人教版高中数学必修二检测：第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业十二2-2-4含解析 9页

课后提升作业 十二 平面与平面平行的性质 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.(2016·衡水高二检测)在空间中，下列命题错误的是 ( ) A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 B.一个平面与两个平行平面相交，交线平行 C.平行于同一平面的两个平面平行 D.平行于同一直线的两个平面平行 【解析】选 D.与两相交平面交线平行的直线，可平行两平面，即平行于 同一直线的两个平面可相交，因此 D 错误.C 为定理，正确；A，B 显然 成立. 2.如图所示，在三棱台 A1B1C1-ABC 中，点 D 在 A1B1 上，且 AA1∥BD，点 M 是△A1B1C1 内的一个动点，且有平面 BDM∥平面 A1C，则动点 M 的轨迹是 ( ) A.平面 B.直线 C.线段，但只含 1 个端点 D.圆 【解析】选 C.因为平面 BDM∥平面 A1C，平面 BDM∩平面 A1B1C1=DM，平面 A1C∩平面 A1B1C1=A1C1， 所以DM∥A1C1，过 D 作DE1∥A1C1 交 B1C1 于点E1，则点 M的轨迹是线段 DE1(不 包括 D 点). 3.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c 为三条不同的直线，则有 下列说法，不正确的是 ( ) ① ⇒a∥b； ② ⇒a∥b； ③ ⇒α∥β； ④ ⇒α∥β； ⑤ ⇒α∥a； ⑥ ⇒a∥α； A.④⑥ B.②③⑥ C.②③⑤⑥ D.②③ 【解析】选 C.由公理 4 及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③ ⑤⑥不正确.②中 a，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交； ⑤中 a 可以在α内；⑥中 a 可以在α内. 4.如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA，PB，PC 于 A′，B′，C′，若 PA′∶AA′=2∶3，则 S △A′B′C′∶S△ABC 等于 ( ) A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5 【解析】选 B.平面α∥平面 ABC，平面 PAB 与它们的交线分别为 A′B′， AB，所以 AB∥A′B′，同理 B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′， S△A′B′C′∶S△ABC= = = . 5.设平面α∥平面β，点 A∈α，点 B∈β，C 是 AB 的中点，当点 A，B 分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点 C( ) A.不共面 B.不论点 A，B 如何移动，都共面 C.当且仅当点 A，B 分别在两条直线上移动时才共面 D.当且仅当点 A，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 【解析】选 B.由平面与平面平行的性质，不论 A，B 如何移动，动点 C 均在过 C 且与平面α，β都平行的平面上. 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3，点 E 在 A1B1 上，且 B1E=1，平面α∥ 平面 BC1E，若平面α∩平面 AA1B1B=A1F，则 AF 的长为 ( ) .Com] A.1 B.1.5 C.2 D.3 【解析】选 A.因为平面α∥平面 BC1E， 平面α∩平面 AA1B1B=A1F， 平面 BC1E∩平面 AA1B1B=BE， 所以 A1F∥BE.又 A1E∥BF， 所以 A1EBF 是平行四边形， 所以 A1E=BF=2，所以 AF=1. 7.如图所示，长方体 ABCD-A′B′C′D′中，E，F 分别为 AA′，BB′的 中点，过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G，H，则 HG 与 AB 的位置关 系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】选 A.因为 E，F 分别为 AA′，BB′的中点， 所以 EF∥AB，因为 AB⊂平面 ABCD， EF⊄ 平面 ABCD， 所以 EF∥平面 ABCD. 又平面 EFGH∩平面 ABCD=HG， 所以 EF∥HG，所以 HG∥AB. 8.(2016·广州高一检测)如图，在三棱锥 P-ABQ 中，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH，则 AB 与 GH 的关系是 ( ) A.平行 B.垂直 C.异面 D.平行或垂直 【解析】选 A.因为 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，所以 EF∥AB，DC∥AB，所以 EF∥DC，又因为 EF⊄平面 PCD，DC⊂平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD，又因为 EF⊂平面 EFQ，平面 EFQ∩平面 PCD=GH，所 以 EF∥GH，又因为 EF∥AB，所以 AB∥GH. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线 m，n，有下列四个说 法： (1)若 m∥α，n∥α，则 m∥n；(2)若 m∥α，n∥α，m，n⊂β，则α ∥β； (3)若 m∥n，n⊂α，则 m∥α；(4)若α∥β，m⊂α，则 m∥β. 其中正确说法的个数为________个. 【解析】说法(1)中，m∥α，n∥α，则 m∥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异 面，故(1)错；说法(2)中，由面面平行的判定定理，当 m 与 n 相交时， 可得α∥β，故(2)错；说法(3)中，由线面平行的判定定理，当 m 在α 外时，可得 m∥α，故(3)错；说法(4)中，由面面平行的性质知，(4) 正确，故正确说法只有一个. 答案：1 【补偿训练】已知 a，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的 平面，给出下列说法： ①若α∩γ=a，β∩γ=b，且 a∥b，则α∥β； ②若 a，b 相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则 α∥β； ③若 a∥α，b∥β，且 a∥b，则α∥β； ④若 a⊂α，a∥β，α∩β=b，则 a∥b. 其中正确说法的序号是________. 【解析】①③中，α与β可能相交，②由平面与平面平行的判定定理知 正确，④由线面平行的性质知正确. 答案：②④ 10.(2016·邢台高二检测)一个正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的 中点，过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱 VB 和 AC，若木块的棱长为 a，则截面面积为________. 【解析】VB∥平面 DEFP，平面 DEFP∩平面 VAB=PF，所以 VB∥PF.同理， VB∥DE，EF∥AC，PD∥AC，所以 PF∥DE，PD∥EF，所以四边形 DEFP 是 平行四边形，且边长均为.易证正四面体对棱垂直，所以 VB⊥AC，即 PF ⊥EF.因此四边形 DEFP 为正方形，所以其面积为×= . 答案： 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 11.(2016·余姚高二检测)如图，三棱锥 P-ABC 中，∠BCA=90°， PB=BC=CA=4，E 为 PC 的中点，M 为 AB 的中点，点 F 在 PA 上，且 AF=2FP. 求证：CM∥平面 BEF. 【证明】取 AF 的中点 G，连接 CG，GM，因为 FA=2FP，所以 GF=AF=FP， 又因为 E 为 PC 中点，所以 EF∥CG，因为 CG⊄ 平面 BEF，EF⊂平面 BEF， 所以 CG∥平面 BEF，同理可证：GM∥平面 BEF，又因为 CG∩GM=G，所以 平面 CMG∥平面 BEF， 因为 CM⊂平面 CGM，所以 CM∥平面 BEF. 【补偿训练】如图，设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别为 AB，PD 上的点，且 = ，求证：直线 MN∥平面 PBC. 【证明】过 N 作 NR∥DC 交 PC 于点 R，连接 RB， 依题意得 = = = = ⇒NR=MB. 因为NR∥DC∥AB，所以四边形MNRB是平行四边形.所以MN∥RB. 又因为 RB⊂平面 PBC，所以直线 MN∥平面 PBC. 12.(2016·淮安高二检测)如图所示，已知 ABCD 为梯形，AB∥CD，CD=2AB， M 为线段 PC 上一点. (1)设平面 PAB∩平面 PDC=l，证明：AB∥l； (2)在棱 PC 上是否存在点 M，使得 PA∥平面 MBD，若存在，请确定点 M 的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为 AB∥CD，AB⊄平面 PCD，CD⊂平面 PCD， 所以 AB∥平面 PCD，又因为平面 PAB∩平面 PDC=l，且 AB⊂平面 PAB， 所以 AB∥l. (2)存在点 M，使得 PA∥平面 MBD，此时 =.证明如下： 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO. 因为 AB∥CD，且 CD=2AB，所以 = =， 又因为 =，PC∩AC=C， 所以 PA∥MO，因为 PA⊄ 平面 MBD，MO⊂平面 MBD， 所以 PA∥平面 MBD. 【能力挑战题】如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，P， Q 分别是 BC，C1D1，AD1，BD 的中点. (1)求证：PQ∥平面 DCC1D1. (2)求 PQ 的长. (3)求证：EF∥平面 BB1D1D. 【解析】(1)如图所示.连接 AC，CD1， 因为 P，Q 分别是 AD1，AC 的中点，所以 PQ∥CD1.又 PQ⊄平面 DCC1D1..Com] CD1⊂平面 DCC1D1，所以 PQ∥平面 DCC1D1. (2)由(1)知 PQ=D1C= a. (3)取 B1C1 的中点 E1，连接 EE1，FE1， 则有 FE1∥B1D1，EE1∥BB1， 所以平面 EE1F∥平面 BB1D1D. 又 EF⊂平面 EE1F，所以 EF∥平面 BB1D1D.