2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数课件新人教A版 37页

第 5 节　指数与指数函数 知 识 梳 理 根式 1. 根式的概念及性质 2. 分数指数幂 没有意义 3. 指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质： a r a s ＝ _______ ； ( a r ) s ＝ _______ ； ( ab ) r ＝ _______ ，其中 a >0 ， b >0 ， r ， s ∈ R . 4. 指数函数及其性质 (1) 概念：函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R ， a 是底数 . a r ＋ s a rs a r b r (2) 指数函数的图象与性质   a >1 0< a <1 图象 定义域 R 值域 _____________ 性质 过定点 ________ ，即 x ＝ 0 时， y ＝ 1 当 x >0 时， ________ ； 当 x <0 时， ________ 当 x <0 时， ________ ； 当 x >0 时， ________ 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是 ________ 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是 ________ (0 ，＋ ∞ ) (0 ， 1) y >1 0< y <1 y >1 0< y <1 增函数 减函数 [ 常用结论与微点提醒 ] 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (3) 由于指数函数解析式为 y ＝ a x ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) ， 故 y ＝ 2 x － 1 不是指数函数，故 (3) 错 . (4) 由于 x 2 ＋ 1 ≥ 1 ，又 a ＞ 1 ， ∴ ax 2 ＋ 1 ≥ a . 故 y ＝ ax 2 ＋ 1( a ＞ 1) 的值域是 [ a ，＋ ∞ ) ， (4) 错 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 答案　 C 3. ( 新教材必修第一册 P119 习题 4.2T6 改编 ) 设 a ＝ 0.6 0.6 ， b ＝ 0.6 1.5 ， c ＝ 1.5 0.6 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ( 　　 ) A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a 解析　 根据指数函数 y ＝ 0.6 x 在 R 上单调递减可得 0.6 1.5 <0.6 0.6 <0.6 0 ＝ 1 ，而 c ＝ 1.5 0.6 >1 ， ∴ b < a < c . 答案　 C A. 是偶函数，且在 R 上是增函数 B. 是奇函数，且在 R 上是增函数 C. 是偶函数，且在 R 上是减函数 D. 是奇函数，且在 R 上是减函数 解析 　函数 f ( x ) 的定义域为 R ， ∴ 函数 f ( x ) 是奇函数 . 答案　 B 5. (2020· 河南名校联盟调研 ) 函数 f ( x ) ＝ a x － 2 020 ＋ 2 020( a >0 且 a ≠ 1) 的图象过定点 A ，则点 A 的坐标为 ______. 解析　 令 x － 2 020 ＝ 0 ，得 x ＝ 2 020 ，则 y ＝ 2 021 ， 故点 A 的坐标为 (2 020 ， 2 021). 答案　 (2 020 ， 2 021) 答案　 2 考点一　指数幂的运算 【例 1 】 化简下列各式： 规律方法　 1. 指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： (1) 必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2) 运算的先后顺序 . 2. 当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 . 3. 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 . 【训练 1 】 化简下列各式： 考点二　指数函数的图象及应用 【例 2 】 (1) 已知实数 a ， b 满足等式 2 020 a ＝ 2 021 b ，下列五个关系式： ① 0< b < a ； ② a < b <0 ； ③ 0< a < b ； ④ b < a <0 ； ⑤ a ＝ b . 其中不可能成立的关系式有 ( 　　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (2) 若函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________. 解析 　 (1) 如图，观察易知 a ， b 的关系为 a < b <0 或 0< b < a 或 a ＝ b ＝ 0. (2) 在同一平面直角坐标系中画出 y ＝ |2 x － 2| 与 y ＝ b 的图象，如图所示 . ∴ 当 0< b <2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点 . ∴ b 的取值范围是 (0 ， 2). 答案 　 (1)B 　 (2)(0 ， 2) 规律方法　 1. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到 . 特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 . 2. 有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解 . 【训练 2 】 (1) 函数 f ( x ) ＝ a x － b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常数，则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. a >1 ， b <0 B. a >1 ， b >0 C.0< a <1 ， b >0 D.0< a <1 ， b <0 (2) 如果函数 y ＝ |3 x － 1| ＋ m 的图象不经过第二象限，则实数 m 的取值范围是 ________. 解析　 (1) 由 f ( x ) ＝ a x － b 的图象可以观察出，函数 f ( x ) ＝ a x － b 在定义域上单调递减，所以 0< a <1. 函数 f ( x ) ＝ a x － b 的图象是在 f ( x ) ＝ a x 的基础上向左平移得到的，所以 b <0. (2) 在同一平面直角坐标系中画出 y ＝ |3 x － 1| 与 y ＝－ m 的图象，如图所示 . 由函数 y ＝ |3 x － 1| ＋ m 的图象不经过第二象限，则 y ＝ |3 x － 1| 与 y ＝－ m 在第二象限没有交点，由图象知 m ≤ － 1. 答案　 (1)D 　 (2)( － ∞ ，－ 1] 考点三　解决与指数函数性质有关的问题 多维探究 角度 1 　比较指数式的大小 【例 3 － 1 】 下列各式比较大小正确的是 ( 　　 ) A.1.7 2.5 >1.7 3 B.0.6 － 1 >0.6 2 C.0.8 － 0.1 >1.25 0.2 D.1.7 0.3 <0.9 3.1 解析　 A 中， ∵ 函数 y ＝ 1.7 x 在 R 上是增函数， 2.5<3 ， ∴ 1.7 2.5 <1.7 3 ，错误； B 中， ∵ y ＝ 0.6 x 在 R 上是减函数，－ 1<2 ， ∴ 0.6 － 1 >0.6 2 ，正确； C 中， ∵ (0.8) － 1 ＝ 1.25 ， ∴ 问题转化为比较 1.25 0.1 与 1.25 0.2 的大小 . ∵ y ＝ 1.25 x 在 R 上是增函数， 0.1<0.2 ， ∴ 1.25 0.1 <1.25 0.2 ，即 0.8 － 0.1 <1.25 0.2 ，错误； D 中， ∵ 1.7 0.3 >1, 0<0.9 3.1 <1 ， ∴ 1.7 0.3 >0.9 3.1 ，错误 . 答案　 B 规律方法　 比较指数式的大小的方法是： (1) 能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2) 不能化成同底数的，一般引入 “ 1 ” 等中间量比较大小 . 角度 2 　解简单的指数方程或不等式 规律方法　 (1) a f ( x ) ＝ a g ( x ) ( a >0 且 a ≠ 1) ⇔ f ( x ) ＝ g ( x ).(2) a f ( x ) > a g ( x ) ，当 a >1 时，等价于 f ( x )> g ( x ) ；当 0< a <1 时，等价于 f ( x )< g ( x ).(3) 有些含参数的指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题 . 角度 3 　指数函数性质的综合应用 【例 3 － 3 】 (1) 若存在正数 x 使 2 x ( x － a )<1 成立，则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.( － ∞ ，＋ ∞ ) B.( － 2 ，＋ ∞ ) C.(0 ，＋ ∞ ) D.( － 1 ，＋ ∞ ) (2) 如果函数 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1( a >0 ，且 a ≠ 1) 在区间 [ － 1 ， 1] 上的最大值是 14 ，则 a 的值为 ________. 规律方法　 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断 . 易错警示　 在研究指数型函数的单调性时，当底数 a 与 “ 1 ” 的大小关系不确定时，要分类讨论 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1) 已知 a ＝ 2 0.2 ， b ＝ 0.4 0.2 ， c ＝ 0.4 0.6 ，则 ( 　　 ) A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. b > c > a (2) ( 角度 2)(2020· 安徽江南名校联考 ) 若 e a ＋ π b ≥ e － b ＋ π － a ，则有 ( 　　 ) A. a ＋ b ≤ 0 B. a － b ≥ 0 C. a － b ≤ 0 D. a ＋ b ≥ 0 (3) ( 角度 3) 当 x ∈ ( － ∞ ，－ 1] 时，不等式 ( m 2 － m )·4 x － 2 x <0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________. 解析　 (1) 因为 a ＝ 2 0.2 >1 ， b ＝ 0.4 0.2 <1 ， c ＝ 0.4 0.6 <1 ，所以 a > b ， a > c . 又 y ＝ 0.4 x 是以 0.4 为底的指数函数，且在 R 上单调递减，所以 0.4 0.2 >0.4 0.6 ，即 b > c ，所以 a > b > c . (2) 令 f ( x ) ＝ e x － π － x ，则 f ( x ) 在 R 上是增函数， 由 e a ＋ π b ≥ e － b ＋ π － a ，得 e a － π － a ≥ e － b － π b ， 则 f ( a ) ≥ f ( － b ) ，所以 a ≥ － b ，则 a ＋ b ≥ 0.