 故选 B． 点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结 合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量 ,AB BC   的夹角是 B角的外角，而不是 B角，要特别注意向量夹角的定义． 13．(0,1)∪(1,4) y＝ 1, 1 1 -x-1, 1 1 x x x x         或 函数 y＝kx－2 的图象恒过定点 M(0，－2)， kMA＝0，kMB＝4. 当 k＝1时，直线 y＝kx－2 在 x＞1或 x≤－1 时与直线 y＝x＋1 平行，此时有一个公共点， ∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点． 点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不 等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加 以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数 形结合求解． 14． 71, 2      依题意有 1 2 { 1 1 a b a b        ，目标函数    3 12 2 2 z a b a b a b      .  3 3 ,3 2 2 a b       ，  1 1 1, 2 2 2 a b       ，所以 71, 2 z      . 点睛：本题主要考查了线性规划的知识.题目首先给定一个新定义的函数  ,f x y ax by  ，我们 就可以利用这个新定义，将题目所给已知条件转化为不等式组 1 2 { 1 1 a b a b        ，并且目标函数也可 以求得为 2z a b  .通过配凑法，将目标函数配凑成已知的不等式组的线性和的形式，由此求得 目标函数的取值范围. 15．0.3 由题意，三个随机数为一组表示未来三天天气情况，经随机模拟共产生了 20组随机数，在 20组随 机数中表示三天中恰有两天下雨的情况可以通过列举得到，根据古典概型概率公式，即可得到结果． 由题意知三个随机数为一组表示未来三天天气情况， 经随机模拟产生了如下 20组随机数， 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 137 989 在 20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，137 共 6组随机数， 所求概率为 6 0.3 20  ． 故答案为：0.3 本题主要考查模拟方法估计概率，古典概型的计算与应用，根据题意找出适合条件的基本事件是关 键，属于中档题． 16．2 设出直线 BC的方程，联立直线 BC的方程和 1 ( 0)y x x   ，写出韦达定理，结合三角形 ABC是 正三角形，求得直线 BC的斜率，进而求得三角形 ABC的高. 设    1 1 2 2, , ,B x y C x y ，设直线 BC的方程为  0, 0y kx b k b    .由 1 y kx b y x      得 2 1 0kx bx   ，所以 1 2 1 2 1,bx x x x k k       ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x xy y b x x x x        .设BC的中点 为D，则 , 2 2 b bD k      .因为  1,1A  ，而 1AD BCk k   ，即 1 2 1 1 2 b kb k       ，由于k 0 ，故 1 0k  ，所以  2 0 1 kb b k    .  22 1 2 1 21 4BC k x x x x       2 2 4 41 1 k kk      . 由于 AD BC ，故 AD是三角形 ABC的高.根据等边三角形的性质有 3 2 AD BC ，即   2 22 1 3 4 41 2 11 k b k kkk          ，解得 4 7 3 k    ，由于  2 0 1 kb b k    ，所以 4 7 3 k    .， 2 23 8 7 9 k   .所以 2 2 1 1 11 k b kAD kk         22 1 7 2 1 7     . 故答案为： 2 本小题主要考查直线和曲线相交交点坐标、韦达定理与弦长公式，考查化归与转化的数学思想方法， 考查运算求解能力，属于难题. 17．（1）2 2 0x y   ；（2）6；（3）见解析 （1）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程； （2）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可； （3）构造函数      h x f x g x  = 3 3 3x x  ，只需证明函数有唯一零点即可. （1）由 3( )f x x x  ，得 2( ) 3 1f x x  ，所以 (1) 2f   ，又 (1) 0f  所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为：  0 2 1y x   ， 即： 2 2 0x y   . （2）令   0f x  ，得 3 3 x   . ( )f x 与 ( )f x 在区间 [0,2]的情况如下： x 3(0, ) 3 3 3 3( , 2) 3  f x - 0 +  f x 极小值 因为  0 0,f   2 6,f  所以函数 ( )f x 在区间 -2 3，上的最大值为 6. （3）证明：设      h x f x g x  = 3 3 3x x  ， 则   2( ) 3 3 3 1 1h x x x x     ， 令 ( ) 0h x  ，得 1x   . ( )h x 与 ( )h x 随 x的变化情况如下： x  , 1  1  1,1 1  1,  'h x  0 - 0   h x  极大值  极小值  则  h x 的增区间为  , 1  ，  1, ，减区间为  1,1 . 又  1 1 0h   ，    -1 1 0h h  ，所以函数 ( )h x 在  -1, 没有零点，又  -3 -15 0h   ， 所以函数 ( )h x 在  , 1  上有唯一零点 0x . 综上，在  ,  上存在唯一的 0x ，使得 0 0( ) ( )f x g x . 18．（1）见解析；（2） ( ,1] ；（3）见解析. （1）令函数     2h x ln x 1 x x    ，证明其最小值大于等于 0即可（2）原题转化为   axln x 1 0 1 x     恒成立，令     axm x ln x 1 1 x     ，求导求其最小值  minm x 0 即可；（3） 由（1）   2ln x 1 x x   ，令 1x n  ，得   2 n 1ln n 1 lnn n     ，裂项相消求和得   2 1 2 n 1ln n 1 4 9 n       即可 （1）证明：令函数     2h x ln x 1 x x    ，  x 0,   ，   21 2x xh x 2x 1 0 1 x 1 x          ， 所以  h x 为单调递增函数，    h x h 0 0  ， 故   2ln x 1 x x   . （2）    f x x g x  ，即为   axln x 1 1 x    ， 令     axm x ln x 1 1 x     ，即  m x 0 恒成立，        2 2 a 1 x ax1 x 1 am x x 1 1 x 1 x            ， 令  m x 0  ，即 x 1 a 0   ，得 x a 1  . 当 a 1 0  ，即 a 1 时，  m x 在 0,  上单调递增，    m x m 0 0  ， 所以当 a 1 时，  m x 0 在 0,  上恒成立； 当 a 1 0  ，即 a 1 时，  m x 在  a 1,   上单调递增，在 0,a 1 上单调递减， 所以      min m x m a 1 m 0 0    ， 所以  m x 0 不恒成立. 综上所述： a的取值范围为  ,1 . （3）证明：由（1）知   2ln x 1 x x   ， 令 1x n  ， *n N ，  x 0,1 ， 2 n 1 n 1ln n n    ，即   2 n 1ln n 1 lnn n     ， 故有 ln2 ln1 0  ， 1ln3 ln2 4   ， …   2 n 1ln n 1 lnn n     ， 上述各式相加可得   2 1 2 n 1ln n 1 4 9 n       . 因为    22n 3n 2 n 1 n 1 0       ， 2n 3n 2 n 1    ，    2ln n 3n 2 ln n 1    ， 所以  2 2 1 2 n 1ln n 3n 2 4 9 n        . 本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分 析求解能力，第三问关键是利用（1）令 1 x n  ,裂项求和，是中档题 19．(1)4.76 小时(2) 有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关． 分析：（1）根据平均数的计算公式得到结果；（2）根据公式计算得到  22 100 38 20 30 12 2.941 2.706 50 50 68 32 K          ，从而做出判断. 详解： （1）女性平均使用微信的时间为：0.16 1 0.24 3 0.28 5 0.2 7 0.12 9 4.76          （小时） （2） 2 0.04 0.14 2 0.12 1a    （ ） ，解得 0.08a  由列联表可得  22 100 38 20 30 12 2.941 2.706 50 50 68 32 K          ，所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关． 点睛：本题考查了平均数的计算，卡方的计算和应用；频率分布直方图中平均数的计算是，将每个 长方条的中点乘以长方条的高，再乘以组距，相加即可. 20．见解析 利用不等式 2 2 2a b c ab bc ca     证明． ∵ 2 2 2a b c ab bc ca     ， ∴ 2 2 2 2( ) 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca              3( ) 3ab bc ca    ， a b c  时取等号． 又 , ,a b c均为正数， ∴ 3a b c   本题考查用基本不等式证明不等式，解题关键是掌握基本不等式的推广形式：即 2 2 2a b c ab bc ca     ． 21．（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 （1）通过证明 ED 平面 1BDC 得证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决. （1）证明：连结 1DC ，因为 1 1 1ABC ABC 为正三棱柱，所以 ABC 为正三角形， 又因为D为 AC的中点，所以 BD AC ， 又平面 ABC 平面 1 1ACC A ，所以 BD 平面 1 1ACC A ，所以 BD DE ． 因为 1 1 2 AE EA   , 2AB  ， 1 3AA  ，所以 3AE= 3 ， 1AD  ， 所以在Rt ADE△ 中， 30ADE  ，在 1Rt DCC 中， 1 60C DC  ， 所以 1 90EDC ＝ ，即 1ED DC ， 所以 ED 平面 1BDC ， 1BC 面 1BDC ，所以 1DE BC ．（也可以利用建系的方法证明） （2）假设存在点 E满足条件，设 AE h ． 取 1 1AC 的中点 1D ，连结 1DD ，则 1DD 平面 ABC，所以 1DD AD ， 1DD BD ， 分别以DA、DB、 1DD 所在直线为 x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0) ，B(0, 3,0) ， E(1,0, )h ， 所以 (0, 3,0)  DB  uuur   (1,0, ) DE h uuur   (-1, 3,0) AB  uuur (0,0, )AE h uuur ， 设平面DBE的一个法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z  ， 则 1 1 0 0 n DB n DE            1 1 1 3 0 0 y x hz      令 1 1z  ，得 1 ,0,1( )n h ur ， 同理，平面 ABE的一个法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z  ， 则 2 2 0 0 n AB n AE            2 2 2 3 0 0 x y hz      ∴ 2 ( 3,1,0)n  uur ． 所以 1 2 2 | 3 | 3 cos , =cos 30 22 1 hn n h     o ur uur ， 所以 2| | 1h h  ， 所以 h无解． 故不存在点 E，使二面角 A BE D  等于 30°． 此题考查线面垂直的证明，利用线面垂直证明线线垂直，利用空间直角坐标系解决空间角的问题， 需要熟练掌握法向量法在解决空间角问题中的应用. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. （Ⅰ）根据定义计算 1 1n n n n a b a b + + ，得出结果为常数 2，即得证； （Ⅱ）（ⅰ）由 0na  时，则 1na ne a  ，即可证明； （ⅱ）原式转化为 1ln lnn n na a a+ - = - ，累加可得 1ln n na S+ = - ，即 1 1lnn n S a + = ，转化为 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1ln 1n n n n n S a a a a a a+ - 骣 琪= - + - + - +琪 桫  ，由（ⅰ）结论可证. （Ⅰ） 1 n n n a aa e+ = , 1 2 nan n b e b   , 1 1 2 2 n n a n n n n n n n na a b e ea b a b a b + + 鬃 = = , 数列 n na b 是公比为 2的等比数列； （Ⅱ）（ⅰ）令 ( ) 1xf x e x   ，则 '( ) 1xf x e  ， 当 0x  时， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增，即 ( ) (0) 0f x f  ， 即 1xe x  在 0x  时恒成立， 由题可知 0na  ，则 1na ne a  ， 1 11 11 na n n n n n ae a a a a+ + = > = + ， 1 1 1 1 n na a    ； （ⅱ） 1 n n n a aa e+ = ， 1ln ln ln n n n n na aa a a e    ，即 1ln lnn n na a a+ - = - ， ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 1 1 2 3ln ln ln ln ln ln ln lnn n na a a a a a a a a a a a+ - + - + - + - = - - - - ， 即 1 1ln lnn na a S+ - = - ， 1 1a  ，则 1ln n na S+ = - ， 1 1lnn n S a + = ， 由（ⅰ）知 1 1 1 1 n na a   ， ( ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1n n n n n S n a a a a a a+ - 骣 琪 = - + - + - + > +琪 桫  . 本题考查与数列有关的不等式的证明，属于综合题. 23．（1） 2cos  ， 2cos 3        ；（2）2. （1）将 cosx   ， siny   代入曲线 1C 的普通方程可得曲线 1C 的极坐标方程；由曲线 2C 的 参数方程消去参数 得到普通方程后，再利用 cosx   ， siny   化为极坐标方程即可； （2）设直线 l：  （R），则 2 2     ，且 6    ，根据极坐标的几何意义以及三 角函数的性质可得结果. （1）将 cosx   ， siny   代入曲线 1C 的普通方程得 2 2 cos   即曲线 1C 的极坐标方程为 2cos  . 由 1 cos 2 3 sin 2 x y          消去参数 ，得 2 2 3 0x y x y    ， 即 2 cos 3 sin 0       ， 整理得 cos 3sin 2cos 3            ， 即曲线 2C 的极坐标方程为 2cos 3        . （2）设直线 l：  （R），则 2 2     ，且 6    . 设 A的极坐标为  1,  . ①当 6 2     时， B的极坐标为  2 ,  ， 此时 1 2 2cos 2cos 3 AB              2cos cos 3sin ) cos 3sin         2 cos 3       ， 因为 6 2     ，所以 5 6 3 6      ，所以 3 3cos 2 3 2         ， 所以 2 cos 3 3 AB        . ②当 2 6      时， B的极坐标为  2 ,   ， 此时 1 2 2cos 2cos 3 AB                2cos 2cos 2cos cos 3 sin 3               cos 3 sin 2 cos 3           . 因为 2 6      ，所以 6 3 6       ， 所以 3 cos 1 2 3        ， 所以当 0 3    ，即 3    时， AB 取得最大值 2. 综上， AB 的最大值为 2. 本题考查了直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程，考查了极坐标的几何意义，考查了 三角函数的性质，考查了两角和与差的余弦公式，属于中档题.