高考数学专题复习练习第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质 6页

第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 ‎1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)．‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 答案　B ‎2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.‎ 答案　B ‎3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 (　　)．‎ A．PA＝PB＝PC B．PA⊥BC，PB⊥AC C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等 D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等 解析　条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.‎ 答案　B ‎4. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在 ‎ ‎(　　)．‎ A．直线AB上 　　 B．直线BC上 C．直线AC上 　　 D．△ABC内部 解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．‎ 答案　A ‎5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 (　　)．‎ A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α B．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β 解析　与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.‎ 答案　C ‎6．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有 (　　)．‎ A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 解析　折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，‎ ‎∴AH⊥面HEF.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．‎ 解析　折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．‎ 答案　垂直 ‎8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 解析　由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．‎ 答案　①③‎ ‎9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：‎ ‎①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.‎ 其中正确的个数是________．‎ 解析　如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，‎ PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.‎ 又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.‎ 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.‎ 答案　3个 ‎10. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.‎ 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.‎ ‎∴PB⊥EF.故①②③正确．‎ 答案　①②③‎ 三、解答题 ‎11．已知斜三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1‎ 在底面上射影D落在BC上．‎ ‎(1)求证：AC⊥平面BB‎1C‎1C；‎ ‎(2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求证：A‎1C∥平面AB1D.‎ 解析 (1)∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴B1D⊥AC.‎ 又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，‎ ‎∴AC⊥平面BB‎1C‎1C.‎ ‎(2)　≠⇒‎ ⇒BC1⊥B‎1C，‎ ‎∴四边形BB‎1C‎1C为菱形，‎ ‎∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点．‎ 连接A1B，与AB1交于点E，在三角形A1BC中，DE∥A‎1C，‎ ‎∴A‎1C∥平面AB1D.‎ ‎12． 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．‎ ‎(1)求证：B1D1∥平面A1BD；‎ ‎(2)求证：MD⊥AC；‎ ‎(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.‎ ‎(1)证明　由直四棱柱，得BB1∥DD1，‎ 又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，‎ ‎∴B1D1∥BD.‎ 而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，‎ ‎∴B1D1∥平面A1BD.‎ ‎(2)证明　∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴BB1⊥AC.‎ 又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.‎ 而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.‎ ‎(3)解　当点M为棱BB1的中点时，‎ 平面DMC1⊥平面CC1D1D.‎ 取DC的中点N，D‎1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．‎ ‎∵N是DC的中点，BD＝BC，‎ ‎∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，‎ 而平面ABCD⊥平面DCC1D1，‎ ‎∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，‎ ‎∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．‎ ‎∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.‎ ‎∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.‎ ‎13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．‎ ‎(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；‎ ‎(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.‎ ‎(3)求三棱锥D－BCE的体积．‎ ‎(1)证明　连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，‎ 又MN＝AE＝CD，‎ ‎∴四边形ANME为平行四边形，‎ ‎∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，‎ ‎∴AN∥平面CME.‎ ‎(2)证明　∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，‎ 又平面ABC⊥平面BCD，‎ ‎∴AN⊥平面BCD.‎ 由(1)，知AN∥EM，‎ ‎∴EM⊥平面BCD.‎ 又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.‎ ‎(3)解　VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD·|EM|‎ ‎＝××＝.‎ ‎14． 如图，在多面体ABC－A1B‎1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝BC，B‎1C1綉BC.‎ ‎(1)求证：A1B1⊥平面AA‎1C；‎ ‎(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A‎1C‎1C.‎ ‎(3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B‎1C1的体积．‎ ‎(1)证明　∵AB＝AC＝BC，AB2＋AC2＝BC2，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ 又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥AB，AA1∩AC＝A，‎ ‎∴AB⊥平面AA‎1C，‎ 又∵AA1綉BB1，∴四边形ABB‎1A1为平行四边形．‎ ‎∴A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面AA‎1C.‎ ‎(2)证明　∵B‎1C1綉BC，且D是BC的中点，‎ ‎∴CD綉C1B1，∴四边形C1CDB1为平行四边形，‎ ‎∴B1D∥C‎1C，B1D⊄平面A‎1C‎1C且C‎1C⊂平面A‎1C‎1C，‎ ‎∴B1D∥平面A‎1C‎1C.‎ ‎(3)解　连接AD，DC1，‎ V＝V三棱柱A1B‎1C1－ABD＋V四棱锥C－AA‎1C1D ‎＝×1×1×＋×(×1)×1＝.‎