高考数学专题复习练习：高考大题专项练四 7页

高考大题专项练四　高考中的立体几何 ‎　高考大题专项练第8页　 ‎ ‎1.‎ 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎(1)证明:PB∥平面AEC;‎ ‎(2)设AP=1,AD=‎3‎,三棱锥P-ABD的体积V=‎3‎‎4‎,求A到平面PBC的距离.‎ ‎(1)证明设BD与AC的交点为O,连接EO.‎ 因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点.‎ 又E为PD的中点,所以EO∥PB.‎ 又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎(2)解V=‎1‎‎6‎PA·AB·AD=‎3‎‎6‎AB,‎ 由V=‎3‎‎4‎,可得AB=‎3‎‎2‎.‎ 作AH⊥PB交PB于H,‎ 由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH.‎ 故AH⊥平面PBC.‎ 又AH=PA·ABPB‎=‎‎3‎‎13‎‎13‎.‎ 所以A到平面PBC的距离为‎3‎‎13‎‎13‎.〚导学号74920579〛‎ ‎2.‎ 如图,四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.‎ ‎(1)求证:PC⊥AD;‎ ‎(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;‎ ‎(3)求点D到平面PAM的距离.‎ ‎(1)证法一取AD中点O,连接OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,‎ 所以OC⊥AD,OP⊥AD.‎ 又OC∩OP=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,所以AD⊥平面POC.‎ 又PC⊂平面POC,所以PC⊥AD.‎ 证法二连接AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,‎ 又M为PC的中点,所以AM⊥PC,DM⊥PC.‎ 又AM∩DM=M,AM⊂平面AMD,DM⊂平面AMD,‎ 所以PC⊥平面AMD.‎ 又AD⊂平面AMD,所以PC⊥AD.‎ ‎(2)证明当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:‎ 取棱PB的中点Q,连接QM,QA,‎ 又M为PC的中点,所以QM∥BC,‎ 在菱形ABCD中AD∥BC,所以QM∥AD,‎ 所以A,Q,M,D四点共面.‎ ‎(3)解点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离,‎ 由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的体高.‎ 在Rt△POC中,PO=OC=‎3‎,PC=‎6‎,‎ 在△PAC中,PA=AC=2,PC=‎6‎,边PC上的高AM=PA‎2‎-PM‎2‎‎=‎‎10‎‎2‎,‎ 所以△PAC的面积S△PAC=‎1‎‎2‎PC·AM=‎1‎‎2‎‎×‎6‎×‎10‎‎2‎=‎‎15‎‎2‎,‎ 设点D到平面PAC的距离为h,‎ 由VD-PAC=VP-ACD,得‎1‎‎3‎S△PAC·h=‎1‎‎3‎S△ACD·PO,‎ 又S△ACD=‎3‎‎4‎×22=‎3‎,‎ 所以‎1‎‎3‎‎×‎‎15‎‎2‎·h=‎1‎‎3‎‎×‎3‎×‎‎3‎,‎ 解得h=‎2‎‎15‎‎5‎,‎ 所以点D到平面PAM的距离为‎2‎‎15‎‎5‎.〚导学号74920580〛‎ ‎3.‎ 如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点.‎ 求证:(1)DE=DA.‎ ‎(2)平面BDM⊥平面ECA.‎ 证明(1)取CE的中点F,连接DF.‎ ‎∵CE⊥平面ABC,∴CE⊥BC.‎ ‎∵BD∥CE,BD=‎1‎‎2‎CE=CF=FE,‎ ‎∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC.‎ 又BA=BC=DF,‎ ‎∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA.‎ ‎(2)取AC中点N,连接MN,NB,‎ ‎∵M是EA的中点,∴MN