高中数学 必修4平面向量2．3.3 平面向量的坐标运算 14页

1 2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数 乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来． 知识点一 平面向量的正交分解 思考 如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.互相垂直的两个向 量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底． 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点二 平面向量的坐标表示 思考 1 如图，向量 i，j是两个互相垂直的单位向量，向量 a 与 i的夹角是 30°，且|a|＝ 4，以向量 i，j 为基底，如何表示向量 a? 答案 a＝2 3i＋2j. 思考 2 在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1,1)，则 A 点位置确定了吗？给定向量 a 的坐标为 a＝(1,1)，则向量 a 的位置确定了吗？ 答案 对于 A 点，若给定坐标为 A(1,1)，则 A 点位置确定．对于向量 a，给定 a 的坐标为 a ＝(1,1)，此时给出了 a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任 意平移，因此 a 的位置不确定． 思考 3 设向量BC → ＝(1,1)，O 为坐标原点，若将向量BC → 平移到OA → ，则OA → 的坐标是多少？A 点 坐标是多少？ 答案 向量OA → 的坐标为OA → ＝(1,1)，A 点坐标为 A(1,1)． 梳理 (1)平面向量的坐标 ①在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．对于 平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj. 平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记 2 作 a＝(x，y)． ②在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形 式不同 向量 a＝(x，y)中间用等号连接，而点 A(x，y)中间没有等号 意义 不同 点 A(x，y)的坐标(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，a＝(x， y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既 可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 知识点三 平面向量的坐标运算 思考 设 i，j 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量 a＋b，a－b，λa(λ∈R)如 何分别用基底 i，j 表示？ 答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j. 梳理 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的差 向量数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向 量的相应坐标 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB → ＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 1．相等向量的坐标相等．( √ ) 2．在平面直角坐标系内，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB → ＝(x1－x2，y1－y2)．( × ) 提示 AB → ＝(x2－x1，y2－y1)． 3．与 x 轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1,0)，j＝(0,1)．( √ ) 3 类型一 平面向量的坐标表示 例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA → ＝ a，AB → ＝b. 四边形 OABC 为平行四边形． (1)求向量 a，b 的坐标； (2)求向量BA → 的坐标； (3)求点 B 的坐标． 考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 (1)作 AM⊥x 轴于点 M， 则 OM＝OA·cos45° ＝4× 2 2 ＝2 2， AM＝OA·sin45° ＝4× 2 2 ＝2 2. ∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3， ∴C － 3 2 ， 3 3 2 ，∴AB → ＝OC → ＝ － 3 2 ， 3 3 2 ， 4 即 b＝ － 3 2 ， 3 3 2 . (2)BA → ＝－AB → ＝ 3 2 ，－ 3 3 2 . (3)OB → ＝OA → ＋AB → ＝(2 2，2 2)＋ － 3 2 ， 3 3 2 ＝ 2 2－ 3 2 ，2 2＋ 3 3 2 . 反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以 利用向量、点的坐标定义求坐标． 跟踪训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3， |c|＝4，分别计算出它们的坐标． 考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则 a1＝|a|cos45°＝2× 2 2 ＝ 2. a2＝|a|sin45°＝2× 2 2 ＝ 2， b1＝|b|cos120°＝3× － 1 2 ＝－ 3 2 ， b2＝|b|sin120°＝3× 3 2 ＝ 3 3 2 ， c1＝|c|cos(－30°)＝4× 3 2 ＝2 3， c2＝|c|sin(－30°)＝4× － 1 2 ＝－2. 因此 a＝( 2， 2)，b＝ － 3 2 ， 3 3 2 ，c＝(2 3，－2)． 类型二 平面向量的坐标运算 例 2 已知 a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： 5 (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3) 1 2 a－ 1 3 b. 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 解 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3) 1 2 a－ 1 3 b＝ 1 2 (－1,2)－ 1 3 (2,1) ＝ － 1 2 ，1 － 2 3 ， 1 3 ＝ － 7 6 ， 2 3 . 反思与感悟 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练 2 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC → ＝(－4，－3)，则向量BC → 等于( ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A 解析 设 C(x，y)，则AC → ＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 即 x＝－4，y＝－2， 故 C(－4，－2)，则BC → ＝(－7，－4)， 故选 A. 类型三 平面向量坐标运算的应用 例 3 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP → ＝AB → ＋λAC → (λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点 P 在第三象限内． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 设点 P 的坐标为(x，y)， 6 则AP → ＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， AB → ＋λAC → ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP → ＝AB → ＋λAC → ，且AB → 与AC → 不共线， ∴ x－2＝3＋5λ， y－3＝1＋7λ， 则 x＝5＋5λ， y＝4＋7λ. (1)若点 P 在第一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝ 1 2 . (2)若点 P 在第三象限内，则 5＋5λ<0， 4＋7λ<0， ∴λ<－1. 反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程 (组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用． (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向 量．由此可建立相等关系求某些参数的值． 跟踪训练 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点 D 的坐标， 使这四点构成平行四边形的四个顶点． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 当平行四边形为 ABCD 时，设 D(x，y)， 由AB → ＝(1,2)，DC → ＝(3－x,4－y)， 且AB → ＝DC → ，得 D(2,2)． 当平行四边形为 ACDB 时，设 D(x，y)， 由AB → ＝(1,2)，CD → ＝(x－3，y－4)，且AB → ＝CD → ， 得 D(4,6)． 当平行四边形为 ACBD 时，设 D(x，y)， 由AC → ＝(5,3)，DB → ＝(－1－x,3－y)，且AC → ＝DB → ， 得 D(－6,0)， 故 D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0). 7 1．已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则 1 2 a－ 3 2 b 等于( ) A．(－1,2) B．(1，－2) C．(－1，－2) D．(1,2) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A 解析 1 2 a－ 3 2 b＝ 1 2 (1,1)－ 3 2 (1，－1) ＝ 1 2 － 3 2 ， 1 2 ＋ 3 2 ＝(－1,2)． 2．已知向量OA → ＝(3，－2)，OB → ＝(－5，－1)，则向量 1 2 AB → 的坐标是( ) A. －4， 1 2 B. 4，－ 1 2 C．(－8,1) D．(8,1) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A 解析 ∵AB → ＝OB → －OA → ＝(－8,1)，∴ 1 2 AB → ＝ －4， 1 2 . 3．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC → ＝2AD → ，则顶点 D 的坐 标为( ) A. 2， 7 2 B. 2，－ 1 2 C．(3,2) D．(1,3) 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 A 解析 设 D 点坐标为(x，y)，则BC → ＝(4,3)， AD → ＝(x，y－2)， 由BC → ＝2AD → ，得 4＝2x， 3＝2 y－2 ， 8 ∴ x＝2 y＝ 7 2 ，∴D 2， 7 2 . 4．已知向量 a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若 p＝ma＋nb，则 m＋n＝________. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 7 解析 由于 p＝ma＋nb， 即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)， 所以 2m＋n＝9 且－3m＋2n＝4， 解得 m＝2，n＝5，所以 m＋n＝7. 5．已知点 A(2,1)，B(－2,3)，且AC → ＝ 1 2 AB → ，则点 C的坐标为________． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 (0,2) 解析 设 C(x，y)，则(x－2，y－1)＝ 1 2 (－4,2)＝(－2,1)， ∴x＝0，y＝2. 1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向 量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化． 2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起 点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量 的终点坐标不是向量的坐标，若 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AB → ＝(xB－xA，yB－yA)． 3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来 向量坐标的积. 一、选择题 1．已知 M(2,3)，N(3,1)，则NM → 的坐标是( ) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2) 9 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 B 解析 NM → ＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)． 2．已知 a－ 1 2 b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则 a 等于( ) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(－2,2) D．(2，－2) 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D 3．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c 等于( ) A．3a－b B．3a＋b C．－a＋3b D．a＋3b 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 答案 A 解析 设 c＝xa＋yb， 则 x－y＝4， x＋y＝2， 解得 x＝3， y＝－1， ∴c＝3a－b. 4．已知两点 A(4,1)，B(7，－3)，则与向量AB → 同向的单位向量是( ) A. 3 5 ，－ 4 5 B. － 3 5 ， 4 5 C. － 4 5 ， 3 5 D. 4 5 ，－ 3 5 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 A 解析 因为与AB → 同向的单位向量为 AB → |AB → | ， AB → ＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)， |AB → |＝ 32＋ －4 2 ＝5， 10 所以 AB → |AB → | ＝ 3 5 ，－ 4 5 . 5．如果将OA → ＝ 3 2 ， 1 2 绕原点 O 逆时针方向旋转 120°得到OB → ，则OB → 的坐标是( ) A. － 1 2 ， 3 2 B. 3 2 ，－ 1 2 C．(－1， 3) D. － 3 2 ， 1 2 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D 解析 因为OA → ＝ 3 2 ， 1 2 所在直线的倾斜角为 30°，绕原点 O逆时针方向旋转 120°得到OB → 所 在直线的倾斜角为 150°，所以 A，B 两点关于 y 轴对称，由此可知 B 点坐标为 － 3 2 ， 1 2 ， 故OB → 的坐标是 － 3 2 ， 1 2 ，故选 D. 6．已知 M(－2,7)，N(10，－2)，点 P 是线段 MN 上的点，且PN → ＝－2PM → ，则 P点的坐标为( ) A．(－14,16) B．(22，－11) C．(6,1) D．(2,4) 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 D 7．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下 的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m ＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( ) A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2) 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D 解析 ∵a 在基底 p，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令 a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， 11 ∴ －x＋y＝2， x＋2y＝4， 解得 x＝0， y＝2， ∴a 在基底 m，n下的坐标为(0,2)． 二、填空题 8．已知平面上三点 A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则 1 2 AC → － 1 4 BC → 的坐标是________． 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 (－3,6) 9．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，CM → ＝3CA → ，CN → ＝2CB → ，则MN → 的坐标为________． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 (9，－18) 解析 CM → ＝3(1,8)＝(3,24)， CN → ＝2(6,3)＝(12,6)， MN → ＝CN → －CM → ＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)． 10.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则 λ μ 的值 为________． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则 a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－ 1，－3)，根据 c＝λa＋μb 得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ ＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－ 1 2 ，故 λ μ ＝4. 11．已知 A(2,3)，B(1,4)，且 1 2 AB → ＝(sinα，cosβ)，α，β∈ － π 2 ， π 2 ，则α＋β＝________. 考点 平面向量的坐标运算的应用 12 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 π 6 或－ π 2 解析 因为 1 2 AB → ＝ 1 2 (－1,1)＝ － 1 2 ， 1 2 ＝(sinα，cosβ)， 所以 sinα＝－ 1 2 且 cosβ＝ 1 2 ， ∵α，β∈ － π 2 ， π 2 ，所以α＝－ π 6 ，β＝ π 3 或－ π 3 ， 所以α＋β＝ π 6 或－ π 2 . 三、解答题 12．已知点 A(－1,2)，B(2,8)及AC → ＝ 1 3 AB → ，DA → ＝－ 1 3 BA → ，求点 C，D 和CD → 的坐标． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 解 设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得AC → ＝(x1＋1，y1－2)，AB → ＝(3,6)， DA → ＝(－1－x2,2－y2)，BA → ＝(－3，－6)． ∵AC → ＝ 1 3 AB → ，DA → ＝－ 1 3 BA → ， ∴(x1＋1，y1－2)＝ 1 3 (3,6)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝－ 1 3 (－3，－6)＝(1,2)， 则有 x1＋1＝1， y1－2＝2 和 －1－x2＝1， 2－y2＝2， 解得 x1＝0， y1＝4 和 x2＝－2， y2＝0. ∴C，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD → ＝(－2，－4)． 13．已知 a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求 p＝2a＋3b＋c，并用基底 a，b 表示 p. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 解 p＝2a＋3b＋c 13 ＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2) ＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)． 设 p＝xa＋yb＝x(2,1)＋y(－1,3)＝(2x－y，x＋3y)， a 与 b 不共线， 则有 2x－y＝2， x＋3y＝13， 解得 x＝ 19 7 ， y＝ 24 7 . ∴p＝ 19 7 a＋ 24 7 b. 四、探究与拓展 14．已知点 A(3，－4)与 B(－1,2)，点 P在直线 AB 上，且|AP → |＝2|PB → |，求点 P 的坐标． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 设 P点坐标为(x，y)，|AP → |＝2|PB → |. 当 P 在线段 AB 上时，AP → ＝2PB → . ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)， ∴ x－3＝－2－2x， y＋4＝4－2y， 解得 x＝ 1 3 ， y＝0. ∴P点坐标为 1 3 ，0 . 当 P在线段 AB 延长线时，AP → ＝－2PB → . ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴ x－3＝2＋2x， y＋4＝－4＋2y， 解得 x＝－5， y＝8. 综上所述，点 P 的坐标为 1 3 ，0 或(－5,8)． 15．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP → ＝OA → ＋tAB → . (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P在 y轴上？点 P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求 t 值；若不能，说明理由． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 (1)OP → ＝OA → ＋tAB → ＝(1,2)＋t(3,3) 14 ＝(1＋3t,2＋3t)， 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0， ∴t＝－ 2 3 . 若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0， ∴t＝－ 1 3 ， 若点 P 在第二象限，则 1＋3t<0， 2＋3t>0， ∴－ 2 3