高考数学专题复习练习：考点规范练20 9页

考点规范练20　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 ‎　考点规范练B册第12页　 ‎ 基础巩固 ‎1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T,且当x=2时,f(x)取得最大值,那么(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.T=2,θ=π‎2‎ B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=‎π‎2‎ 答案A 解析T=‎2ππ=2,当x=2时,由π×2+θ=π‎2‎+2kπ(k∈Z),得θ=-‎3π‎2‎+2kπ(k∈Z).又0<θ<2π,所以θ=π‎2‎.‎ ‎2.已知函数f(x)=sinπ‎3‎‎-x,则要得到g(x)=-cosπ‎3‎‎-x的图象,只需将函数y=f(x)的图象(　　)‎ A.向左平移‎2π‎3‎个单位 B.向右平移‎2π‎3‎个单位 C.向左平移π‎2‎个单位 D.向右平移π‎2‎个单位 答案C 解析y=-sinx-‎π‎3‎y=-cosx-‎π‎3‎=-cosπ‎3‎‎-x,故选C.‎ ‎3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)‎ A.5 B.6 C.8 D.10‎ 答案C 解析因为sinπ‎6‎x+φ∈[-1,1],‎ 所以函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k的最小值为k-3,最大值为k+3.‎ 由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.‎ 所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.‎ ‎4.(2016河南洛阳二模)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π‎8‎个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个可能取值为(　　)‎ A.‎3π‎4‎ B.π‎4‎ C.0 D.-‎π‎4‎ 答案B 解析由题意可知平移后的函数为y=sin‎2x+‎π‎8‎+φ=sin‎2x+π‎4‎+φ.‎ 由平移后的函数图象关于y轴对称,可得π‎4‎+φ=kπ+π‎2‎(k∈Z),即φ=kπ+π‎4‎(k∈Z),故选B.‎ ‎5.将函数y=3sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移π‎2‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递减 ‎ B.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递增 C.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递减 ‎ D.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递增 答案B 解析设平移后的函数为f(x),则f(x)=3sin‎2x-‎π‎2‎+‎π‎3‎=3sin‎2x+π‎3‎-π=-3sin‎2x+‎π‎3‎.‎ 令2kπ-π‎2‎≤2x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,解得f(x)的单调递减区间为kπ-‎5π‎12‎,kπ+‎π‎12‎,k∈Z,同理得单调递增区间为kπ+π‎12‎,kπ+‎‎7π‎12‎,k∈Z.从而可判断B正确.‎ ‎6.(2016山东滨州二模)若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为π‎6‎,则φ=(　　)‎ A.π‎6‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎5π‎12‎〚导学号74920463〛‎ 答案C 解析由函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)=2sin2(x-φ)的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为T‎2‎-φ.故T‎2‎-φ=π‎6‎,即φ=π‎3‎.‎ ‎7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则y=fx+‎π‎6‎取得最小值时x的集合为(　　)‎ A.‎xx=kπ-π‎6‎,k∈Z B.‎xx=kπ-π‎3‎,k∈Z C.‎xx=2kπ-π‎6‎,k∈Z D.xx=2kπ-π‎3‎,k∈Z〚导学号74920464〛‎ 答案B 解析根据所给图象,周期T=4×‎7π‎12‎‎-‎π‎3‎=π,故π=‎2πω,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图象经过‎7π‎12‎‎,0‎,代入有2×‎7π‎12‎+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<π‎2‎,得φ=-π‎6‎,故fx+‎π‎6‎=sin‎2x+‎π‎6‎,当2x+π‎6‎=-π‎2‎+2kπ(k∈Z),即x=-π‎3‎+kπ(k∈Z)时,y=fx+‎π‎6‎取得最小值.‎ ‎8.‎ ‎(2016河南信阳、三门峡一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,把f(x)的图象向左平移‎1‎‎2‎个单位后,得到函数g(x)的图象,则g‎5‎‎2‎=(　　)‎ A.-1 B.1 C.-‎3‎ D.‎3‎〚导学号74920465〛‎ 答案A 解析根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的图象,可得A=2,‎1‎‎4‎‎·‎2πω=‎5‎‎6‎-‎‎1‎‎3‎,求得ω=π.‎ 再根据五点法作图可得π·‎1‎‎3‎+φ=π‎2‎,求得φ=π‎6‎,‎ 故f(x)=2sinπx+‎π‎6‎.‎ 把f(x)的图象向左平移‎1‎‎2‎个单位后,得到函数g(x)=2sinπx+‎‎1‎‎2‎+‎π‎6‎=2cosπx+‎π‎6‎的图象,‎ 则g‎5‎‎2‎=2cos‎5π‎2‎‎+‎π‎6‎=2cos‎2π‎3‎=-1,故选A.‎ ‎9.(2016全国丙卷,文14)函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. ‎ 答案π‎3‎ 解析因为y=sin x-‎3‎cos x=2sinx-‎π‎3‎,所以函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移π‎3‎个单位长度得到.‎ ‎10.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=　　　　　. ‎ 答案π‎3‎ 解析函数f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=π‎2‎,则x=π‎4‎.‎ x=π‎8‎关于x=π‎4‎对称的直线为x=‎3π‎8‎,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=‎3π‎8‎的点平移到x=‎17π‎24‎,则φ=‎17π‎24‎‎-‎3π‎8‎=‎π‎3‎.‎ ‎11.(2016山东临沂一模)将函数f(x)的图象向左平移π‎3‎个单位长度后,得到g(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎的图象,则f(x)=　　　　　. ‎ 答案-2cos 2x 解析由题意可知,把g(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎的图象向右平移π‎3‎个单位长度后,得到f(x)=2sin‎2x-‎π‎3‎+‎π‎6‎=2sin‎2x-‎π‎2‎=-2cos 2x的图象.‎ ‎12.设函数f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎,则下列命题:‎ ‎①f(x)的图象关于直线x=π‎3‎对称;‎ ‎②f(x)的图象关于点π‎6‎‎,0‎对称;‎ ‎③f(x)的最小正周期为π,且在区间‎0,‎π‎12‎上为增函数;‎ ‎④把f(x)的图象向右平移π‎12‎个单位长度,得到一个奇函数的图象.‎ 其中正确的命题的序号为　　　　　. ‎ 答案③④‎ 解析对于①,fπ‎3‎=sin‎2×π‎3‎+‎π‎6‎=sin‎5π‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎,不是最值,因此x=π‎3‎不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题错误;‎ 对于②,fπ‎6‎=sin‎2×π‎6‎+‎π‎6‎=1≠0,因此点π‎6‎‎,0‎不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;‎ 对于③,函数f(x)的最小正周期为T=‎2π‎2‎=π,当x∈‎0,‎π‎12‎时,令t=2x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎π‎3‎,显然函数y=sin t在区间π‎6‎‎,‎π‎3‎上为增函数,因此函数f(x)在区间‎0,‎π‎12‎上为增函数,故该命题正确;‎ 对于④,把f(x)的图象向右平移π‎12‎个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin‎2x-‎π‎12‎+‎π‎6‎=sin 2x,是奇函数,故该命题正确.‎ 能力提升 ‎13.(2016东北三省四市二模)将函数f(x)=sin(2x+φ)‎|φ|<‎π‎2‎的图象向右平移π‎12‎个单位后的图象关于y轴对称,则函数f(x)在‎0,‎π‎2‎上的最小值为(　　)‎ A.0 B.-1 C.-‎1‎‎2‎ D.-‎‎3‎‎2‎ 答案D 解析由题意,平移后的函数为y=sin‎2x-‎π‎12‎+φ ‎=sin‎2x+φ-‎π‎6‎.‎ ‎∵平移后的图象关于y轴对称,‎ ‎∴φ-π‎6‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,解得φ=kπ+‎2π‎3‎,k∈Z.‎ 由|φ|<π‎2‎,可得当k=-1时,φ=-π‎3‎,‎ 故f(x)=sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 由x∈‎0,‎π‎2‎,可得2x-π‎3‎‎∈‎‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,‎ 故当2x-π‎3‎=-π‎3‎,即x=0时,f(x)min=sin‎-‎π‎3‎=-‎3‎‎2‎,故选D.‎ ‎14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=‎2π‎3‎时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(2)0,f(2)=Asin‎4+‎π‎6‎‎=‎‎3‎‎2‎Asin 4+A‎2‎cos 4<0,f(-2)=Asin‎-4+‎π‎6‎=-‎3‎‎2‎Asin 4+A‎2‎cos 4.‎ 因为f(2)-f(-2)=‎3‎Asin 4<0,‎ 所以f(2)sinπ+‎π‎6‎=-‎1‎‎2‎,‎ 即sin‎4-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎>0,所以f(-2)0)个单位得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为　　　　　.〚导学号74920467〛 ‎ 答案π‎12‎ 解析∵函数f(x)的图象关于点‎2π‎3‎‎,0‎对称,‎ ‎∴2×‎2π‎3‎+φ=kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 解得φ=kπ-‎5π‎6‎,k∈Z.‎ ‎∴f(x)=cos‎2x+kπ-‎‎5π‎6‎,k∈Z.‎ ‎∵f(x)的图象向右平移m个单位得到函数y=cos‎2x-2m+kπ-‎‎5π‎6‎,k∈Z为偶函数,‎ ‎∴x=0为其对称轴,即-2m+kπ-‎5π‎6‎=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=‎(k-k‎1‎)π‎2‎‎-‎‎5π‎12‎(k∈Z,k1∈Z),‎ ‎∵m>0,∴m的最小正值为π‎12‎,此时k-k1=1,k∈Z,k1∈Z.‎ ‎16.已知函数y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎.‎ ‎(1)用五点法作出函数的图象;‎ ‎(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.‎ 解(1)列表:‎ x π‎2‎ ‎3‎‎2‎π ‎5‎‎2‎π ‎7‎‎2‎π ‎9‎‎2‎π ‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3‎‎2‎π ‎2π ‎3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎-3‎ ‎0‎ 描点、连线,如图所示:‎ ‎(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.‎ 先把y=sin x的图象上所有点向右平移π‎4‎个单位,得到y=sinx-‎π‎4‎的图象;再把y=sinx-‎π‎4‎的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象,最后将y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象.‎ ‎(方法二)“先伸缩,后平移”‎ 先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin‎1‎‎2‎x的图象;再把y=sin‎1‎‎2‎x图象上所有的点向右平移π‎2‎个单位,得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎2‎=sinx‎2‎‎-‎π‎4‎的图象,最后将y=sinx‎2‎‎-‎π‎4‎的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象.‎ 高考预测 ‎17.已知函数f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sinωx+‎π‎4‎的图象,只要将y=f(x)的图象(　　)‎ A.向左平移π‎4‎个单位长度 B.向右平移π‎4‎个单位长度 C.向左平移π‎8‎个单位长度 D.向右平移π‎8‎个单位长度 答案C 解析∵f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,‎ ‎∴ω=2.‎ ‎∴f(x)=sin 2x,g(x)=sin‎2x+‎π‎4‎.‎ ‎∴将y=f(x)的图象向左平移π‎8‎个单位长度得到函数g(x)=sin‎2x+‎π‎4‎的图象,故选C.‎