高考数学专题复习练习：第二章 2_1 12页

‎1．函数与映射 函数 映射 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 ‎2.函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．‎ ‎(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．‎ ‎(3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．‎ ‎3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．‎ 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．‎ ‎【知识拓展】‎ 求函数定义域常见结论：‎ ‎(1)分式的分母不为零；‎ ‎(2)偶次根式的被开方数不小于零；‎ ‎(3)对数函数的真数必须大于零；‎ ‎(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；‎ ‎(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；‎ ‎(6)零次幂的底数不能为零；‎ ‎(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　×　)‎ ‎(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　×　)‎ ‎(3)映射是特殊的函数．(　×　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　×　)‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　×　)‎ ‎1．函数y＝＋的定义域为(　　)‎ A．[，＋∞) B．(－∞，3)∪(3，＋∞)‎ C．[，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)‎ 答案　C 解析　由题意知解得x≥且x≠3.‎ ‎2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ 答案　B 解析　A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.‎ ‎3．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)‎ A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 答案　D 解析　函数y＝10lg x的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝，故选D.‎ ‎4．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ 答案　C 解析　因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，‎ 所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，‎ 故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.‎ ‎5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．‎ 答案　(－∞，2]‎ 解析　因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2].‎ 题型一　函数的概念 例1　有以下判断：‎ ‎①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；‎ ‎②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；‎ ‎③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；‎ ‎④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.‎ 其中正确判断的序号是________．‎ 答案　②③‎ 解析　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.‎ 综上可知，正确的判断是②③.‎ 思维升华　函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．‎ ‎　(1)下列所给图象是函数图象的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)‎ A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1‎ C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2‎ D．f(x)＝和g(x)＝ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.‎ ‎(2)A中两个函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．故选D.‎ 题型二　函数的定义域问题 命题点1　求函数的定义域 例2　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A．(－3,0] B．(－3,1]‎ C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．‎ 答案　(1)A　(2)[0,1)‎ 解析　(1)由题意得解得－3＜x≤0.‎ 所以函数f(x)的定义域为(－3,0]．‎ ‎(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，‎ 又x－1≠0，即x≠1，‎ 所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．‎ 引申探究 本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝的定义域为________________．‎ 答案　[，1)∪(1，]‎ 解析　由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]，‎ 得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]，‎ 令得≤x≤且x≠1，‎ ‎∴g(x)的定义域为[，1)∪(1，]．‎ 命题点2　已知函数的定义域求参数范围 例3　(1)若函数的定义域为R，则a的取值范围为________．‎ ‎(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(1)[－1,0]　(2)[0,3)‎ 解析　(1)因为函数f(x)的定义域为R，‎ 所以对x∈R恒成立，‎ 即恒成立，‎ 因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.‎ ‎(2)因为函数y＝的定义域为R，‎ 所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，‎ 即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．‎ 当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；‎ 当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得01)　(2)2x＋7　(3)＋ 解析　(1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，‎ ‎∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．‎ ‎(2)(待定系数法)‎ 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，‎ 则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，‎ 即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，‎ ‎∴解得 ‎∴f(x)＝2x＋7.‎ ‎(3)(消去法)‎ 在f(x)＝2f()·－1中，用代替x，‎ 得f()＝2f(x) ·－1，‎ 将f()＝－1代入f(x)＝2f()·－1中，‎ 可求得f(x)＝＋.‎ 思维升华　函数解析式的求法 ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；‎ ‎(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎ ‎　(1)已知f(x－)＝x2＋，求f(x)；‎ ‎(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；‎ ‎(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x)．‎ 解　(1)设x－＝t，则x2＋＝(x－)2＋2，‎ ‎∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.‎ ‎(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，‎ ‎∴∴或 故f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.‎ ‎(3)以－x代替x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，‎ ‎∴f(－x)＝－3f(x)－2x＋1，代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1可得f(x)＝－x＋.‎ ‎2．分类讨论思想在函数中的应用 典例　(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．‎ ‎(2)(2015·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)‎ A. B．[0,1]‎ C. D．[1, ＋∞)‎ 思想方法指导　(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；‎ ‎(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．‎ 解析　(1)当a>0时，1－a<1,1＋a>1，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，‎ 解得a＝－，不合题意．‎ 当a<0时，1－a>1,1＋a<1，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)，可得 ‎－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．‎ ‎(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.‎ 当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.‎ 当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.‎ 综上，a≥，故选C.‎ 答案　(1)－　(2)C ‎1．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)‎ A．y＝与y＝x＋3‎ B．y＝－1与y＝x－1‎ C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)‎ D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z 答案　C 解析　A项中两函数的定义域不同；B项，D项中两函数的对应关系不同，故选C.‎ ‎2．函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]‎ C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]‎ 答案　D 解析　要使函数f(x)有意义，‎ 则x需满足 即 解得10，求实数a的值．‎ 解　(1)由题意，得f(－)＝f(－＋1)＝f(－)‎ ‎＝f(－＋1)＝f()＝2×＋1＝2.‎ ‎(2)当0