高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测（九）弦切角的性质word版含解析 5页

课时跟踪检测(九) 弦切角的性质 一、选择题 1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于 C，PAB 交⊙O 于 A，B，则( ) A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠P C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA 解析：选 C 由弦切角定理知∠PCA＝∠B. 2．如图，PC 与⊙O 相切于 C 点，割线 PAB 过圆心 O，∠P＝40°，则∠ACP 等于( ) A．20° B．25° C．30° D．40° 解析：选 B 连接 OC. ∵PC 切⊙O 于 C 点， ∴OC⊥PC.∵∠P＝40°， ∴∠POC＝50°. 连接 BC， 则∠B＝1 2 ∠POC＝25°， ∴∠ACP＝∠B＝25°. 3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于 C，AD⊥EF 于 D，AD＝2，AB＝6，则 AC 的长为( ) A．2 B．3 C．2 3 D．4 解析：选 C 连接 BC，则∠ACB＝90°， 又 AD⊥EF， ∴∠ADC＝90°， 即∠ADC＝∠ACB， 又∵∠ACD＝∠ABC， ∴△ABC∽△ACD， ∴AC AD ＝AB AC ， ∴AC2＝AD·AB＝12， 即 AC＝2 3. 4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在 AB 的延长线上，PD 切⊙O 于 C 点，连接 AC，若 AC＝PC，PB＝1，则⊙O 的半径为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 A 连接 BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P. ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP 得 PC PA ＝PB PC. ∴PC2＝PB·PA， 即 AC2＝PB·PA. 而 AC2＝AB2－BC2， 设⊙O 半径为 r， 则 4r2－12＝1·(1＋2r)，解得 r＝1. 二、填空题 5．如图，AB 是⊙O 的直径，PB，PE 分别切⊙O 于 B，C，若∠ACE＝40°，则∠P ＝________. 解析：连接 BC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°. 又∠ACE＝40°， ∴∠PCB＝∠PBC＝50°. ∴∠P＝80°. 答案：80° 6．如图，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PB＝OB＝2，PC 切圆 O 于 C 点，CD ⊥AB 于 D 点，则 CD＝________. 解析：连接 OC. ∵PC 切⊙O 于 C 点， ∴OC⊥PC. ∵PB＝OB＝2， OC＝2. ∴PC＝2 3. ∵OC·PC＝OP·CD， ∴CD＝2×2 3 4 ＝ 3. 答案： 3 7．如图，过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A，B，且 PB＝7，C 是圆上 一点使得 BC＝5，∠BAC＝∠APB，则 AB＝________. 解析：由 PA 为⊙O 的切线，BA 为弦， 得∠PAB＝∠BCA， 又∠BAC＝∠APB， 于是△APB∽△CAB， 所以PB AB ＝AB BC. 而 PB＝7，BC＝5， 故 AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即 AB＝ 35. 答案： 35 三、解答题 8.如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是圆周上一点(异于 A，B)，过 C 作圆 O 的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 AD，垂足为 D，AD 交半圆 于点 E. 求证：CB＝CE. 证明：连接 AC，BE，在 DC 延长线上取一点 F，因为 AB 是半 圆 O 的直径，C 为圆周上一点， 所以∠ACB＝90°， 即∠BCF＋∠ACD＝90°. 又因为 AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°. 所以∠BCF＝∠DAC. 又因为直线 l 是圆 O 的切线，所以∠CEB＝∠BCF， 又∠DAC＝∠CBE， 所以∠CBE＝∠CEB， 所以 CB＝CE. 9.如图所示，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，直线 XY 切⊙O 于点 C， 弦 BD∥XY，AC，BD 相交于点 E. (1)求证：△ABE≌△ACD； (2)若 AB＝6 cm，BC＝4 cm，求 AE 的长． 解：(1)证明：因为 XY 是⊙O 的切线， 所以∠1＝∠2. 因为 BD∥XY，所以∠1＝∠3， 所以∠2＝∠3. 因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4. 因为∠ABD＝∠ACD， 又因为 AB＝AC， 所以△ABE≌△ACD. (2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB， 所以△BCE∽△ACB，所以BC AC ＝CE CB ， 即 AC·CE＝BC2. 因为 AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm， 所以 6·(6－AE)＝16. 所以 AE＝10 3 (cm)． 10.如图，已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上，CA 切圆 O 于 A 点，DC 是∠ACB 的角平分线，交 AE 于点 F，交 AB 于 D 点． (1)求∠ADF 的度数； (2)若 AB＝AC，求 AC∶BC. 解：(1)∵AC 为圆 O 的切线， ∴∠B＝∠EAC. 又 DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD＝∠DCB. ∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD. 又∵BE 为圆 O 的直径， ∴∠DAE＝90°， ∠ADF＝1 2(180°－∠DAE)＝45°. (2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE， ∴△ACE∽△BCA.∴AC BC ＝AE AB. 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝2 3 ∠ADF＝30°. ∴在 Rt△ABE 中，AC BC ＝AE AB ＝tan ∠B＝tan 30°＝ 3 3 .