专题30 数列的概念与简单表示法-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 24页

专题30数列的概念与简单表示法 最新考纲 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N*‎ 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，‎ 则an＝ ‎2．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 ‎3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】由数列的前几项求数列的通项公式 ‎【典型例题】‎ 若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（　　）‎ A．an＝4n﹣2 B．an＝2n+4 C．an＝2×3n D．an＝3×2n ‎【解答】解：依题意，6＝1×6＝30×6，18＝3×6＝31×6，54＝9×6＝32×6，‎ 所以此数列的一个通项公式为an＝2×3n，‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：经过观察，1＝21﹣1，3＝22﹣1，7＝23﹣1，15＝24﹣1，……故推测an＝2n﹣1．、‎ 故选：D． ‎ 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．‎ ‎(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．‎ ‎(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．‎ ‎【题型二】由an与Sn的关系求通项公式 ‎【典型例题】‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an＝　 　．‎ ‎【解答】解：当n≥2时，an＝2Sn﹣1，‎ ‎∴an+1﹣an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2an，‎ 即an+1＝3an，‎ ‎∴数列{an}为等比数列，a2＝2a1＝2，公比为3，‎ ‎∴an＝2•3n﹣2，‎ 当n＝1时，a1＝1‎ ‎∴数列{an}的通项公式为．‎ 故答案为：． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn+1（n∈N*），且a1＝2，那么a7＝（　　）‎ A．128 B．16 C．32 D．64‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn+1（n∈N*），a1＝2，‎ ‎∴Sn+1＝2Sn，‎ ‎∴Sn＝2×2n﹣1＝2n．‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1．‎ ‎∴a7＝26＝64．‎ 故选：D． ‎ 思维升华 已知Sn，求an的步骤 ‎(1)当n＝1时，a1＝S1.‎ ‎(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.‎ ‎(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．‎ ‎【题型三】由数列的递推关系求通项公式 ‎【典型例题】‎ 已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝3an﹣2，则a6＝（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．6‎ ‎【解答】解：因为a1＝1，an+1＝3an﹣2，所以a2＝3﹣2＝1，‎ 以此类推可得a3＝3a2﹣2＝1，a4＝3a3﹣2＝1，a5＝3a4﹣2＝1，a6＝3a5﹣2＝1．‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}满足：a1，an+1＝an，（n∈N*），则a2019＝（　　）‎ A．1 B．1 C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，an+1＝an，即（an+1﹣an），‎ 则a2019＝（a2019﹣a2018）+（a2018﹣a2017）+……+（a2﹣a1）+a11；‎ 故选：C． ‎ 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 ‎(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列．‎ ‎(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列．‎ ‎(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解．‎ ‎(4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解．‎ ‎【题型四】数列的性质 命题点1　数列的单调性 ‎【典型例题】‎ 已知数列{αn}的前n项和sn＝3n（λ﹣n）﹣6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，5）‎ ‎【解答】解：∵sn＝3n（λ﹣n）﹣6，①‎ ‎∴sn﹣1＝3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②‎ ‎①﹣②得数列an＝3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，‎ ‎∴an＞an+1，且a1＞a2‎ ‎∴3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2‎ 化为λ＜n+2，（n＞1），且λ＜2，‎ ‎∴λ＜2，‎ ‎∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知函数f（x），记an＝f（n）（n∈N*），若{an}是递减数列，则实数t的取值范围是 ．‎ ‎【解答】解：要使函数f（x）＝x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则，解得t；‎ 要使函数f（x）在x＞3单调递减，则必须满足t﹣13＜0，解得t＜13．‎ 又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）＝27﹣9t＞f（4）＝（t﹣13）•，解得t＜4．‎ 故t的取值范围是．‎ 故答案为：． ‎ 命题点2　数列的周期性 ‎【典型例题】‎ 已知数列{an}满足：a1为正整数，an+1，如果a1＝1，则a1+a2+…+a2004＝　 　．‎ ‎【解答】解：由an+1，a1＝1，可得a2＝3a1+1＝4，2，a41．‎ ‎∴可得an+3＝an．‎ ‎∴a1+a2+…+a2004＝668（a1+a2+a3）＝668×7＝4676．‎ 故答案为：4676．‎ ‎【再练一题】‎ 数列{an}满足，若，则数列的第2013项为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵a1，，‎ ‎∴a2＝21，‎ ‎∴a3＝2，‎ a4＝2，‎ a5＝21，‎ ‎…‎ ‎∴数列是以4为周期的周期数列 ‎∴a2013＝a4×503+1＝a1，‎ 故选：C． ‎ 命题点3　数列的最值 ‎【典型例题】‎ 已知数列{an}的通项an，n∈N+，求数列{an}前20项中的最大项与最小项．‎ ‎【解答】解：an1，‎ 当n≥11时，，且单调递减；当1≤n≤10时，0，且单调递减．‎ 因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项．‎ a11＝3，a10＝﹣1． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}的通项an＝n（n+4）（）n，试问该数列{an}是否有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．‎ ‎【解答】解：．‎ ‎（3n2+12n）﹣（2n2+12n+10）‎ ‎＝n2﹣10，‎ ‎∴当n＝1，2，3时，1，an+1＞an，即a1＜a2＜a3＜a4；‎ 当n≥4时，1，即an+1＜an，即a4＞a5＞a6＞…．‎ ‎∴当n＝4时，数列{an}有最大项a4． ‎ 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．‎ ‎②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．‎ ‎③结合相应函数的图象直观判断．‎ ‎(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．‎ ‎(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．‎ 基础知识训练 ‎1．【广东省佛山市南海区桂城中学2018-2019学年第二学期高一数学第二次阶段考试】‎ 下列叙述正确的是（ ）‎ A．与是相同的数列 B．是常数列 C．数列的通项 D．数列是递增数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 数列与各项顺序不同，不是相同的数列，故错误；‎ 数列是摆动数列，故错误；‎ 数列，通项，故错误；‎ 单调递增，则数列是递增数列，故正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎2．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)】数列中，，，则（　　）‎ A．32 B．62 C．63 D．64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 数列中，，故，‎ 因为，故，故，‎ 所以，所以为等比数列，公比为，首项为.‎ 所以即，故，故选C.‎ ‎3．【安徽省太和中学2018-2019学年高一下学期第三次月考】已知数列满足，，则（ ）‎ A．4 B．-4 C．8 D．-8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为数列满足，，‎ 所以，，.‎ 故选C ‎4．【广西南宁市第三中学2018-2019学年高一下学期期中考试】数列0，，，…的一个通项公式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，‎ ‎2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．‎ 故选：A．‎ ‎5．【安徽省安庆一中2018-2019学年高一第二学期期末】设[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{}满足：，（），则=（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得（），又，‎ ‎∴‎ ‎．则．‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎6．【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2018-2019学年高一下学期期中】已知数列满足 ‎，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，对于任意的都有，所以数列为单调递减数列，‎ 由时，，根据指数函数的性质，可知，‎ ‎①当时，时，单调递减，而时，单调递减，‎ 所以，解得，所以；‎ ‎②当时，时，单调递增，不符合题意（舍去）．‎ 综上可知，实数的取值范围是，故选C．‎ ‎7．【湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知数列满足递推关系：，，则＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由得：，即 又，则 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎8．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二下学期期中考试】如下分组正整数对:第组为第组为第组为第组为依此规律,则第组的第个数对是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可知，规律为：‎ 第组为，‎ 第组为，‎ 故第组的第个数对是，故选C。‎ ‎9．【河南省濮阳市2018-2019学年高二下学期升级考试】德国数学家科拉茨年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘加（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第项为（注：可以多次出现），则的所有不同值的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据规律从结果逆推，若第项为，则第项一定是 则第项一定是；第项可能是或 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是或 若第项是，则第项是或；若第项是，则第项是；若第项是，则第项是 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是；若第项是，则第项是或；若第项是，则第项是或 的取值集合为：，共个 本题正确选项：‎ ‎10．【山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习（一)】已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的 A．第44项 B．第76项 C．第128项 D．第144项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 观察分子分母的和出现的规律：，‎ 把数列重新分组：，‎ 可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；‎ 第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.‎ ‎11．【宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2018-2019学年高一下学期期中】在数列中，，且对于任意自然数，都有，则______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 根据题意，数列{}中，，则，‎ 则；‎ 故答案为：7‎ ‎12．【宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2018-2019学年高一下学期期中】数列,,,，,…的一个通项公式为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 数列,,,,…，‎ 观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1，‎ 由此得出该数列的一个通项公式为．‎ 故答案为：．‎ ‎13．【2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学平行班高一（下)期中】数列的通项公式，其前项和为，则等于_____．‎ ‎【答案】﹣1010‎ ‎【解析】‎ 解：数列的通项公式，‎ 则：当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎…‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…，‎ ‎，‎ 故答案为：﹣1010．‎ ‎14．【2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学平行班高一（下)期中】已知数列中，‎ ‎，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：数列中，，，‎ 则：当时，，‎ 当时，．‎ 故答案为：‎ ‎15．【2019年河北省藁城市第一中学高一下学期7月月考】数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由Hn2n，‎ 得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①‎ n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②‎ ‎①﹣②得2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，‎ 对n＝1时，a1＝2也成立，‎ 则Sn，‎ 故答案为 ‎16．【上海市北虹高级中学2018-2019学年高一下学期期末考试】若数列的前项和为，且，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当 ，两式作差得，故，为等比数列，又， ‎ 故答案为 ‎17．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】记正项数列的前项和为，且当时，.若，则______.‎ ‎【答案】1840‎ ‎【解析】‎ 当时，原式化为；当时，，即，即，依次迭代，，故，，均符合该式，故.‎ 故答案为1840‎ ‎18．【天津市红桥区209届高三第一学期期中】已知数列满足：，，则的值为___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由递推公式可得：，‎ 即：，据此有：，又，‎ 故数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 则，故.‎ ‎19．【浙江省嘉兴市2018-2019学年高一下学期期末考试】设，数列满足，若，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 已知条件，由得的取值范围.不妨设.故问题转化为，目标函数.画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界位置，由图可知，目标函数在点处取得最值.将两点坐标代入目标函数得或.故的取值范围，也即是的取值范围是.‎ ‎20．【广东省2019届高三适应性考试】已知数列满足，则____．‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】‎ ‎∵[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1＝1+（﹣1）n×3n，‎ ‎∴n＝2k（k∈N*），可得： ‎ n＝2k﹣1（k∈N*），可得： ‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎＝（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+12+＝300+．‎ 则300，‎ 故答案为：300．‎ 能力提升训练 ‎1．【河北省邢台市第一中学2018-2019学年高一下学期第三次月考】‎ 若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意，，，，‎ 所以此数列的一个通项公式为，‎ 故选：C．‎ ‎2．【北京师大附中2018-2019学年下学期高二年级期中考试】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是an=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，，，，…；明显地 ‎，，，，…；显然数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是，‎ 答案选B ‎3．【安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛】对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列满足级收敛，若数列的通项公式为，且满足级收敛，则的最大值为（ ）‎ A．6 B．3 C．2 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意：对任意的恒成立，，且级收敛，则 恒成立，即恒成立，据此可知数列是递增数列或常数列，令，根据数列是单调递增的得到 ‎ 据此可得：恒成立，故，的最大值为0.‎ 故选D.‎ ‎4．【福建省上杭县第一中学2018-2019学年高一5月月考】设数列满足：，，记数列的前项之积为.，则（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，,得 ‎ 数列的项开始重复出现，呈现周期性，周期为3．‎ 且，2021＝3×673+2，‎ 所以（﹣1）673 ‎ 故选：D．‎ ‎5．【湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟（二)】已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，令，，则 时， ‎ 当时，令，则，即 又 当时，‎ 令，则 ‎，即 在上单调递减 又 令，；令，；令，‎ 数列是以为周期的周期数列 ‎，，，，‎ 在上单调递减 ‎ ‎，，，‎ 本题正确选项：‎ ‎6．【四川省大竹中学2018-2019学年高一第二学期5月月考考前模拟】在数列中，已知，，记，为数列的前 项和，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得，∴，∴，‎ 令则，∴由累乘法得，‎ ‎∴，∴，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎7．【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由数列的构造方法可知，，，，可得：‎ 即：‎ 本题正确结果：‎ ‎8．【江苏省扬州市邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知各项均为正数且项数为4的数列{}（n＝1，2，3，4）的首项为1，若存在，使得对于任意的(7，8)，均有（＝1，2）成立，则的取值范围为_______‎ ‎【答案】（2,3）‎ ‎【解析】‎ 当时，，即 当时，‎ ‎……①，……②‎ 由①得： ‎ ‎ ‎ 由②得： ‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ ‎9．【安徽省黄山市屯溪第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】把正整数排成如图的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图三角形阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则 _______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 观察图（b），设其左边第一列数为，通过观察可知，故，‎ ‎.令，即，，当时上式成立此时，而，由可知，是这一行的第个数，前行的项数为项，故对应的为.‎ ‎10．【江苏省海安高级中学2019届高三第二学期四月模拟考试】已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，集合,将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为，则数列的前45项和_______．‎ ‎【答案】2627‎ ‎【解析】‎ 解：因为数列的通项公式是，‎ 所以集合，‎ 随着增大时，数列中前后连续两项之间的差值越来越大，‎ 故考虑在中的前后连续两项之间插入数列中相应大小的项，‎ 因为是选取新数列的前45项，‎ 故：，数列中无项可插入，‎ ‎，数列中无项可插入，‎ ‎，数列中可插入，增加1项，共5项，‎ ‎，数列中可插入，增加2项，共8项，‎ ‎，数列中可插入，增加5项，共14项，‎ ‎，数列中可插入，增加10项，共25项，‎ 接下来只需再增加中的20项即可，‎ 也就是中从（含）开始的连续的20项，‎ 因为，‎ 故终止于.‎ 则 ‎.‎