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- 2021-06-16 发布
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2016 年天津市高考数学试卷(文科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的
1.(5 分)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=( )
A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
2.(5 分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则
甲不输的概率为( )
A. B. C. D.
3.(5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的
正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )
A. B. C. D.
4.(5 分)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一
条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( )
A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
5.(5 分)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.(5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递
增,若实数 a 满足 f(2|a﹣1|)>f(﹣ ),则 a 的取值范围是( )
A.(﹣∞, )B.(﹣∞, )∪( ,+∞) C.( , ) D.( ,+∞)
7.(5 分)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中
点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 • 的值为( )
A.﹣ B. C. D.
8.(5 分)已知函数 f(x)=sin2 + sinωx﹣ (ω>0),x∈R,若 f(x)在区
间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是( )
A.(0, ] B.(0, ]∪[ ,1) C.(0, ] D.(0, ]∪[ , ]
二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分
9.(5 分)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 .
10.(5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)
的值为 .
11.(5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值
为 .
12.(5 分)已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上,点(0, )圆 C 上,且圆心到直
线 2x﹣y=0 的距离为 ,则圆 C 的方程为 .
13.(5 分)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2,BD=ED,
则线段 CE 的长为 .
14.(5 分)已知函数 f(x)= (a>0,且 a≠1)在 R 上
单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取
值范围是 .
三、解答题:本大题共 6 小题,80 分
15.(13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B=
bsinA.
(1)求 B;
(2)已知 cosA= ,求 sinC 的值.
16.(13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料,
生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
肥料 原料 A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、
乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种
肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮
数.
(Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此
最大利润.
17.(13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF∥
AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点.
(1)求证:FG∥平面 BED;
(2)求证:平面 BED⊥平面 AED;
(3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.
18.(13 分)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 ﹣ = ,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的 n∈N *,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(﹣1) nb
}的前 2n 项和.
19.(14 分)设椭圆 + =1(a> )的右焦点为 F,右顶点为 A,已知
+ = ,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于
点 M,与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率.
20.(14 分)设函数 f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R.
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=0;
(3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值
不小于 .
2016 年天津市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的
1.(5 分)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=( )
A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
【分析】根据题意,将集合 B 用列举法表示出来,可得 B={1,3,5},由交集的
定义计算可得答案.
【解答】解:根据题意,集合 A={1,2,3},而 B={y|y=2x﹣1,x∈A},
则 B={1,3,5},
则 A∩B={1,3},
故选:A.
【点评】本题考查集合的运算,注意集合 B 的表示方法.
2.(5 分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则
甲不输的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出.
【解答】解:∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件.
∴根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率 P= + = .
故选:A.
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式,关键是判断出事件的关系,
然后选择合适的概率公式,属于基础题.
3.(5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的
正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )
A. B. C. D.
【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图,找出所切棱锥的位置,得出
答案.
【解答】解:由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D﹣AD1C,
棱 CD1 在左侧面的投影为 BA1,
故选:B.
【点评】本题考查了棱锥,棱柱的结构特征,三视图,考查空间想象能力,属于
基础题.
4.(5 分)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一
条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( )
A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
【分析】利用双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条
渐近线与直线 2x+y=0 垂直,求出几何量 a,b,c,即可求出双曲线的方程.
【解答】解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,
∴c= ,
∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,
∴ = ,
∴a=2b,
∵c2=a2+b2,
∴a=2,b=1,
∴双曲线的方程为 =1.
故选:A.
【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查待定系数法的运用,确定双曲线的
几何量是关键.
5.(5 分)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】直接根据必要性和充分判断即可.
【解答】解:设 x>0,y∈R,当 x>0,y=﹣1 时,满足 x>y 但不满足 x>|y|,
故由 x>0,y∈R,则“x>y”推不出“x>|y|”,
而“x>|y|”⇒“x>y”,
故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件,
故选:C.
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能
力,属于基础题.
6.(5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递
增,若实数 a 满足 f(2|a﹣1|)>f(﹣ ),则 a 的取值范围是( )
A.(﹣∞, )B.(﹣∞, )∪( ,+∞) C.( , ) D.( ,+∞)
【分析】根据函数的对称性可知 f(x)在(0,+∞)递减,故只需令 2|a﹣1|<
即可.
【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递
增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵2|a﹣1|>0,f(﹣ )=f( ),
∴2|a﹣1|< =2 .
∴|a﹣1| ,
解得 .
故选:C.
【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性的性质,属于中档题.
7.(5 分)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中
点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 • 的值为( )
A.﹣ B. C. D.
【分析】由题意画出图形,把 、 都用 表示,然后代入数量积公式得
答案.
【解答】解:如图,
∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点,且 DE=2EF,
∴ • = =
= =
= = =
= .
故选:C.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中
档题.
8.(5 分)已知函数 f(x)=sin2 + sinωx﹣ (ω>0),x∈R,若 f(x)在区
间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是( )
A.(0, ] B.(0, ]∪[ ,1) C.(0, ] D.(0, ]∪[ , ]
【分析】函数 f(x)= ,由 f(x)=0,可得 =0,解
得 x= ∉(π,2π),因此 ω∉ ∪ ∪ ∪…=
∪ ,即可得出.
【 解 答 】 解 : 函 数 f ( x ) = + sinωx﹣ = + sinωx =
,
由 f(x)=0,可得 =0,
解得 x= ∉(π,2π),
∴ω∉ ∪ ∪ ∪…= ∪ ,
∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,
∴ω∈ ∪ .
故选:D.
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法,考查了推理能力与
计算能力,属于中档题.
二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分
9.(5 分)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 1 .
【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:由(1+i)z=2,
得 ,
∴z 的实部为 1.
故答案为:1.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础
题.
10.(5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)
的值为 3 .
【分析】先求导,再带值计算.
【解答】解:∵f(x)=(2x+1)ex,
∴f′(x)=2ex+(2x+1)ex,
∴f′(0)=2e0+(2×0+1)e0=2+1=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题.
11 .(5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为
4 .
【分析】根据循环结构,结合循环的条件,求出最后输出 S 的值.
【解答】解:第一次循环:S=8,n=2;
第二次循环:S=2,n=3;
第三次循环:S=4,n=4,
结束循环,输出 S=4,
故答案为:4.
【点评】本题主要考查程序框图,循环结构,注意循环的条件,属于基础题.
12.(5 分)已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上,点(0, )圆 C 上,且圆心到直
线 2x﹣y=0 的距离为 ,则圆 C 的方程为 (x﹣2)2+y2=9 .
【分析】由题意设出圆的方程,把点 M 的坐标代入圆的方程,结合圆心到直线
的距离列式求解.
【解答】解:由题意设圆的方程为(x﹣a)2+y2=r2(a>0),
由点 M(0, )在圆上,且圆心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ,
得 ,解得 a=2,r=3.
∴圆 C 的方程为:(x﹣2)2+y2=9.
故答案为:(x﹣2)2+y2=9.
【点评】本题考查圆的标准方程,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档
题.
13.(5 分)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2,BD=ED,
则线段 CE 的长为 .
【分析】由 BD=ED,可得△BDE 为等腰三角形,过 D 作 DH⊥AB 于 H,由相交弦
定理求得 DH,在 Rt△DHE 中求出 DE,再由相交弦定理求得 CE.
【解答】解:如图,
过 D 作 DH⊥AB 于 H,
∵BE=2AE=2,BD=ED,
∴BH=HE=1,则 AH=2,BH=1,
∴DH2=AH•BH=2,则 DH= ,
在 Rt△DHE 中,则 ,
由相交弦定理可得:CE•DE=AE•EB,
∴ .
故答案为: .
【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查相交弦定理的应用,是中档题.
14.(5 分)已知函数 f(x)= (a>0,且 a≠1)在 R 上
单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取
值范围是 [ , ) .
【分析】由减函数可知 f(x)在两段上均为减函数,且在第一段的最小值大于或
等于第二段上的最大值,作出|f(x)|和 y=2﹣ 的图象,根据交点个数判断 3a
与 2 的大小关系,列出不等式组解出.
【解答】解:∵f(x)是 R 上的单调递减函数,
∴y=x2+(4a﹣3)x+3a 在(﹣∞.,0)上单调递减,y=log a(x+1)+1 在(0,+
∞)上单调递减,
且 f(x)在(﹣∞,0)上的最小值大于或等于 f(0).
∴ ,解得 ≤a≤ .
作出 y=|f(x)|和 y=2﹣ 的函数草图如图所示:
由图象可知|f(x)|=2﹣ 在[0,+∞)上有且只有一解,
∵|f(x)|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解,
∴x2+(4a﹣3)x+3a=2﹣ 在(﹣∞,0)上只有 1 解,
即 x2+(4a﹣ )x+3a﹣2=0 在(﹣∞,0)上只有 1 解,
∴ 或 ,
解得 a= 或 a< ,
又 ≤a≤ ,∴ .
故答案为[ , ).
【点评】本题考查了分段函数的单调性,函数零点的个数判断,结合函数函数图
象判断端点值的大小是关键,属于中档题.
三、解答题:本大题共 6 小题,80 分
15.(13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin2B=
bsinA.
(1)求 B;
(2)已知 cosA= ,求 sinC 的值.
【分析】(1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB;
(2)求出 sinA,利用两角和的正弦函数公式计算.
【解答】解:(1)∵asin2B= bsinA,
∴2sinAsinBcosB= sinBsinA,
∴cosB= ,∴B= .
(2)∵cosA= ,∴sinA= ,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= = .
【点评】本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题.
16.(13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料,
生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
肥料 原料 A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、
乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种
肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮
数.
(Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此
最大利润.
【分析】(Ⅰ)设出变量,建立不等式关系,即可作出可行域.
(Ⅱ)设出目标函数,利用平移直线法进行求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)由已知 x,y 满足不等式 ,则不等式对应的平
面区域为,
(Ⅱ)设年利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y,即 y=﹣ x+ ,
平移直线 y=﹣ x+ ,由图象得当直线经过点 M 时,直线的截距最大,此时 z 最
大,
由 得 ,即 M(20,24),
此时 z=40+72=112,
即分别生产甲肥料 20 车皮,乙肥料 24 车皮,能够产生最大的利润,最大利润为
112 万元.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件建立约束条件,作出可行域,
利用平移法是解决本题的关键.
17.(13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF∥
AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G 为 BC 的中点.
(1)求证:FG∥平面 BED;
(2)求证:平面 BED⊥平面 AED;
(3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.
【分析】(1)利用中位线定理,和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形,再
根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据余弦定理求出 BD= ,继而得到 BD⊥AD,再根据面面垂直的判定定
理即可证明;
(3)先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的
角,再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案.
【解答】证明:(1)BD 的中点为 O,连接 OE,OG,在△BCD 中,
∵G 是 BC 的中点,
∴OG∥DC,且 OG= DC=1,
又∵EF∥AB,AB∥DC,
∴EF∥OG,且 EF=OG,
即四边形 OGEF 是平行四边形,
∴FG∥OE,
∵FG⊄平面 BED,OE⊂平面 BED,
∴FG∥平面 BED;
(2)证明:在△ABD 中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,
由余弦定理可得 BD= ,仅而∠ADB=90°,
即 BD⊥AD,
又∵平面 AED⊥平面 ABCD,
BD⊂平面 ABCD,平面 AED∩平面 ABCD=AD,
∴BD⊥平面 AED,
∵BD⊂平面 BED,
∴平面 BED⊥平面 AED.
(Ⅲ)∵EF∥AB,
∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角,
过点 A 作 AH⊥DE 于点 H,连接 BH,
又平面 BED∩平面 AED=ED,
由(2)知 AH⊥平面 BED,
∴直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH,
在△ADE,AD=1,DE=3,AE= ,由余弦定理得 cos∠ADE= ,
∴sin∠ADE= ,
∴AH=AD• ,
在 Rt△AHB 中,sin∠ABH= = ,
∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值
【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直,平面与平面的垂直,直线与平面
所成的角,考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于中档题.
18.(13 分)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 ﹣ = ,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的 n∈N *,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(﹣1)
nb }的前 2n 项和.
【分析】(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q,利用求和公式解出
a1,得出通项公式;
(2)利用对数的运算性质求出 bn,使用分项求和法和平方差公式计算.
【解答】解:(1)设{an}的公比为 q,则 ﹣ = ,即 1﹣ = ,
解得 q=2 或 q=﹣1.
若 q=﹣1,则 S6=0,与 S6=63 矛盾,不符合题意.∴q=2,
∴S6= =63,∴a1=1.
∴an=2n﹣1.
(2)∵bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,
∴bn= (log2an+log2an+1)= (log22n﹣1+log22n)=n﹣ .
∴bn+1﹣bn=1.
∴{bn}是以 为首项,以 1 为公差的等差数列.
设{(﹣1)nbn2}的前 2n 项和为 Tn,则
Tn=(﹣b12+b22)+(﹣b32+b42)+…+(﹣b2n﹣12+b2n2)
=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n
= =
=2n2.
【点评】本题考查了等差数列,等比数列的性质,分项求和的应用,属于中档
题.
19.(14 分)设椭圆 + =1(a> )的右焦点为 F,右顶点为 A,已知
+ = ,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于
点 M,与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率.
【分析】(1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ,
转化为关于 a 的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求;
(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2),(k≠0),联立直线方程和椭圆方程,
化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 B 的坐标,再写出 MH 所
在 直 线 方 程 , 求 出 H 的 坐 标 , 由 BF ⊥ HF , 得
,整理得到 M 的坐标与 k 的关系,由∠MOA=
∠MAO,得到 x0=1,转化为关于 k 的等式求得 k 的值.
【解答】解:(1)由 + = ,
得 + = ,
即 = ,
∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得 a=2.
∴椭圆方程为 ;
(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2),(k≠0),
设 B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)),
∵∠MOA=∠MAO,
∴x0=1,
再设 H(0,yH),
联立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.
△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0.
由根与系数的关系得 ,
∴ , ,
MH 所在直线方程为 y﹣k(x0﹣2)=﹣ (x﹣x0),
令 x=0,得 yH=(k+ )x0﹣2k,
∵BF⊥HF,
∴ ,
即 1﹣x1+y1yH=1﹣ [(k+ )x0﹣2k]=0,
整理得: =1,即 8k2=3.
∴k=﹣ 或 k= .
【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,体现了“整
体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题.
20.(14 分)设函数 f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R.
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=0;
(3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值
不小于 .
【分析】(1)求出 f(x)的导数,讨论 a≤0 时 f′(x)≥0,f(x)在 R 上递增;
当 a>0 时,由导数大于 0,可得增区间;导数小于 0,可得减区间;
(2)由条件判断出 a>0,且 x0≠0,由 f′(x0)=0 求出 x0,分别代入解析式化简
f(x0),f(﹣2x0),化简整理后可得证;
(3)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,根据极值点与区间的关系对 a 分
三种情况讨论,运用 f(x)单调性和前两问的结论,求出 g(x)在区间上的取
值范围,利用 a 的范围化简整理后求出 M,再利用不等式的性质证明结论成
立.
【解答】解:(1)若 f(x)=x3﹣ax﹣b,则 f′(x)=3x2﹣a,
分两种情况讨论:
①、当 a≤0 时,有 f′(x)=3x2﹣a≥0 恒成立,
此时 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),
②、当 a>0 时,令 f′(x)=3x2﹣a=0,解得 x= 或 x= ,
当 x> 或 x<﹣ 时,f′(x)=3x2﹣a>0,f(x)为增函数,
当﹣ <x< 时,f′(x)=3x2﹣a<0,f(x)为减函数,
故 f(x)的增区间为(﹣∞,﹣ ),( ,+∞),减区间为(﹣ ,
);
(2)若 f(x)存在极值点 x0,则必有 a>0,且 x0≠0,
由题意可得,f′(x)=3x2﹣a,则 x02= ,
进而 f(x0)=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b,
又 f(﹣2x0)=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f(x0),
由题意及(Ⅰ)可得:存在唯一的实数 x1,满足 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,
则有 x1=﹣2x0,故有 x1+2x0=0;
(Ⅲ)设 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 M,max{x,y}表示 x、y 两个数的
最大值,
下面分三种情况讨论:
①当 a≥3 时,﹣ ≤﹣1<1≤ ,
由(I)知 f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减,
所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(1),f(﹣1)],
因此 M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|}
=max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}= ,
所以 M=a﹣1+|b|≥2
②当 a<3 时, ,
由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)≥ =f( ),f(1)≤ = ,
所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f( ),f(﹣ )],
因此 M=max{|f( )|,|f(﹣ )|}=max{| |,| |}
=max{| |,| |}= ,
③当 0<a< 时, ,
由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)< =f( ),f(1)> = ,
所以 f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(﹣1),f(1)],
因此 M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|}
=max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|> ,
综上所述,当 a>0 时,g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于 .
【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和最值,不等式的证明,注意运用分
类讨论的思想方法和转化思想,考查分析法在证明中的应用,以及化简整理、运
算能力,属于难题.
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