高中数学（人教版必修5）配套练习：2-1数列的概念与简单表示法 5页

第二章 2.1 一、选择题 1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①同一数列的任意两项均不可能相同； ②数列－1,0,1 与数列 1,0，－1 是同一个数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ [答案] D [解析] ①是错误的，例如无穷个 3 构成的常数列 3,3,3，…的各项都是 3；②是错误的， 数列－1,0,1 与数列 1,0，－1 各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选 D. 2．下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数． ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③数列的项数是无限的． ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( ) A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ [答案] A [解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如 数列 1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是 an＝sinnπ 2 ，也可以是 an＝cos n＋3π 2 等等． 3．已知 an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( ) A．18 B．21 C．25 D．30 [答案] D [解析] 依次令 n(n＋1)＝18,21,25 和 30 检验．有正整数解的便是，知选 D. 4．已知数列{an}的通项公式是 an＝n－1 n＋1 ，那么这个数列是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 [答案] A [解析] an＝n－1 n＋1 ＝1－ 2 n＋1 ，随着 n 的增大而增大． 5．数列 1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n) C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1) [答案] B [解析] 当 n＝1 时，a1＝1 排除 C、D；当 n＝2 时，a2＝－3 排除 A，故选 B. 6．已知数列 2，5，2 2，11，…，则 2 5可能是这个数列的( ) A．第 6 项 B．第 7 项 C．第 10 项 D．第 11 项 [答案] B [解析] 调整为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多 3，又 2 5＝ 20，∴应是 11后的第 3 项，即第 7 项，选 B. 二、填空题 7.2 3 ，4 15 ，6 35 ，8 63 ，10 99 ，…的一个通项公式是________． [答案] an＝ 2n 2n－12n＋1 [解析] 2 3 ＝ 2 1×3 ，4 15 ＝2×2 3×5 ，6 35 ＝2×3 5×7 ，8 63 ＝2×4 7×9 ，10 99 ＝ 2×5 9×11 ，…，∴an＝ 2n 2n－12n＋1. 8．已知数列 3，7，11，15，19，…，那么 3 11是这个数列的第________项． [答案] 25 [解析] 观察可见，数列中的后一项被开方数比前一项大 4，a1＝ 3，a2＝ 3＋4，a3＝ 3＋4×2，a4＝ 3＋4×3，∴an＝ 3＋4n－1＝ 4n－1， 令 4n－1＝3 11得 n＝25，∴a25＝3 11. 三、解答题 9．写出下列数列的一个通项公式． (1)－ 1 1＋1 ， 1 4＋1 ，－ 1 9＋1 ， 1 16＋1 ，…； (2)2,3,5,9,17,33，…； (3)1 2 ，2 5 ，3 10 ，4 17 ，5 26 ，…； (4)1，4 3 ，2，16 5 ，…； (5)－1 3 ，1 8 ，－ 1 15 ，1 24 ，…； (6)2,6,12,20,30，…. [解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是 1，分母是 n2＋1，∴an＝(－1)n· 1 n2＋1. (2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1， a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1， ∴an＝2n－1＋1. (3)a1＝1 2 ＝ 1 11＋1 ，a2＝2 5 ＝ 2 22＋1 ，a3＝ 3 10 ＝ 3 32＋1 ，a4＝ 4 17 ＝ 4 42＋1 …， ∴an＝ n n2＋1 . (4)a1＝1＝2 2 ，a2＝4 3 ，a3＝2＝8 4 ，a4＝16 5 …， ∴an＝ 2n n＋1. (5)a1＝－1 3 ＝－ 1 1×3 ，a2＝1 8 ＝ 1 2×4 ，a3＝－ 1 15 ＝－ 1 3×5 ，a4＝ 1 24 ＝ 1 4×6 ， ∴an＝(－1)n· 1 nn＋2. (6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n ＋1)． 10．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，求 a5. [解析] ∵a1＝2，an＋1＝an＋n， ∴当 n＝1 时，a2＝a1＋1＝2＋1＝3； 当 n＝2 时，a3＝a2＋2＝3＋2＝5； 当 n＝3 时，a4＝a3＋3＝5＋3＝8； 当 n＝4 时，a5＝a4＋4＝8＋4＝12，即 a5＝12. 一、选择题 1．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则 a1000＝( ) A．1 B．1999 C．1000 D．－1 [答案] A [解析] a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知 an＝1(n ∈N*)． 2．对任意的 a1∈(0,1)，由关系式 an＋1＝f(an)得到的数列满足 an＋1>an(n∈N*)，则函数 y＝ f(x)的图象是( ) [答案] A [解析] 据题意，由关系式 an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足 an＋1>an，即该函数 y＝f(x)的 图象上任一点(x，y)都满足 y>x，结合图象，只有 A 满足，故选 A. 3．若数列的前 4 项分别为 2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－cosnπ C．an＝2sin2nπ 2 D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2) [答案] D [解析] 当 n＝1 时，D 不满足，故选 D. 4．函数 f(x)满足 f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则 f(n)是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 [答案] A [解析] ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)， ∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…， f(n＋1)>f(n)，…， ∴f(n)是递增数列． 二、填空题 5．已知数列{an}满足 a1＝－2，an＋1＝2＋ 2an 1－an ，则 a6＝__________. [答案] －14 3 [解析] an＋1＝2＋ 2an 1－an ＝ 2 1－an ，a1＝－2， ∴a2＝ 2 1－a1 ＝2 3 ，a3＝ 2 1－a2 ＝6，a4＝－2 5 ， a5＝10 7 ，a6＝－14 3 . 6．已知数列{an}的通项公式 an＝ 3n＋1n 为奇数 2n－2n 为偶数 ，则 a2·a3＝__________. [答案] 20 [解析] (1)可见偶数项为 0，∴a12＝0. (2)相当于分段函数求值，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2·a3＝20. 三、解答题 7．已知数列{an}中，an＝ n n＋1 ，判断数列{an}的增减性． [解析] an＋1＝n＋1 n＋2 ， 则 an＋1－an＝n＋1 n＋2 － n n＋1 ＝n＋12－nn＋2 n＋2n＋1 ＝ 1 n＋2n＋1. ∵n∈N*，∴n＋2>0，n＋1>0， ∴ 1 n＋2n＋1>0， ∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列． 8．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)求数列{an}中有多少项是负数？ (2)当 n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解析] (1)令 an＝n2－5n＋4<0，解得 1