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  • 2021-06-16 发布

2016年天津市高考数学试卷(文科)

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2016 年天津市高考数学试卷(文科)   一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.(5 分)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=(  ) A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.(5 分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则 甲不输的概率为(  ) A. B. C. D. 3.(5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(  ) A. B. C. D. 4.(5 分)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一 条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为(  ) A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 5.(5 分)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 (  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.(5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递 增,若实数 a 满足 f(2|a﹣1|)>f(﹣ ),则 a 的取值范围是(  ) A.(﹣∞, )B.(﹣∞, )∪( ,+∞) C.( , ) D.( ,+∞) 7.(5 分)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中 点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 • 的值为(  ) A.﹣ B. C. D. 8.(5 分)已知函数 f(x)=sin2 + sinωx﹣ (ω>0),x∈R,若 f(x)在区 间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是(  ) A.(0, ] B.(0, ]∪[ ,1) C.(0, ] D.(0, ]∪[ , ]   二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分 9.(5 分)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为   . 10.(5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0) 的值为   . 11.(5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值 为   . 12.(5 分)已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上,点(0, )圆 C 上,且圆心到直 线 2x﹣y=0 的距离为 ,则圆 C 的方程为   . 13.(5 分)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2,BD=ED, 则线段 CE 的长为   . 14.(5 分)已知函数 f(x)= (a>0,且 a≠1)在 R 上 单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取 值范围是   .   三、解答题:本大题共 6 小题,80 分 15.(13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B= bsinA. (1)求 B; (2)已知 cosA= ,求 sinC 的值. 16.(13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料, 生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 肥料 原料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、 乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种 肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮 数. (Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此 最大利润. 17.(13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF∥ AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点. (1)求证:FG∥平面 BED; (2)求证:平面 BED⊥平面 AED; (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 18.(13 分)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 ﹣ = ,S6=63. (1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N *,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(﹣1) nb }的前 2n 项和. 19.(14 分)设椭圆 + =1(a> )的右焦点为 F,右顶点为 A,已知 + = ,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于 点 M,与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率. 20.(14 分)设函数 f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=0; (3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 不小于 .   2016 年天津市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析   一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.(5 分)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=(  ) A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 【分析】根据题意,将集合 B 用列举法表示出来,可得 B={1,3,5},由交集的 定义计算可得答案. 【解答】解:根据题意,集合 A={1,2,3},而 B={y|y=2x﹣1,x∈A}, 则 B={1,3,5}, 则 A∩B={1,3}, 故选:A. 【点评】本题考查集合的运算,注意集合 B 的表示方法.   2.(5 分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则 甲不输的概率为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出. 【解答】解:∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件. ∴根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率 P= + = . 故选:A. 【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式,关键是判断出事件的关系, 然后选择合适的概率公式,属于基础题.   3.(5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图,找出所切棱锥的位置,得出 答案. 【解答】解:由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D﹣AD1C, 棱 CD1 在左侧面的投影为 BA1, 故选:B. 【点评】本题考查了棱锥,棱柱的结构特征,三视图,考查空间想象能力,属于 基础题.   4.(5 分)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一 条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为(  ) A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 【分析】利用双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条 渐近线与直线 2x+y=0 垂直,求出几何量 a,b,c,即可求出双曲线的方程. 【解答】解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 , ∴c= , ∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直, ∴ = , ∴a=2b, ∵c2=a2+b2, ∴a=2,b=1, ∴双曲线的方程为 =1. 故选:A. 【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查待定系数法的运用,确定双曲线的 几何量是关键.   5.(5 分)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 (  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】直接根据必要性和充分判断即可. 【解答】解:设 x>0,y∈R,当 x>0,y=﹣1 时,满足 x>y 但不满足 x>|y|, 故由 x>0,y∈R,则“x>y”推不出“x>|y|”, 而“x>|y|”⇒“x>y”, 故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件, 故选:C. 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题.   6.(5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递 增,若实数 a 满足 f(2|a﹣1|)>f(﹣ ),则 a 的取值范围是(  ) A.(﹣∞, )B.(﹣∞, )∪( ,+∞) C.( , ) D.( ,+∞) 【分析】根据函数的对称性可知 f(x)在(0,+∞)递减,故只需令 2|a﹣1|< 即可. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递 增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵2|a﹣1|>0,f(﹣ )=f( ), ∴2|a﹣1|< =2 . ∴|a﹣1| , 解得 . 故选:C. 【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性的性质,属于中档题.   7.(5 分)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中 点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 • 的值为(  ) A.﹣ B. C. D. 【分析】由题意画出图形,把 、 都用 表示,然后代入数量积公式得 答案. 【解答】解:如图, ∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点,且 DE=2EF, ∴ • = = = = = = = = . 故选:C. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中 档题.   8.(5 分)已知函数 f(x)=sin2 + sinωx﹣ (ω>0),x∈R,若 f(x)在区 间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是(  ) A.(0, ] B.(0, ]∪[ ,1) C.(0, ] D.(0, ]∪[ , ] 【分析】函数 f(x)= ,由 f(x)=0,可得 =0,解 得 x= ∉(π,2π),因此 ω∉ ∪ ∪ ∪…= ∪ ,即可得出. 【 解 答 】 解 : 函 数 f ( x ) = + sinωx﹣ = + sinωx = , 由 f(x)=0,可得 =0, 解得 x= ∉(π,2π), ∴ω∉ ∪ ∪ ∪…= ∪ , ∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点, ∴ω∈ ∪ . 故选:D. 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.   二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分 9.(5 分)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 1 . 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由(1+i)z=2, 得 , ∴z 的实部为 1. 故答案为:1. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础 题.   10.(5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0) 的值为 3 . 【分析】先求导,再带值计算. 【解答】解:∵f(x)=(2x+1)ex, ∴f′(x)=2ex+(2x+1)ex, ∴f′(0)=2e0+(2×0+1)e0=2+1=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题.   11 .(5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为  4 . 【分析】根据循环结构,结合循环的条件,求出最后输出 S 的值. 【解答】解:第一次循环:S=8,n=2; 第二次循环:S=2,n=3; 第三次循环:S=4,n=4, 结束循环,输出 S=4, 故答案为:4. 【点评】本题主要考查程序框图,循环结构,注意循环的条件,属于基础题.   12.(5 分)已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上,点(0, )圆 C 上,且圆心到直 线 2x﹣y=0 的距离为 ,则圆 C 的方程为 (x﹣2)2+y2=9 . 【分析】由题意设出圆的方程,把点 M 的坐标代入圆的方程,结合圆心到直线 的距离列式求解. 【解答】解:由题意设圆的方程为(x﹣a)2+y2=r2(a>0), 由点 M(0, )在圆上,且圆心到直线 2x﹣y=0 的距离为 , 得 ,解得 a=2,r=3. ∴圆 C 的方程为:(x﹣2)2+y2=9. 故答案为:(x﹣2)2+y2=9. 【点评】本题考查圆的标准方程,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档 题.   13.(5 分)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2,BD=ED, 则线段 CE 的长为   . 【分析】由 BD=ED,可得△BDE 为等腰三角形,过 D 作 DH⊥AB 于 H,由相交弦 定理求得 DH,在 Rt△DHE 中求出 DE,再由相交弦定理求得 CE. 【解答】解:如图, 过 D 作 DH⊥AB 于 H, ∵BE=2AE=2,BD=ED, ∴BH=HE=1,则 AH=2,BH=1, ∴DH2=AH•BH=2,则 DH= , 在 Rt△DHE 中,则 , 由相交弦定理可得:CE•DE=AE•EB, ∴ . 故答案为: . 【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查相交弦定理的应用,是中档题.   14.(5 分)已知函数 f(x)= (a>0,且 a≠1)在 R 上 单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取 值范围是 [ , ) . 【分析】由减函数可知 f(x)在两段上均为减函数,且在第一段的最小值大于或 等于第二段上的最大值,作出|f(x)|和 y=2﹣ 的图象,根据交点个数判断 3a 与 2 的大小关系,列出不等式组解出. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的单调递减函数, ∴y=x2+(4a﹣3)x+3a 在(﹣∞.,0)上单调递减,y=log a(x+1)+1 在(0,+ ∞)上单调递减, 且 f(x)在(﹣∞,0)上的最小值大于或等于 f(0). ∴ ,解得 ≤a≤ . 作出 y=|f(x)|和 y=2﹣ 的函数草图如图所示: 由图象可知|f(x)|=2﹣ 在[0,+∞)上有且只有一解, ∵|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解, ∴x2+(4a﹣3)x+3a=2﹣ 在(﹣∞,0)上只有 1 解, 即 x2+(4a﹣ )x+3a﹣2=0 在(﹣∞,0)上只有 1 解, ∴ 或 , 解得 a= 或 a< , 又 ≤a≤ ,∴ . 故答案为[ , ). 【点评】本题考查了分段函数的单调性,函数零点的个数判断,结合函数函数图 象判断端点值的大小是关键,属于中档题.   三、解答题:本大题共 6 小题,80 分 15.(13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B= bsinA. (1)求 B; (2)已知 cosA= ,求 sinC 的值. 【分析】(1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB; (2)求出 sinA,利用两角和的正弦函数公式计算. 【解答】解:(1)∵asin2B= bsinA, ∴2sinAsinBcosB= sinBsinA, ∴cosB= ,∴B= . (2)∵cosA= ,∴sinA= , ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= = . 【点评】本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题.   16.(13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料, 生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 肥料 原料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、 乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种 肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮 数. (Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此 最大利润. 【分析】(Ⅰ)设出变量,建立不等式关系,即可作出可行域. (Ⅱ)设出目标函数,利用平移直线法进行求解即可. 【解答】解:(Ⅰ)由已知 x,y 满足不等式 ,则不等式对应的平 面区域为, (Ⅱ)设年利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y,即 y=﹣ x+ , 平移直线 y=﹣ x+ ,由图象得当直线经过点 M 时,直线的截距最大,此时 z 最 大, 由 得 ,即 M(20,24), 此时 z=40+72=112, 即分别生产甲肥料 20 车皮,乙肥料 24 车皮,能够产生最大的利润,最大利润为 112 万元. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件建立约束条件,作出可行域, 利用平移法是解决本题的关键.   17.(13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF∥ AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点. (1)求证:FG∥平面 BED; (2)求证:平面 BED⊥平面 AED; (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 【分析】(1)利用中位线定理,和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形,再 根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据余弦定理求出 BD= ,继而得到 BD⊥AD,再根据面面垂直的判定定 理即可证明; (3)先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的 角,再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案. 【解答】证明:(1)BD 的中点为 O,连接 OE,OG,在△BCD 中, ∵G 是 BC 的中点, ∴OG∥DC,且 OG= DC=1, 又∵EF∥AB,AB∥DC, ∴EF∥OG,且 EF=OG, 即四边形 OGEF 是平行四边形, ∴FG∥OE, ∵FG⊄平面 BED,OE⊂平面 BED, ∴FG∥平面 BED; (2)证明:在△ABD 中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°, 由余弦定理可得 BD= ,仅而∠ADB=90°, 即 BD⊥AD, 又∵平面 AED⊥平面 ABCD, BD⊂平面 ABCD,平面 AED∩平面 ABCD=AD, ∴BD⊥平面 AED, ∵BD⊂平面 BED, ∴平面 BED⊥平面 AED. (Ⅲ)∵EF∥AB, ∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角, 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H,连接 BH, 又平面 BED∩平面 AED=ED, 由(2)知 AH⊥平面 BED, ∴直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH, 在△ADE,AD=1,DE=3,AE= ,由余弦定理得 cos∠ADE= , ∴sin∠ADE= , ∴AH=AD• , 在 Rt△AHB 中,sin∠ABH= = , ∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直,平面与平面的垂直,直线与平面 所成的角,考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于中档题.   18.(13 分)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 ﹣ = ,S6=63. (1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N *,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(﹣1) nb }的前 2n 项和. 【分析】(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q,利用求和公式解出 a1,得出通项公式; (2)利用对数的运算性质求出 bn,使用分项求和法和平方差公式计算. 【解答】解:(1)设{an}的公比为 q,则 ﹣ = ,即 1﹣ = , 解得 q=2 或 q=﹣1. 若 q=﹣1,则 S6=0,与 S6=63 矛盾,不符合题意.∴q=2, ∴S6= =63,∴a1=1. ∴an=2n﹣1. (2)∵bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项, ∴bn= (log2an+log2an+1)= (log22n﹣1+log22n)=n﹣ . ∴bn+1﹣bn=1. ∴{bn}是以 为首项,以 1 为公差的等差数列. 设{(﹣1)nbn2}的前 2n 项和为 Tn,则 Tn=(﹣b12+b22)+(﹣b32+b42)+…+(﹣b2n﹣12+b2n2) =b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n = = =2n2. 【点评】本题考查了等差数列,等比数列的性质,分项求和的应用,属于中档 题.   19.(14 分)设椭圆 + =1(a> )的右焦点为 F,右顶点为 A,已知 + = ,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于 点 M,与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率. 【分析】(1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = , 转化为关于 a 的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求; (2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2),(k≠0),联立直线方程和椭圆方程, 化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 B 的坐标,再写出 MH 所 在 直 线 方 程 , 求 出 H 的 坐 标 , 由 BF ⊥ HF , 得 ,整理得到 M 的坐标与 k 的关系,由∠MOA= ∠MAO,得到 x0=1,转化为关于 k 的等式求得 k 的值. 【解答】解:(1)由 + = , 得 + = , 即 = , ∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得 a=2. ∴椭圆方程为 ; (2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2),(k≠0), 设 B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)), ∵∠MOA=∠MAO, ∴x0=1, 再设 H(0,yH), 联立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0. △=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0. 由根与系数的关系得 , ∴ , , MH 所在直线方程为 y﹣k(x0﹣2)=﹣ (x﹣x0), 令 x=0,得 yH=(k+ )x0﹣2k, ∵BF⊥HF, ∴ , 即 1﹣x1+y1yH=1﹣ [(k+ )x0﹣2k]=0, 整理得: =1,即 8k2=3. ∴k=﹣ 或 k= . 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,体现了“整 体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题.   20.(14 分)设函数 f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=0; (3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 不小于 . 【分析】(1)求出 f(x)的导数,讨论 a≤0 时 f′(x)≥0,f(x)在 R 上递增; 当 a>0 时,由导数大于 0,可得增区间;导数小于 0,可得减区间; (2)由条件判断出 a>0,且 x0≠0,由 f′(x0)=0 求出 x0,分别代入解析式化简 f(x0),f(﹣2x0),化简整理后可得证; (3)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,根据极值点与区间的关系对 a 分 三种情况讨论,运用 f(x)单调性和前两问的结论,求出 g(x)在区间上的取 值范围,利用 a 的范围化简整理后求出 M,再利用不等式的性质证明结论成 立. 【解答】解:(1)若 f(x)=x3﹣ax﹣b,则 f′(x)=3x2﹣a, 分两种情况讨论: ①、当 a≤0 时,有 f′(x)=3x2﹣a≥0 恒成立, 此时 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞), ②、当 a>0 时,令 f′(x)=3x2﹣a=0,解得 x= 或 x= , 当 x> 或 x<﹣ 时,f′(x)=3x2﹣a>0,f(x)为增函数, 当﹣ <x< 时,f′(x)=3x2﹣a<0,f(x)为减函数, 故 f(x)的增区间为(﹣∞,﹣ ),( ,+∞),减区间为(﹣ , ); (2)若 f(x)存在极值点 x0,则必有 a>0,且 x0≠0, 由题意可得,f′(x)=3x2﹣a,则 x02= , 进而 f(x0)=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b, 又 f(﹣2x0)=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f(x0), 由题意及(Ⅰ)可得:存在唯一的实数 x1,满足 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0, 则有 x1=﹣2x0,故有 x1+2x0=0; (Ⅲ)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,max{x,y}表示 x、y 两个数的 最大值, 下面分三种情况讨论: ①当 a≥3 时,﹣ ≤﹣1<1≤ , 由(I)知 f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(1),f(﹣1)], 因此 M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|} =max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}= , 所以 M=a﹣1+|b|≥2 ②当 a<3 时, , 由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)≥ =f( ),f(1)≤ = , 所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f( ),f(﹣ )], 因此 M=max{|f( )|,|f(﹣ )|}=max{| |,| |} =max{| |,| |}= , ③当 0<a< 时, , 由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)< =f( ),f(1)> = , 所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(﹣1),f(1)], 因此 M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|} =max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|> , 综上所述,当 a>0 时,g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于 . 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和最值,不等式的证明,注意运用分 类讨论的思想方法和转化思想,考查分析法在证明中的应用,以及化简整理、运 算能力,属于难题.