2020_2021学年新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1 27页

1.2 　利用二分法求方程的近似解 激趣诱思 知识点拨 某电视台财经频道精心打造了一档大型体验式购物节目 . 这个节目根植于百姓生活 , 运用 “ 看商品 , 猜价格 ” 的游戏形式 , 将各类商品和大规模的互动体验结合起来 , 充分激发了观众的参与热情 . 每位选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内 , 就可以把它拿走 . 当选手说出一个价格不在规定区间内时 , 主持人会提示 “ 高了 ” 或 “ 低了 ” . 如果选手想用尽可能少的次数猜对价格 , 应该采用什么样的猜价方法呢 ? 激趣诱思 知识点拨 二分法 1 . 定义 : 对于一般的函数 y=f ( x ), x ∈ [ a , b ] . 若函数 y=f ( x ) 的图象是一条连续的曲线 , 　 　　　 , 则每次取区间的 　　　　 , 将区间一分为二 , 再经比较 , 按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法 .   2 . 用二分法求方程 f ( x ) = 0 近似解的一般步骤 (1) 确定初始 区间 [ a , b ], 使 　　　　　　　 .   (2) 取区间中点 x 1 = 　　　　 .   (3) 计算 f ( x 1 ), 以决定取区间 　　　　 或 　　　　 :   ① 若 f ( x 1 ) = 0, 则 x 1 就是 　　　　　　　　 ;   ② 若 f ( a )· f ( x 1 ) < 0, 则方程的根在 区间 ( a , x 1 ) 上 , 令 　　　　　　 ;   ③ 若 f ( x 1 )· f ( b ) < 0, 则方程的根在 区间 ( x 1 , b ) 上 , 令 　　　　　　 .   f ( a )· f ( b ) < 0 中点 f ( a )· f ( b ) < 0 ( a , x 1 ) ( x 1 , b ) 方程的 根 b=x 1 a=x 1 激趣诱思 知识点拨 (4) 逐步缩小区间的 “ 长度 ”, 判断是否达到精确度 要求 . 名师点析 1 . 用 二分法求方程的近似解 , 实质上就是通过 “ 取中点 ” 的方法 , 运用 “ 逼近 ” 思想逐步缩小零点所在的区间 , 进而得到一个近似解 . 2 . 二分法求方程近似解仅对对应函数的变号零点 ( 曲线通过零点 , 且在零点 两侧 附近 函数 值异号 ) 适用 , 对函数的不变号零点 ( 曲线通过零点 , 且在零点 两侧 附近 函数 值同号 ) 不适用 , 如函数 f ( x ) = ( x- 1) 2 , 它的零点就不能用二分法求解 . 激趣诱思 知识点拨 微技巧二分法的步骤的记忆口诀 定区间 , 找中点 , 中值计算两边看 ; 同号去 , 异号算 , 零点落在异号间 ; 周而复始怎么办 ? 精确度上来判断 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 下列函数图象与 x 轴均有公共点 , 其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( 　　 ) 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 微练习 2 若函数 f ( x ) =x- 3 + log 3 x 的 一个零点附近的函数值用二分法逐次计算 , 参考数据如下 : f (2 )≈ - 0 . 369 1 　 f (2 . 5)≈0 . 334 0 f (2 . 25)≈ - 0 . 011 9 f (2 . 375)≈0 . 162 4 f (2 . 312 5)≈0 . 075 6 f (2 . 281 25)≈0 . 031 9 则方程 x- 3 + log 3 x= 0 的一个近似解 ( 精确度 0 . 1) 为 ( 　　 ) A.2 . 1 B.2 . 2 C.2 . 3 D.2 . 4 答案 : C 　 解析 : 由参考数据可知 f (2 . 25)· f (2 . 312 5) < 0, 且 | 2 . 312 5 - 2 . 25 |= 0 . 062 5 < 0 . 1, 所以当精确度为 0 . 1 时 , 可以将 x= 2 . 3 作为函数 f ( x ) = log 3 x+x- 3 零点的近似值 , 也即为方程 x- 3 + log 3 x= 0 的 近似 解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 二分法定义的理解 例 1 (1) 用二分法求函数 f ( x ) =x 3 + 5 的零点时 , 可以取的初始区间为 ( 　　 ) A . [ - 2,1] B.[ - 1,0] C.[0,1] D.[1,2] (2) 下列图象表示的函数中 , 能使用二分法求零点的是 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 在二分法中 , 初始区间的选择不唯一 , 一般应在两个整数间 , 初始区间不同时 , 二分的次数可能不同 . 2 . 如果函数 f ( x ) 的某个零点 x 0 的左右 两侧 附近 的 函数值是同号的 , 那么这样的零点就不能用二分法求解 . 答案 : (1) A 　 (2) C 　 解析 : (1) 由于 f ( - 2) = ( - 2) 3 + 5 =- 3 < 0, f (1) = 1 3 + 5 = 6 > 0, f ( - 2)· f (1) < 0, 因此可以将 [ - 2,1] 作为初始区间 , 故选 A . (2) 能用二分法求函数零点的函数 , 在零点的左右两侧的函数值符号相反 , 由图象可得 ,A,B,D 不能满足此 条件 , 故 选 C . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 下列函数中不能用二分法求零点的是 ( 　　 ) A. f ( x ) = 2 x+ 3 B. f ( x ) = ln x+ 2 x- 6 C. f ( x ) =x 2 - 2 x+ 1 D. f ( x ) = 2 x - 1 (2) 用二分法求函数 y=f ( x ) 在区间 (2,4) 上的唯一零点近似值时 , 已知 f (2)· f (4) < 0, 取区间 (2,4) 的中点 x 1 = = 3, 计算得 f (4)· f ( 3 ) < 0, 则函数零点所在的区间是 ( 　　 ) A . (2,4) B . (2,3) C . (3,4) D . 无法确定 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : (1) C 　 (2) B 　 解析 : (1) 因为 f ( x ) =x 2 - 2 x+ 1 = ( x- 1) 2 ≥ 0, 所以在零点的左右 两侧 附近 函数 值同号 , 所以不能用二分法求其零点 , 故选 C. (2) 由 f (2)· f (4) < 0, f (4)· f (3 ) > 0 知 f (2)· f (3) < 0 . 故函数零点所在的区间是 (2,3) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 用二分法求方程的近似解 例 2 求方程 lg x- 2 -x + 1 = 0 的近似解 ( 精确度为 0 . 1) . 分析 先确定 f ( x ) = lg x- 2 -x + 1 的零点所在的大致区间 , 再用二分法求解 . 解 : 令 f ( x ) = lg x- 2 -x + 1, 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞) . 因为函数 f ( x ) 在 (0, + ∞) 上是增函数 ( 证明略 ), 所以 f ( x ) 至多有一个零点 . 又因为 f (1) = 0 . 5 > 0, f (0 . 1)≈ - 0 . 933 < 0, 所以方程在 [0 . 1,1] 内有唯一实数解 . 使用二分法求解 , 如下表 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 至此 , 得到区间 [0 . 493 75,0 . 55], 其区间长度为 0 . 55 - 0 . 493 75 = 0 . 056 25 < 0 . 1, 由于要求的精度为 0 . 1, 则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解 , 不妨取 0 . 5 作为方程的近似解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用二分法求方程近似解的注意事项 (1) 要选好计算的初始区间 , 这个区间既要包含函数的零点 , 又要使其长度尽量小 . (2) 在求解过程中 , 可借助表格或数轴清楚 地 显示出 逐步缩小 的 零 点所在 区间 及其 长度 . (3) 根据给定的精确度 , 及时检验所取区间长度是否达到要求 , 及时 终止计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 以下用二分法求其零点的近似值 . 由于 f (1) =- 1 < 0, f (2) = 6 > 0, 故可以取区间 [1,2] 为计算的初始区间 . 用二分法逐步计算 , 列表如下 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由于区间 (1 . 257 812 5,1 . 265 625) 的长度 为 1 . 265 625 - 1 . 257 812 5 = 0 . 007 812 5 < 0 . 01, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 二分法思想的实际应用 例 3 在一个风雨交加的夜里 , 某水库闸房 ( 设为 A ) 到某指挥部 ( 设为 B ) 的电话 线路 在某 一 处发生了故障 . 这是一条 10 km 长的线路 , 想要尽快地查出故障所在 . 如果沿着线路一小段一小段地查找 , 困难很多 , 每查一小段需要很长时间 . (1) 维修线路的工人师傅随身带着话机 , 他应怎样工作 , 才能每查一次 , 就把待查的线路长度缩减一半 ? (2) 要把故障可能发生的范围缩小到 50 m ~ 100 m, 最多要查多少次 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 如图所示 , 他首先从中点 C 查 , 用随身带的话机向两端测试时 , 假设发现 AC 段正常 , 可断定故障在 BC 段 , 再到 BC 段中点 D 查 , 这次若发现 BD 段正常 , 可断定故障在 CD 段 , 再到 CD 段中点 E 来查 , 依次类推即可 . (2) 每查一次 , 可以把待查的线路长度缩减一半 , 因此最多查 7 次就够了 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 二分法在实际生活中经常用到 . 如在平时的线路故障、气管故障等检查中 , 可以利用二分法较快地得到结果 . 还可用于实验设计、资料查询等方面 . 用二分法解决实际问题时应考虑的两个问题 : 一是转化成函数的零点问题 ; 二是逐步缩小考察范围 , 逼近问题的解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 某 电视台 有一档娱乐 节目 , 主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会 , 如果猜中 , 就把物品奖给选手 . 某次猜一种品牌的手机 , 手机价格在 500 ~ 1 000 元之间 , 选手开始报价 :1 000 元 , 主持人说 : 高了 . 选手紧接着报价 900 元 , 高了 ;700 元 , 低了 ;880 元 , 高了 ;850 元 , 低了 ;851 元 , 恭喜你 , 猜中了 . 表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分 , 实际上 , 游戏报价过程体现了 “ 逼近 ” 的数学思想 , 你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗 ? 解 : 取价格区间 [500,1 000] 的中点 750, 如果主持人说低了 , 就再取区间 [750,1 000] 的中点 875; 否则取另一个区间 [500,750] 的中点 ; 若遇到小数 , 则取整数 , 照这种方案 , 游戏过程猜价如下 :750,875,812,843,859,851, 经过 6 次可以猜中价格 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 二分法在搜索中的应用 日常生活中 , 我们经常要利用计算机、网络来搜索信息 . 你知道吗 ? 二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色 . 下图中的 15 个数是按从小到大排列的 . 258111216232729355153697577 如果随机给出一个不大于 100 的自然数 x , 要让计算机查找 x 是否在上面这列数中 , 设计怎样的查找方法 , 才能保证不管给出的是什么数 , 都能在指定的步骤内查到结果呢 ? 如果让计算机将 x 逐一与图中的数去比较 , 那么在有些情况下 , 只要比较 1 次就可以了 ( 例如 x= 1), 但在有些情况下 , 却要比较 15 次才能完成任务 ( 例如 x= 80) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 如果我们用二分法的思想来查找 , 情况就不一样了 : 每一次都让 x 与序列中正中间的数进行大小比较 , 通过这种方式缩小其可能的位置范围 . 例如 , x= 13 时的查找过程可用下图表示 . 由此不难看出 , 不管给出的是什么数 , 最多 4 次就能完成任务 . 计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的 , 而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用 , 感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧 ! 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知函数 f ( x ) 的图象如图 , 其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为 ( 　　 ) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 答案 : D 　 解析 : 由题图知函数 f ( x ) 与 x 轴有 4 个公共点 , 因此零点个数为 4, 从左往右数第 4 个公共点横坐标的左右两侧的函数值同号 , 因此不能用二分法求该零点 , 而其余 3 个均可使用二分法来求 . 故选 D . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 用二分法求函数 f ( x ) =-x 3 - 3 x+ 5 的近似零点时的初始区间是 ( 　　 ) A .(-3,1) B.(1,2) C.( - 2, - 1) D.( - 3, - 2) 答案 : B 　 解析 : 本题考查对用二分法求函数零点近似值的理解及初始区间的选择 . ∵ f (1) = 1, f (2) =- 9, f ( - 1) = 9, f ( - 2) = 19, f ( - 3) = 41, ∴ f (1)· f (2) < 0 . 又函数 f ( x ) =-x 3 - 3 x+ 5 的定义域为 R , 故 f ( x ) 的一个零点所在的初始区间为 (1,2) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 用二分法求方程 f ( x ) = 0 在区间 (0,1) 内的近似解时 , 经计算 , f (0 . 425) < 0, f (0 . 532) > 0, f (0 . 605) < 0, 即得到方程的一个近似解为 　　　　　　　　　　　　　 . ( 精确度 为 0 . 1 )   4 . 用二分法求函数 f ( x ) = ln x- 2 +x 在区间 [1,2] 上零点的近似值 , 先取区间中点 c = , 则下一个含零点的区间是 　　　　　 .   答案 : 0 . 6( 答案不唯一 ) 　 解析 : ∵ 0 . 605 - 0 . 532 = 0 . 073 < 0 . 1, ∴ (0 . 532,0 . 605) 内的值都可以作为方程精确度为 0 . 1 的一个近似解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 求方程 x 2 = 2 x+ 1 的一个近似解 ( 精确度 为 0 . 1) . 解 : 设 f ( x ) =x 2 - 2 x- 1, 因为 f (2) =- 1 < 0, f (3) = 2 > 0, 所以可以确定区间 [2,3] 作为计算的初始区间 . 用二分法逐步计算 , 列表如下 : 因为 | 2 . 375 - 2 . 437 5 |= 0 . 062 5 < 0 . 1 . 所以方程 x 2 = 2 x+ 1 的一个近似解可取 2 . 4 .