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- 2021-06-16 发布
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2014高考数学百题精练之分项解析5
一、选择题(每小题6分,共42分)
1.已知A和B是两个命题,如果A是B的充分但不必要条件,那么A是B的()
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:“AB”“BA”,“BA”等价于“AB”.
2. “a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:充分性显然,当a=5,b=1时,有a+b>4,ab>4,但“a>2且b>2”不成立.
3设a、b∈R,则“a>b”是“a>|b|”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件
答案:B
解析:a>b并不能得到a>|b|.
如2>-5,但2<|-5|,且a>|b|a>b.故选B.
4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2≥-x,则p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:p:A={0,1},q:B={x|x≤-1或x≥0}.
∵AB,∴p是q的充分不必要条件.
5.已知真命题:“a≥b是c>d的充分不必要条件”,和“ad的充分不必要条件”等价于“c≤da0成立的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
答案:A
解析:当10,tanx>0,即tan(x-1)tanx>0,但当x=时,(x-1)tanx=(-1)×1>0,而(1,),故选A.
7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)则“关于x的不等式ax2+bx+c0,顶点(-)在直线y=x下方-(b-1)2>4ac+1,故选B.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.
答案:02和q:>0,则p是q的__________________.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)
答案:充分不必要
解析:∵p:x<-3或x>1,
q:x<-4或x>1,
∴p:-3≤x≤1,q:-4≤x≤1.
∴p是q的充分不必要条件.
10.给出下列各组p与q:
(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;
(2)p:x=5,q:x>-3;
(3)p:内错角相等,q:两条直线互相平行;
(4)p:两个角相等,q:两个角是对顶角;
(5)p:x∈M,且x∈P,q:x∈M∪P(P,M≠).
其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.
答案:(2)(5)
解析:(1)(4)中p是q的必要不充分条件;(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.
三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)
11.设x、y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明:充分性:如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.
如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|;
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.
必要性:解法一:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,∴xy≥0.
解法二:|x+y|=|x|+|y|(x+y)2=(|x|+|y|)2x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy|xy=|xy|xy≥0.
12.已知a,b是实数,求证:a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.
证明:该条件是必要条件.
当a2-b2=1即a2=b2+1时,
a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.
∴a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.
∴a2=b2+1,即a2-b2=1故该条件是必要条件.
13.已知关于x的方程:(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(a∈R),求方程至少有一负根的充要条件.
解析:∵当a=6时,原方程为8x=-1,有负根x=-.
当a≠6时,方程有一正根,一负根的充要条件是:x1x2=-<0,即a>6.
方程有两负根的充要条件是:
即2≤a<6.
∴方程至少有一负根的充要条件是:2≤a<6或a=6或a>6,即a≥2.
14.(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;
(2)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件?如果存在,求出p的取值范围.
解析:(1)当x>2或x<-1时,x2-x-2>0,
由4x+p<0得x<-,故-≤-1时,
“x<-”“x<-1”“x2-x-2>0”.
∴p≥4时,“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.
(2)不存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件.