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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测(九)弦切角的性质word版含解析

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课时跟踪检测(九) 弦切角的性质 一、选择题 1.P 在⊙O 外,PM 切⊙O 于 C,PAB 交⊙O 于 A,B,则( ) A.∠MCB=∠B B.∠PAC=∠P C.∠PCA=∠B D.∠PAC=∠BCA 解析:选 C 由弦切角定理知∠PCA=∠B. 2.如图,PC 与⊙O 相切于 C 点,割线 PAB 过圆心 O,∠P=40°,则∠ACP 等于( ) A.20° B.25° C.30° D.40° 解析:选 B 连接 OC. ∵PC 切⊙O 于 C 点, ∴OC⊥PC.∵∠P=40°, ∴∠POC=50°. 连接 BC, 则∠B=1 2 ∠POC=25°, ∴∠ACP=∠B=25°. 3.如图,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD=2,AB=6,则 AC 的长为( ) A.2 B.3 C.2 3 D.4 解析:选 C 连接 BC,则∠ACB=90°, 又 AD⊥EF, ∴∠ADC=90°, 即∠ADC=∠ACB, 又∵∠ACD=∠ABC, ∴△ABC∽△ACD, ∴AC AD =AB AC , ∴AC2=AD·AB=12, 即 AC=2 3. 4.如图,AB 是⊙O 的直径,P 在 AB 的延长线上,PD 切⊙O 于 C 点,连接 AC,若 AC=PC,PB=1,则⊙O 的半径为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A 连接 BC. ∵AC=PC,∴∠A=∠P. ∵∠BCP=∠A,∴∠BCP=∠P. ∴BC=BP=1. 由△BCP∽△CAP 得 PC PA =PB PC. ∴PC2=PB·PA, 即 AC2=PB·PA. 而 AC2=AB2-BC2, 设⊙O 半径为 r, 则 4r2-12=1·(1+2r),解得 r=1. 二、填空题 5.如图,AB 是⊙O 的直径,PB,PE 分别切⊙O 于 B,C,若∠ACE=40°,则∠P =________. 解析:连接 BC, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°. 又∠ACE=40°, ∴∠PCB=∠PBC=50°. ∴∠P=80°. 答案:80° 6.如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD ⊥AB 于 D 点,则 CD=________. 解析:连接 OC. ∵PC 切⊙O 于 C 点, ∴OC⊥PC. ∵PB=OB=2, OC=2. ∴PC=2 3. ∵OC·PC=OP·CD, ∴CD=2×2 3 4 = 3. 答案: 3 7.如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上 一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=________. 解析:由 PA 为⊙O 的切线,BA 为弦, 得∠PAB=∠BCA, 又∠BAC=∠APB, 于是△APB∽△CAB, 所以PB AB =AB BC. 而 PB=7,BC=5, 故 AB2=PB·BC=7×5=35,即 AB= 35. 答案: 35 三、解答题 8.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是圆周上一点(异于 A,B),过 C 作圆 O 的切线 l,过 A 作直线 l 的垂线 AD,垂足为 D,AD 交半圆 于点 E. 求证:CB=CE. 证明:连接 AC,BE,在 DC 延长线上取一点 F,因为 AB 是半 圆 O 的直径,C 为圆周上一点, 所以∠ACB=90°, 即∠BCF+∠ACD=90°. 又因为 AD⊥l,所以∠DAC+∠ACD=90°. 所以∠BCF=∠DAC. 又因为直线 l 是圆 O 的切线,所以∠CEB=∠BCF, 又∠DAC=∠CBE, 所以∠CBE=∠CEB, 所以 CB=CE. 9.如图所示,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,直线 XY 切⊙O 于点 C, 弦 BD∥XY,AC,BD 相交于点 E. (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若 AB=6 cm,BC=4 cm,求 AE 的长. 解:(1)证明:因为 XY 是⊙O 的切线, 所以∠1=∠2. 因为 BD∥XY,所以∠1=∠3, 所以∠2=∠3. 因为∠3=∠4,所以∠2=∠4. 因为∠ABD=∠ACD, 又因为 AB=AC, 所以△ABE≌△ACD. (2)因为∠3=∠2,∠ABC=∠ACB, 所以△BCE∽△ACB,所以BC AC =CE CB , 即 AC·CE=BC2. 因为 AB=AC=6 cm,BC=4 cm, 所以 6·(6-AE)=16. 所以 AE=10 3 (cm). 10.如图,已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,DC 是∠ACB 的角平分线,交 AE 于点 F,交 AB 于 D 点. (1)求∠ADF 的度数; (2)若 AB=AC,求 AC∶BC. 解:(1)∵AC 为圆 O 的切线, ∴∠B=∠EAC. 又 DC 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD=∠DCB. ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD. 又∵BE 为圆 O 的直径, ∴∠DAE=90°, ∠ADF=1 2(180°-∠DAE)=45°. (2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACE, ∴△ACE∽△BCA.∴AC BC =AE AB. 又∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=2 3 ∠ADF=30°. ∴在 Rt△ABE 中,AC BC =AE AB =tan ∠B=tan 30°= 3 3 .