高中数学第1章三角函数1_1_2弧度制教学设计苏教版必修4 10页

1．1.2 弧度制 整体设计 教学分析 在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以 满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等 不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度 为单位，并且一度的角等于周角的 1 360 ，记作 1°. 通过类比引出弧度制，给出 1 弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并 得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步 认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好 地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础． 通过探究讨论，关键是弄清 1 弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定 义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单 位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生 认识到角度制、弧度制都是度量角的制度． 三维目标 1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量， 从而引出弧度制． 2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是 相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新 知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣． 重点难点 教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算． 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系． 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎 样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度 量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？ 思路 2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟 表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一 种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度 量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先 要弄清 1 弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算． 在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度 数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、 零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正 数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负 可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且 不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然． 推进新课 新知探究 弧度制 1．1°的角 周角的 1 360 为 1°的角． 2．1 弧度的角 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． 3．弧度数 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0.一扇形的半径为 R，弧 长为 l，则 l＝|α|R，S＝1 2 lR＝1 2 R2|α|. 4 ． 角 度 制 与 弧 度 制 的 换 算 关 系 π 弧 度 ＝ 180° ， 1° ＝ π 180 弧 度 ， 1 弧 度 ＝ (180 π )°≈57°18′. 教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度 制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的 学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规 定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做 弧度制；在弧度制下，1 弧度记作 1 rad.如图 1 中， 的长等于半径 r，AB 所对的圆心角 ∠AOB 就是 1 弧度的角，即l r ＝1. 我们已学习过角的度量，规定周角的 1 360 为 1 度的角，这种用度作为单位来度量角的单 位制叫做角度制(degree measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制． 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(radian)的角，记作 1 rad(图 1)．用弧 度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure)． 图 1 用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如 1 rad，2 rad，π rad， 可分别写成 1,2，π. 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为 0. 若圆半径为 r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为 2r，那么∠AOB 的弧度数就是2r r ＝ 2(图 2)． 图 2 教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找 出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第 一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单 位制；第二，1 弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而 1°的角是周角 的 1 360 ；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关 的定值． 若圆半径为 r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为 2πr，则∠AOB 的弧度数就是2πr r ＝ 2π(图 3)．故有 360°＝2π rad， 图 3 1°＝ π 180 rad≈0.017 45 rad，1 rad＝(180 π )°≈57.30°. 如图 4 给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记． 图 4 弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad＝(180α π )°，n°＝ n× π 180 (rad)． 可让学生填写下列的表格，找出某种规律． 的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向 r 1 2r －2 －π 0 180° 360° 由上表可知，如果一个半径为 r 的圆的圆心角α所对的弧长是 l，那么α的弧度数的绝 对值是 l α .这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度 制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时， 它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一． 教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一 对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实 数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与 角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单 位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现 k·360°＋π 3 或者 2kπ＋60°一类的写 法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形 式．如图 5 为角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系． 图 5 与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．弧度制下 关于扇形的公式为 l＝αR，S＝1 2 αR2，S＝1 2 lR. 应用示例 例 1 将下列弧度数化为角度数： (1)3π 5 ；(2)3.5. 解：(1)3π 5 rad＝3π 5 ×180° π ＝108°；(2)3.5 rad＝3.5×180° π ≈200.54°. 例 2 将下列角度数化为弧度数： (1)252°；(2)11°15′. 解：(1)252°＝252× π 180 rad＝7π 5 rad；(2)11°15′＝11.25°＝11.25× π 180 rad＝π 16 rad. 点评：以上两例的目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以 达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住. 变式训练 1．下列各命题中，真命题是( ) A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．一弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 答案：D 2．下列四个命题中，不正确的一个是( ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小是 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度 答案：D 例 3 将下列用弧度制表示的角化为 2kπ＋α〔k∈Z，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它 们所在的象限：(1)－15π 4 ；(2)32π 3 ；(3)－20；(4)－2 3. 活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般 规律，即终边在 x 轴、y 轴上的角的集合分别是{β|β＝kπ，k∈Z}、{β|β＝π 2 ＋kπ， k∈Z}，第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2kπ<β<2kπ＋π 2 ，k∈Z}、{β|2kπ＋ π 2 <β<2kπ＋π，k∈Z}、{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π 2 ，k∈Z}、{β|2kπ＋3π 2 <β<2kπ＋ 2π，k∈Z}． 解：(1)－15π 4 ＝－4π＋π 4 ，是第一象限角．(2)32π 3 ＝10π＋2π 3 ，是第二象限角． (3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－2 3≈－3.464，是第二象限角． 点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为 2kπ＋α〔k∈Z， α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示 的角，取π＝3.14，化为 k×6.28＋α，k∈Z，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π 2 ，π， 3π 2 比较大小，估计出角所在的象限． 例 4 见课本本节例 3. 变式训练 已知一个扇形的周长为8π 9 ＋4，圆心角为 80°，求这个扇形的面积． 解：设扇形的半径为 r，面积为 S，由已知，得扇形的圆心角为 80× π 180 ＝4π 9 ，∴扇形的弧 长为 4π 9 r，由已知，4π 9 r＋2r＝8π 9 ＋4，∴r＝2. ∴S＝1 2 ×4π 9 r2＝8π 9 .故扇形的面积为8π 9 . 点评：求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反， 也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活 变形及方程思想的运用. 知能训练 课本本节练习 1～6. 课堂小结 由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是 度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要 理解并牢记 180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注 意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记． 重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集 R 的一一对应关系，对弧度制下的 弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵 活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织 知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之 以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类． 作业 ①课本习题 1.1 6、8、10. ②课后探究训练：课本习题 1.1 12. 设计感想 本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难 点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如 果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问 题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活 动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度． 本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中 积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生 知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角 的好处并为后续三角函数的学习奠定基础． 备课资料 一、密位制度量角 度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密 位”.1 密位就是圆的 1 6 000 所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为 360°＝6 000 密位，所 以 1°＝6 000 密位 360 ≈16.7 密位，1 密位＝360° 6 000 ＝0.06°＝3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如 7 密位写成 0—07，读 作“零，零七”，478 密位写成 4—78，读作“四，七八”． 二、备用习题 1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A.π 3 B.π 6 C．1 D．π 2．圆的半径变为原来的 2 倍，而弧长也增大到原来的 2 倍，则( ) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的 2 倍 D．扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 3．下列表示的为终边相同的角的是( ) A．kπ＋π 4 与 2kπ＋π 4 (k∈Z) B.kπ 2 与 kπ＋π 2 (k∈Z) C．kπ－2π 3 与 kπ＋π 3 (k∈Z) D．(2k＋1)π与 3kπ(k∈Z) 4．已知 0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________. 5．已知扇形的周长为 6 cm，面积为 2 cm2，求扇形的中心角的弧度数． 6．若α∈(－π 2 ，0)，β∈(0，π 2 )，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在 的象限． 参考答案：1.A 2.B 3.C 4.π 3 ，2π 3 ，π，4π 3 ，5π 3 . 5．解：设扇形所在圆的半径为 R，扇形的中心角为α，依题意有 αR＋2R＝6，且1 2 αR2＝2，∴R＝1，α＝4 或 R＝2，α＝1.∴α＝4 或 1. 6．解：－π 2 <α＋β<π 2 ，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在 x 轴的 非负半轴上． －π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在 y 轴的非正半轴 上． 三、钟表的分针与时针的重合问题 弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到 的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别 与角 2π(rad)，π 30 (rad)， π 1 800 (rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时 钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨． [例题] 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧 度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)? 甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向 12)开始到分针与时针再一次重合，设时 针转过了 x 弧度，则分针转过了 2π＋x 弧度，而时针走 1 弧度相当于经过 6 π h＝360 π min， 分针走 1 弧度相当于经过30 π min，故有 360 π x＝30 π (2π＋x)，得 x＝2π 11 ， ∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π 11 ＋2π＝24π 11 (rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时， 时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的 12 倍)，得α＝24π 11 ， ∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π 11 (rad)． 点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而 已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所 转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过 的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．