2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 49页

第 2 课时　补集及综合应用 必备知识 · 自主学习 1. 全集 (1) 概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 _____ 元素， 那么就称这个集合为全集 . (2) 记法：通常记作 U. 所有 2. 补集 (1) 定义 (2) 本质：补集既是集合之间的一种关系，又是集合的基本运算之一 . 补集是一个相对的概念，只相对于相应的全集而言 . (3) 作用： ①依据定义求集合的补集；②求参数的值或范围； ③补集思想的应用 . 【 思考 】 ∁ U A ， A ， U 三者之间有什么关系？ 提示： A⊆U ， ∁ U A⊆U ， A∪( ∁ U A)=U ， A∩( ∁ U A)=⌀. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 同一个集合在不同的全集中补集不同 . ( 　　 ) (2) 不同集合在同一个全集中的补集也不同 . ( 　　 ) (3) 若 x∈U ，则 x∈A 或 x∈ ∁ U A ，二者必居其一 . ( 　　 ) 提示： (1)√. 补集是相对于全集而言的，全集不同补集就不同 . (2)√. 结合 Venn 图可知，此说法正确 . (3)√. 根据补集的定义可知，此说法正确 . 2. 已知三个集合 U ， A ， B 及集合间的关系如图所示，则 (∁ U B)∩A= ( 　　 ) A.{3} B.{0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8} C.{1 ， 2} D.{1 ， 2 ， 3} 【 解析 】 选 C. 由 Venn 图可知 U={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8} ， A={1 ， 2 ， 3} ， B={3 ， 5 ， 6} ，所以 ( ∁ U B)∩A={1 ， 2}. 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 已知全集 U={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 集合 A={1 ， 2 ， 3} ， B={2 ， 4} ，则 ( ∁ U A)∪B= ( 　　 ) A.{1 ， 2 ， 4} B. {2 ， 3 ， 4} C. {0 ， 2 ， 4} D. {0 ， 2 ， 3 ， 4} 【 解析 】 选 C. 因为 U={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 集合 A={1 ， 2 ， 3} ，所以∁ U A={0 ， 4} ，又 B={2 ， 4} ， 所以 (∁ U A)∪B={0 ， 2 ， 4}. 关键能力 · 合作学习 类型一　补集的运算 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 长春高一检测 ) 设全集 U={ -3,-2,-1,0,1,2,3 } ，集合 A={ x|x 2 +x-2 =0 } ，则 ∁ U A=_______.  2. 已知全集为 U ，集合 A={1 ， 3 ， 5 ， 7} ， ∁ U A={2 ， 4 ， 6} ， ∁ U B={1 ， 4 ， 6} ， 则集合 B=_______.  3. 若集合 A={x|-1≤x<1} ，当 S 分别取下列集合时，求 ∁ S A. (1)S=R.(2)S={x|x≤2}.(3)S={x|-4≤x≤1}. 【 解析 】 1. 因为 A={ x|x 2 +x-2=0 }={-2 ， 1} ， U={ -3,-2,-1,0,1,2,3 } ，所以 ∁ U A={ -3,-1,0,2,3 }. 答案： 2. 方法一：因为 A={1 ， 3 ， 5 ， 7} ， ∁ U A={2 ， 4 ， 6} ，所以 U={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}. 又 ∁ U B={1 ， 4 ， 6} ，所以 B={2 ， 3 ， 5 ， 7}. 方法二：满足题意的 Venn 图如图所示 . 由 Venn 图可知集合 B={2 ， 3 ， 5 ， 7}. 答案： {2 ， 3 ， 5 ， 7} 3.(1) 把集合 A 表示在数轴上如图所示 . 由图知 ∁ S A={x|x<-1 或 x≥1}. (2) 把集合 S 和 A 表示在数轴上，如图所示 . 由图知 ∁ S A={x|x<-1 或 1≤x≤2}. (3) 把集合 S 和 A 表示在数轴上，如图所示 . 由图知 ∁ S A={x|-4≤x<-1 或 x=1}. 【 解题策略 】 求补集的原则和方法 (1) 一个基本原则 . 求给定集合 A 的补集，从全集 U 中去掉属于集合 A 的元 素后，由所有剩下的元素组成的集合即为 A 的补集 . (2) 两种求解方法 . ① 若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍 . ② 若所给的集合是用列举法表示，则用 Venn 图求解 . 【 补偿训练 】 1. 若全集 U={0 ， 1 ， 2 ， 3} 且 ∁ U A ={2} ，则集合 A 的真子集共有 ( 　　 ) A.3 个　　　 B.5 个　　　 C.7 个　　　 D.8 个 【 解析 】 选 C. 因为 U={0 ， 1 ， 2 ， 3} 且 ∁ U A={2} ，所以 A={0 ， 1 ， 3} ，所以集合 A 的真子集共有 7 个 . 2. 已知全集 U=R ，集合 A={x|x<-2 或 x>2} ，则 ∁ U A=_______.  【 解析 】 如图， 在数轴上表示出集合 A ，可知∁ U A={x|-2≤x≤2}. 答案： {x|-2≤x≤2} 类型二　集合并、交、补的综合运算 ( 数学运算 ) 角度 1 　借助 Venn 图进行集合的基本运算  【 典例 】 1.(2020· 长春高一检测 ) 设 U=R ， A={ 1,2,3,4,5 } ， B={ x∈R|x≥2 } ，则图中阴影部分表示的集合为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2} 2. 全集 U={x|x<10 ， x∈N * } ， A⊆U ， B⊆U ， ( ∁ U B)∩A={1 ， 9} ， A∩B={3} ， ( ∁ U A)∩( ∁ U B)={4 ， 6 ， 7} ，求集合 A ， B. 【 思路导引 】 1. 先判断 Venn 图中阴影部分表示的集合是由哪些元素构成的，再写出所求集合 . 2. 根据题意画出 Venn 图，写出集合 A ， B. 【 解析 】 1. 选 A. 由 Venn 图可知，阴影部分表示的集合为属于 A 且不属于 B 的元素构成，所以用集合表示为 A∩( ∁ U B). 因为 U=R ， B={ x∈R|x≥2 } ， 所以 ∁ U B={x|x<2} ， 又因为 A={ 1,2,3,4,5 } ， 所以 A∩( ∁ U B)={ 1 }. 2. 根据题意作出 Venn 图如图所示 . 由图可知 A={1 ， 3 ， 9} ， B={2 ， 3 ， 5 ， 8}. 【 变式探究 】 本例 2 条件改为设全集 U={2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ， 19} ， A∩( ∁ U B)={3 ， 5} ， ( ∁ U A)∩B={7 ， 19} ， ( ∁ U A)∩( ∁ U B)={2 ， 17} ，求集合 A ， B. 【 解析 】 由题意画出 Venn 图，如图所示， 故 A={3 ， 5 ， 11 ， 13} ， B={7 ， 11 ， 13 ， 19}. 角度 2 　借助数轴进行集合的基本运算  【 典例 】 (2020· 张家口高一检测 ) 已知全集 U={x|-3≤x≤5} ， 集合 A={x|-3≤x<-2} ， B={x|-2≤x≤1}. (1) 求 A∩B ， A∪B. (2) 求 ( ∁ U A)∩( ∁ U B) ， ( ∁ U A)∪( ∁ U B). 【 思路导引 】 (1) 根据集合的交集和并集的定义，求 A∩B ， A∪B. (2) 由集合补集的运算分别求∁ U A ，∁ U B ，进而画数轴求 (∁ U A)∩(∁ U B) ， (∁ U A)∪(∁ U B). 【 解析 】 (1) 因为 A={x|-3≤x<-2} ， B={x|-2≤x≤1} ， 所以 A∩B=⌀ ， A∪B={x|-3≤x≤1}. (2) 因为全集 U={x|-3≤x≤5} ， 集合 A={x|-3≤x<-2} ， B={x|-2≤x≤1} ， 所以 ∁ U A={x|-2≤x≤5} ， ∁ U B={x|-3≤x<-2 或 12}. 又 B∪(∁ R A)=R ， A∪(∁ R A)=R ，可得 A⊆B. 而 B∩(∁ R A)={x|02} ， N={x|1≤x≤3} ，如图，则阴影部分所表示的集合为 ( 　　 ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2 或 x>3} D.{x|-2≤x≤2} 【 解析 】 选 A. 由题意，知 M∪N={x|x<-2 或 x≥1} ，所以阴影部分所表示的集合为 ∁ U (M∪N)={x|-2≤x<1}. 3. 已知全集 U={-1 ， 1 ， 3} ，集合 A={a+2 ， a 2 +2} ，且 ∁ U A={-1} ，则 a 的值 是 ( 　　 ) A.-1 B.1 C.3 D.±1 【 解析 】 选 A. 由 A∪(∁ U A)=U ，可知 A={1 ， 3}. 又因为 a 2 +2≥2 ，所以 a+2=1 且 a 2 +2=3. 解得 a=-1. 4. 已知 U={x|x>0} ， A={x|2≤x<6} ，则 ∁ U A=_______.  【 解析 】 如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁ U A={x|0