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- 2021-06-16 发布
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第
4
讲 简单的三角恒等变换
课标要求
考情风向标
1.
能从两角差的余弦公式导出两角和
与差的正弦、余弦、正切公式,二倍
角的正弦、余弦、正切公式,了解它
们的内在联系
.
2.
能运用上述公式进行简单的恒等变
换
(
包括引导导出积化和差、和差化积、
半角公式,但不要求记忆
)
客观题要注意诱导公
式、同角关系式及齐次
式的应用,解答题要注
意三角变换与图象性质
的整合、三角变换与解
斜三角形的整合等
1.
转化思想
(1)
转化思想是三角变换的基本思想,包括角的变换、函数
名的变换、和积变换、次数变换等
.
三角函数公式中次数和角的关系:次降角升;次升角降
.
(2)
常用的升次公式有:
1
+
sin 2
α
=
(sin
α
+
cos
α
)
2
;
1
-
sin 2
α
=
(sin
α
-
cos
α
)
2
;
1
+
cos 2
α
=
2cos
2
α
;
1
-
cos 2
α
=
2sin
2
α
.
2.
三角函数公式的三大作用
(1)
三角函数式的化简
.
(2)
三角函数式的求值
.
(3)
三角函数式的证明
.
3.
求三角函数最值的常用方法
(1)
配方法
.(2)
化为一个角的三角函数
.(3)
数形结合法
.(4)
换
元法
.(5)
基本不等式法
.
4.
辅助角公式的应用
(2)
用辅助角公式变形三角函数式时:
①
遇两角和或差的三角函数,要先展开再重组;
②
遇高次时,要先降幂;
③
熟记以下常用结论:
B
C
3.(2017
年新课标
Ⅱ
)
函数
f
(
x
)
=
2cos
x
+
sin
x
的最大值为
________.
1
4.
(2016
年浙江
)
已知
2cos
2
x
+
sin 2
x
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
+
b
(
A
>0)
,
则
A
=_______,
b
=_______.
考点
1
三角函数式的化简与求值
考向
1
化简
答案:
1
(2)
(2018
年新课标
Ⅰ)
已知函数
f
(
x
)
=
2cos
2
x
-
sin
2
x
+
2
,则
(
)
A.
f
(
x
)
的最小正周期为
π
,最大值为
3
B.
f
(
x
)
的最小正周期为
π
,最大值为
4
C.
f
(
x
)
的最小正周期为
2π
,最大值为
3
D.
f
(
x
)
的最小正周期为
2π
,最大值为
4
答案:
B
考向
2
求值
答案:
A
【
规律方法
】
三角恒等变换要注意几个方面:
(1)
变角:将
复角变为单角,尽量化成同名函
数;
(2)
次数:化高次为低次,
化多项式为单项式,化
无理式为有理式;
(3)
正用、逆用、变形
用公式,在化简时,有公式就直接运用公式
.
化简的要求:
①
能求出值的应求出值;
②
尽量使三角函数种数最少;
③
尽量使项数最少;
④
尽量使分母不含三角函数;
⑤
尽量使被开方数不含三角函数
.
考点
2
辅助角公式的应用
【
规律方法
】
利用三角恒等变换把
f
(
x
)
化成
A
sin(
ωx
+
φ
)
的
形式,再求出其单调增区间,根据题意
子集
.
为该区
间的
(2)(2019
年浙江
)
设函数
f
(
x
)
=
sin
x
,
x
∈
R
.
①
已知
θ
∈[0,2π)
,函数
f
(
x
+
θ
)
是偶函数,求
θ
的值;
思维点拨:
①
由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定
θ
的值;
②
首先整理函数的解析式为
y
=
a
sin(
ωx
+
φ
)
+
b
的形式,然
后确定其值域即可
.
【
规律方法
】
本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、
三角函数的最小正周期和三角函数的最值,属于中档题
.
解本题
需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小
【
跟踪训练
】
答案:
1
2.
设当
x
=
θ
时,函数
f
(
x
)
=
sin
x
-
2cos
x
取得最大值,则
cos
θ
=
___________.
难点突破
⊙
三角不等式中的恒成立问题
【
规律方法
】
不等式恒成立问题,要想办法转化为求最大
值、最小值问题
.
而求三角函数在某区间的最值
(
范围
)
时,不要
只代两端点,要注意结合图象
.
【
跟踪训练
】
答案:
D
1.
化简要求:
(1)
能求值的要求出值;
(2)
使三角函数种数尽
量少;
(3)
使项数尽量少;
(4)
尽量使分母不含三角函数;
(5)
尽量
使被开方数不含三角函数
.
2.将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种:一是代
入法,二是代换法
.
最常用的代换就是三角代换
.
形如条件
x
2
+
y
2
=1,通常设
x
=cos
θ
,
y
=sin
θ
.在解析几何中常用三角代换,
将二元转化为一元问题.向量、解析几何、实际应用等中的旋转
问题也常引入
角变量,转化为三角函数问题
.利用三角函数的有
界性,可以求函数的定义域、值域等.
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