2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第6节空间向量及空间位置关系课件新人教A版 48页

第 6 节　空间向量及空间位置关系 考试要求　 1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直； 4. 理解直线的方向向量及平面的法向量； 5. 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 6. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 . 知 识 梳 理 1. 空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有 _______ 和 _______ 的量 相等向量 方向 _______ 且模 _______ 的向量 相反向量 方向 _______ 且模 _______ 的向量 共线向量 ( 或平行向量 ) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 _______ 或 ______ 的向量 共面向量 平行于 ______________ 的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 同一个平面 2. 空间向量的有关定理 (1) 共线向量定理：对空间任意两个向量 a ， b ( b ≠ 0 ) ， a ∥ b 的充要条件是存在实数 λ ，使得 ____________ . (2) 共面向量定理：如果两个向量 a ， b 不共线，那么向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是存在 _______ 的有序实数对 ( x ， y ) ，使 p ＝ ____________ . (3) 空间向量基本定理：如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ， z } ，使得 p ＝ ______________ ，其中， { a ， b ， c } 叫做空间的一个基底 . a ＝ λ b 唯一 x a ＋ y b x a ＋ y b ＋ z c 3. 空间向量的数量积及运算律 [0 ， π] 互相垂直 4. 空间向量的坐标表示及其应用 设 a ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ).   向量表示 坐标表示 数量积 a·b _______________________ 共线 a ＝ λ b ( b ≠ 0 ， λ ∈ R ) _______________________ 垂直 a·b ＝ 0( a ≠ 0 ， b ≠ 0 ) _______________________ 模 | a | _______________________ 夹角 〈 a ， b 〉 ( a ≠ 0 ， b ≠ 0 ) a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 a 1 ＝ λb 1 ， a 2 ＝ λb 2 ， a 3 ＝ λb 3 a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 ＝ 0 5. 直线的方向向量和平面的法向量 (1) 直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l ____________ ，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量 . (2) 平面的法向量：直线 l ⊥ α ，取直线 l 的方向向量 a ，则向量 a 叫做平面 α 的法向量 . 平行或重合 6. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l 1 ， l 2 的方向向量分别为 n 1 ， n 2 l 1 ∥ l 2 n 1 ∥ n 2 ⇔ n 1 ＝ λ n 2 l 1 ⊥ l 2 n 1 ⊥ n 2 ⇔ ____________ 直线 l 的方向向量为 n ，平面 α 的法向量为 m l ∥ α n ⊥ m ⇔ ____________ l ⊥ α n ∥ m ⇔ n ＝ λ m 平面 α ， β 的法向量分别为 n ， m α ∥ β n ∥ m ⇔ n ＝ λ m α ⊥ β n ⊥ m ⇔ ____________ n 1 · n 2 ＝ 0 n · m ＝ 0 n · m ＝ 0 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 直线的方向向量是唯一确定的 .( 　　 ) (2) 若直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量平行，则 a ∥ α .( 　　 ) (3) 若 { a ， b ， c } 是空间的一个基底，则 a ， b ， c 中至多有一个零向量 .( 　　 ) (4) 若 a · b <0 ，则〈 a ， b 〉是钝角 .( 　　 ) 解析　 (1) 直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2) a ⊥ α ； (3) 若 a ， b ， c 中有一个是 0 ，则 a ， b ， c 共面，不能构成空间一个基底； (4) 若〈 a ， b 〉＝ π ，则 a · b <0 ，故不正确 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 老教材选修 2 － 1P104 练习 2 改编 ) 已知平面 α ， β 的法向量分别为 n 1 ＝ (2 ， 3 ， 5) ， n 2 ＝ ( － 3 ， 1 ，－ 4) ，则 ( 　　 ) A. α ∥ β B. α ⊥ β C. α ， β 相交但不垂直 D. 以上均不对 解析　 ∵ n 1 ≠ λ n 2 ，且 n 1 · n 2 ＝－ 23 ≠ 0 ， ∴ α ， β 相交但不垂直 . 答案　 C 3. ( 老教材选修 2 － 1P118A 组 T6 改编 ) 已知 a ＝ (cos θ ， 1 ， sin θ ) ， b ＝ (sin θ ， 1 ， cos θ ) ，则向量 a ＋ b 与 a － b 的夹角是 ________. 解析　 a ＋ b ＝ (cos θ ＋ sin θ ， 2 ， cos θ ＋ sin θ ) ， a － b ＝ (cos θ － sin θ ， 0 ， sin θ － cos θ ) ， ∴ ( a ＋ b )·( a － b ) ＝ (cos 2 θ － sin 2 θ ) ＋ (sin 2 θ － cos 2 θ ) ＝ 0 ， 4. (2020· 成都七中周测 ) 已知 A (1 ， 0 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 0) ， C (0 ， 0 ， 1) ，则下列向量是平面 ABC 法向量的是 ( 　　 ) 答案　 C 5. (2018· 合肥月考 ) 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 是底面正方形 ABCD 的中心， M 是 D 1 D 的中点， N 是 A 1 B 1 的中点，则直线 ON ， AM 的位置关系是 ( 　　 ) A. 平行 B. 相交 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 答案　 C 考点一　空间向量的数量积及其应用 典例迁移 【例 1 】 ( 经典母题 ) 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1 ，点 E ， F ， G 分别是 AB ， AD ， CD 的中点，计算： 【迁移 1 】 本例的条件不变，求证： EG ⊥ AB . 【迁移 2 】 本例的条件不变，求 EG 的长 . 【迁移 3 】 本例的条件不变，求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值 . 【训练 1 】 如图所示，四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1 ，且两两夹角为 60°. (1) 求 AC 1 的长； (2) 求证： AC 1 ⊥ BD ； (3) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值 . 考点二　利用向量证明平行问题 【例 2 】 ( 一题多解 ) 如图所示，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， ABCD 为正方形， △ PAD 是直角三角形，且 PA ＝ AD ＝ 2 ， E ， F ， G 分别是线段 PA ， PD ， CD 的中点 . 求证： PB ∥ 平面 EFG . 证明　 ∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且 ABCD 为正方形 ， ∴ AB ， AP ， AD 两两垂直 . 以 A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系 A xyz ，则 A (0 ， 0 ， 0) ， B (2 ， 0 ， 0) ， C (2 ， 2 ， 0) ， D (0 ， 2 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 2) ， E (0 ， 0 ， 1) ， F (0 ， 1 ， 1) ， G (1 ， 2 ， 0). 即 (2 ， 0 ，－ 2) ＝ s (0 ，－ 1 ， 0) ＋ t (1 ， 1 ，－ 1) ， 规律方法　 1. 恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行的关键 . 2. 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可 . 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 . 证明： PQ ∥ 平面 BCD . 证明　法一　 如图 ， 取 BD 的中点 O ， 以 O 为原点 ， OD ， OP 所在射线分别为 y ， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O － xyz . 法二　 在线段 CD 上取点 F ，使得 DF ＝ 3 FC ，连接 OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点 A ， B ， C 的坐标，设点 C 坐标为 ( x 0 ， y 0 ， 0). 考点三　利用向量证明垂直问题 【例 3 】 如图所示，已知四棱锥 P － ABCD 的底面是直角梯形， ∠ ABC ＝ ∠ BCD ＝ 90° ， AB ＝ BC ＝ PB ＝ PC ＝ 2 CD ，侧面 PBC ⊥ 底面 ABCD . 证明： (1) PA ⊥ BD ； (2) 平面 PAD ⊥ 平面 PAB . 证明　 (1) 取 BC 的中点 O ， 连接 PO ， △ PBC 为等边三角形，即 PO ⊥ BC ， ∵ 平面 PBC ⊥ 底面 ABCD ， BC 为交线， PO ⊂ 平面 PBC ， ∴ PO ⊥ 底面 ABCD . 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 . 又 ∵ PA ∩ PB ＝ P ， PA ， PB ⊂ 平面 PAB ， ∴ DM ⊥ 平面 PAB . ∵ DM ⊂ 平面 PAD ， ∴ 平面 PAD ⊥ 平面 PAB . 规律方法　 证明垂直问题的方法 (1) 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算 . 其中灵活建系是解题的关键 . (2) 其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直： ① 证明两平面的法向量互相垂直； ② 利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 . (1) 求证： AE ∥ 平面 BCF ； (2) 求证： CF ⊥ 平面 AEF . 证明　 取 BC 中点 H ， 连接 OH ， 则 OH ∥ BD ， 又四边形 ABCD 为正方形， ∴ AC ⊥ BD ， ∴ OH ⊥ AC ， 考点四　与线、面位置关系有关的探索性问题 【例 4 】 如图，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，已知 BC ＝ 4 ， AB ＝ AD ＝ 2. (1) 证明　 ∵ 平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ，平面 ADEF ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， AF ⊥ AD ， AF ⊂ 平面 ADEF ， ∴ AF ⊥ 平面 ABCD . ∵ AC ⊂ 平面 ABCD ， ∴ AF ⊥ AC . (2) 解　 存在 . 由 (1) 知， AF ， AB ， AC 两两垂直 . 假设在线段 BE 上存在一点 P 满足题意，则易知点 P 不与点 B ， E 重合， 【训练 4 】 已知某几何体的直观图和三视图如图，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 . M 为 AB 的中点，在线段 CB 上是否存在一点 P ，使得 MP ∥ 平面 CNB 1 ？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明理由 . 解　 由几何体的三视图可知 AB ， BC ， BB 1 两两垂直， AN ＝ AB ＝ BC ＝ 4 ， BB 1 ＝ 8. 如图，分别以 AB ， BB 1 ， BC 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 B － xyz ， 则 A (4 ， 0 ， 0) ， B (0 ， 0 ， 0) ， C (0 ， 0 ， 4) ， N (4 ， 4 ， 0) ， B 1 (0 ， 8 ， 0) ， C 1 (0 ， 8 ， 4). 令 x ＝ 1 ，可得平面 CNB 1 的一个法向量为 n ＝ (1 ， 1 ， 2). 设 P (0 ， 0 ， a )(0 ≤ a ≤ 4).