高考数学专题复习练习：9-3 专项基础训练 5页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2016·课标全国Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　　　B．－ C. D．2‎ ‎【解析】 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1，4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎2．(2017·福州质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是(　　)‎ A．原点在圆上 B．原点在圆外 C．原点在圆内 D．不确定 ‎【解析】 将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，‎ 所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，‎ 即＞，所以原点在圆外．‎ ‎【答案】 B ‎3．(2016·石家庄一检)若圆C的半径为1，点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，则圆C的标准方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1‎ C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1‎ ‎【解析】 因为点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，故由中点坐标公式可得C(0，0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.‎ ‎【答案】 A ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 ‎∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.‎ ‎【答案】 B ‎5．(2016·绥化重点中学联考)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－2)2＝5‎ B．(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ C．(x－1)2＋(y－2)2＝25‎ D．(x－2)2＋(y－1)2＝25‎ ‎【解析】 由圆心在曲线y＝(x＞0)上，‎ 设圆心坐标为，a＞0.‎ 又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝，‎ 当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，‎ 所以圆心坐标为(1，2)，‎ 圆的半径的最小值为，‎ 则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎【答案】 A ‎6．(2016·福建师大附中联考)与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为________．‎ ‎【解析】 所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a＜0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.‎ ‎【答案】 (x＋2)2＋(y－4)2＝20‎ ‎7．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，‎ 切点为A，则·的最小值为________．‎ ‎【解析】 圆心O到直线x－2y＋5＝0的距离为＝，‎ 即||min＝.‎ ‎∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即·＝0，‎ ‎∴·＝(＋)·＝2＝||2－||2≥5－1＝4.‎ ‎【答案】 4‎ ‎8．(2016·山东烟台一模)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆C上各点到直线l的距离的最小值为a，最大值为b，则a＋b＝________．‎ ‎【解析】 由圆的标准方程得圆心C的坐标为(1，1)，半径r＝，则圆心(1，1)到直线l的距离d＝＝2＞＝r，所以直线l与圆C相离，则圆C上各点到l的距离的最小值a＝d－r＝2－＝，最大值b＝d＋r＝2＋＝3，故a＋b＝4.‎ ‎【答案】 4 ‎9．一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．‎ ‎【解析】 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.‎ 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.‎ 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.‎ 由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①‎ 又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②‎ ‎1＋9－D＋3E＋F＝0.③‎ 解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.‎ 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程；‎ ‎(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．‎ ‎【解析】 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.‎ 则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.‎ ‎∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.‎ ‎∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.‎ ‎(2)设P的坐标为(x0，y0)，‎ 则＝，即|x0－y0|＝1.‎ ‎∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.‎ ‎①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1.‎ ‎∴∴r2＝3.‎ ‎∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.‎ ‎②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1.‎ ‎∴∴r2＝3.‎ ‎∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.‎ 综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2016·深圳五校联考)已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．1 D．－1‎ ‎【解析】 因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1，3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.‎ ‎【答案】 D ‎12．(2016·济南模拟)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)‎ A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1‎ B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1‎ C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1‎ D．(x－2)2＋(y－2)2＝1‎ ‎【解析】 设圆C1的圆心坐标C1(－1，1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(a，b)，依题意得解得所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.‎ ‎【答案】 B ‎13．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，‎ 使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．‎ ‎【解析】 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，‎ 所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎【答案】 x＋y－2＝0‎ ‎14．已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足：·＝k||2.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；‎ ‎(2)当k＝2时，求|2＋|的最大值、最小值．‎ ‎【解析】 (1)设动点坐标为P(x，y)，‎ 则＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)．‎ 因为·＝k||2，所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，‎ 整理得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0.‎ 若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(k，0)且平行于y轴的直线．‎ 若k≠1，则方程为＋y2＝.‎ 表示以为圆心，以为半径的圆．‎ ‎(2)最大值为3＋，最小值为－3.‎ ‎15．(2017·河南中原名校第三次联考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.‎ ‎(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；‎ ‎(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．‎ ‎【解析】 (1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，PC＝2，设P(a，2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2，4)或.‎ ‎(2)设P(a，2a)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得x2＋y2－ax－4y－2ay＋8a＝0，即(x2＋y2－4y)－a(x＋2y－8)＝0.‎ 由得或 ‎∴该圆必经过定点(0，4)和.‎