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- 2021-06-16 发布
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第
2
课时 指数函数的图象和性质的应用
关键能力
·
合作学习
类型一 比较数的大小
(
逻辑推理、数学运算
)
【
题组训练
】
1.
已知
a=0.8
0.7
,b=0.8
0.9
,c=1.2
0.8
,
则
a,b,c
的大小关系是
(
)
A.b>a>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>b>c
2.(2020·
永州高一检测
)
已知
a=0.4
0.3
,b=0.3
0.3
,c=0.3
0.4
,
则
(
)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
3.
如果
<1,
那么
(
)
A.a
a
0.8
0.7
>0.8
0.9
.
因为指数函数
y=1.2
x
在
R
上是增函数
,
所以
1.2
0.8
>1.
综上可得
c>a>b.
2.
选
B.0.3
0.3
>0.3
0.4
,
即
b>c,
而
>1,
即
a>b,
所以
a>b>c.
3.
选
C.
函数
f(x)=
在
R
上是减函数
,
且
<1,
所以
1>b>a>0,
所以
a
b
0,
且
a≠1)
的图象恒过点
(-1,4),
则
m+n= (
)
A.3
B.1
C.-1
D.-2
2.
要使
g(x)=3
x+1
+t
的图象不经过第二象限
,
则
t
的取值范围为
(
)
A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3
【
思路导引
】
1.
利用指数函数
y=a
x
过点
(0,1)
构造关系式求值
;
2.
根据指数函数
y=3
x
过定点
(0,1)
及其平移性质判断求解
.
【
解析
】
1.
选
C.
因为函数的图象恒过点
(-1,4),
所以
m-1=0
且
2
·
a
m-1
-n=4,
解得
m=1,n=-2
所以
m+n=-1.
2.
选
C.
指数函数
y=3
x
过定点
(0,1),
函数
g(x)=3
x+1
+t
过定点
(0,3+t)
且为增函数
,
要使
g(x)=3
x+1
+t
的图象不经过第二象限
,
只须函数
g(x)=3
x+1
+t
与
y
轴的交点的纵坐标不大于
0
即可
,
如图所示
,
即图象不过第二象限
,
则
3+t≤0,
所以
t≤-3,
则
t
的取值范围为
:t≤-3.
【
解题策略
】
与指数函数相关的图象问题
1.
定点问题
:
令函数解析式中的指数为
0,
即可求出横坐标
,
再求纵坐标即可
.
2.
平移问题
:
对于横坐标
x
满足“加左减右”
.
3.
底数大小
:
对于
y= ,y= ,y= ,y= ,
如图
,01)
的图象的大致形状是
(
)
【
解析
】
选
C.f(x)
是分段函数
,
根据
x
的正负写出分段函数的解析式
,
f(x)=
所以
x>0
时
,
图象与
y=a
x
在第一象限的图象一样
,x<0
时
,
图象与
y=a
x
的图象关于
x
轴对称
.
【
拓展延伸
】
函数
y=a
|x|
(a>0,
且
a≠1)
的图象与性质
【
拓展训练
】
函数
y=a
|x
－
a|
(a>0,
且
a≠1)
在 上单调递减
,
则实数
a
的取值范围是
.
【
解析
】
因为函数在 上单调递减
,
所以 所以
00,
且
a≠1)
在
(1,3)
上单调递增
,
则关于
x
的不等式
a
x-1
>1
的解集为
(
)
A.{x|x>1} B.{x|x<1} C.{x|x>0} D.{x|x<0}
【
解析
】
选
A.y=2x
2
-3x+1
的对称轴是
x= ,
开口向上
,
故
y
在
(1,3)
上单调递增
,
而
f(x)
在
(1,3)
上单调递增
,
根据复合函数同增异减的原则
,a>1,
则
a
x-1
>1=a
0
,
故
x-1>0,
解得
x>1.
2.
若函数
f(x)=a
|2x-4|
(a>0,a≠1),
满足
f(1)= ,
则
f(x)
的单调递减区间
是
(
)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
【
解析
】
选
B.
由
f(1)= ,
得
a
2
= ,
于是
a= (
负值舍去
),
因此
f(x)=
因为
g(x)=|2x-4|
在
[2,+∞)
上单调递增
,
所以
f(x)
的单调递减区间是
[2,+∞).
课堂检测
·
素养达标
1.
函数
y=10
x
-1
的图象大致是
(
)
【
解析
】
选
C.
函数
y=10
x
-1
的图象可以看作函数
y′=10
x
的图象向下平移
1
个单位得到的
,
结合指数函数的图象与性质
,
即可得出函数的大致图象是
C
选项
.
2.
函数
f(x)=3-a
x+1
(a>0
且
a≠1)
的图象恒过定点
(
)
A.(-1,2) B.(1,2)
C.(-1,1) D.(0,2)
【
解析
】
选
A.
依题意
,
由
x+1=0
得
,x=-1,
将
x=-1
代入
f(x)=3-a
x+1
得
,f(x)=3-a
0
=2,
所以函数
f(x)=3-a
x+1
(a>0
且
a≠1)
的图象恒过定点
(-1,2).
3.
已知函数
f(x)=a
x
(a>0
且
a≠1)
在
(0,2)
内的值域是
(1,a
2
),
则函数
y=f(x)
的图象大致是
(
)
【
解析
】
选
B.
函数在
(0,2)
内的值域是
(1,a
2
),
则由于指数函数是单调函数
,
则有
a>1,
由底数大于
1
的指数函数的图象是上升的
,
且在
x
轴上面
,
可知
B
正确
.
4.
函数 的单调减区间是
.
【
解析
】
因为
=
所以函数的单调减区间为
(
－∞
,-1
).
答案
:
(
－∞
,-1
)
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