高考数学专题复习练习第7讲 立体几何中的向量方法（一） 7页

第7讲 立体几何中的向量方法（一）‎ 一、选择题 ‎1．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　)‎ A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)‎ B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)‎ C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)‎ D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)‎ 解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．‎ 答案　B ‎2．已知a＝，b＝满足a∥b，则λ等于(　　)．‎ A. B. C．－ D．－ 解析　由＝＝，可知λ＝.‎ 答案　B ‎3．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是 (　　)．‎ A. B．(6，－2，－2)‎ C．(4,2,2) D．(－1,1,4)‎ 解析　设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.‎ 答案　D ‎4．已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 (　　)．‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析　连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，因为AB＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以OH＝sin 45°＝1.‎ 答案　D ‎5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5， λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由题意得c＝ta＋μb ‎＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，‎ ‎∴∴.‎ 答案　D ‎6．正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为 (　　)．‎ A.a B.a C.a D.a 解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.‎ ‎ 设M(x，y，z)，‎ ‎∵点M在AC1上且＝，‎ ‎∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)‎ ‎∴x＝a，y＝，z＝.‎ 得M，‎ ‎∴||＝ ＝a.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.‎ 解析　由已知得＝＝，‎ ‎∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.‎ 答案　－2或 ‎8．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．‎ 解析　根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．‎ ‎∵PA＝PB＝PC，‎ ‎∴H为△ABC的外心．‎ 又∵△ABC为正三角形，‎ ‎∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.‎ ‎∴PH＝ ＝a.‎ ‎∴点P到平面ABC的距离为a.‎ 答案　a ‎9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.‎ 解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±.‎ 答案 ± ‎10．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P为正方形A1B‎1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的有____________个．‎ 解析　建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，‎ ‎∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.‎ 答案　2‎ 三、解答题 ‎11．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：‎ a，b，c.‎ 解　因为a∥b，所以＝＝，‎ 解得x＝2，y＝－4，‎ 这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．‎ 又因为b⊥c，‎ 所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，‎ 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． ‎ ‎12．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．‎ 求证：(1)AM∥平面BDE；‎ ‎(2)AM⊥平面BDF.‎ 证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AC∩BD＝N，连接NE.‎ 则N，E(0,0,1)，‎ A(，，0)，M ‎∴＝.‎ ＝.‎ ‎∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.‎ 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，‎ ‎∴AM∥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)知＝，‎ ‎∵D(，0,0)，F(，，1)，‎ ‎∴＝(0，，1)‎ ‎∴·＝0，∴AM⊥DF.‎ 同理AM⊥BF.‎ 又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.‎ ‎13．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD；‎ ‎(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．‎ ‎(1)证明　如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.‎ ＝，＝(0，a,0)．‎ ‎∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.‎ ‎(2)解　设G(x,0，z)，则＝，‎ 若使GF⊥平面PCB，则由 ·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；‎ 由·＝·(0，－a，a)‎ ‎＝2＋a＝0，‎ 得z＝0.‎ ‎∴G点坐标为，即G点为AD的中点．‎ ‎14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．‎ ‎(1)证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．‎ 解　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，‎ P(0,0，h)．‎ ‎(1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．‎ 因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.‎ ‎(2)由题设和(1)知，·分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos ‎〈，〉|，‎ 即＝.‎ 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，‎ 又＝(4,0，－h)，‎ 故＝.‎ 解得h＝.‎ 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，‎ 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.‎