高中数学人教a版必修四课时训练：2.3.3 平面向量的坐标运算 4页

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标， 会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数 乘的坐标运算法则进行有关的运算． 1．平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 ____________i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x，y 使得 a＝ ____________，则________________叫作向量 a 的坐标，________________叫作向量的坐标 表示． (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则OA→ ＝________，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则AB→＝________________________. 2．平面向量的坐标运算 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这 两个向量相应坐标的和． (2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝________________________，即两个向量差的坐 标等于这两个向量相应坐标的差． (3)若 a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标． 一、选择题 1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量 1 2a－3 2b 等于( ) A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 2．已知 a－1 2b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则 a 等于( ) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(－2,2) D．(2，－2) 3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且 c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2 的值分别为( ) A．－2,1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1,2 4．已知 M(3，－2)，N(－5，－1)且MP→ ＝1 2MN→ ，则点 P 的坐标为( ) A．(－8,1) B. 1，3 2 C. －1，－3 2 D．(8，－1) 5．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→ 等于( ) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 6．已知四边形 ABCD 为平行四边形，其中 A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点 D 的坐 标为( ) A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．已知平面上三点 A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则1 2AC→－1 4BC→的坐标是________． 8．已知 A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC→＝2BD→ ，则 x＋y＝________. 9．若向量 a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，其中 A(1,2)，B(3，2)，则 x＝________. 10．函数 y＝x2＋2x＋2 按向量 a 平移所得图象的解析式为 y＝x2，则向量 a 的坐标是________． 三、解答题 11．已知 a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用 a，b 表示 c. 12．已知平面上三个点坐标为 A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点 D 的坐标，使得这四个点为 构成平行四边形的四个顶点． 能力提升 13．已知 P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集 合，则 P∩Q 等于( ) A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)} 14．函数 y＝cos 2x＋π 6 －2 的图象 F 按向量 a 平移到 F′，F′的函数解析式为 y＝f(x)，当 y＝f(x)为奇函数时，向量 a 可以等于( ) A. －π 6 ，－2 B. －π 6 ，2 C. π 6 ，－2 D. π 6 ，2 1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一 一对应关系．关系图如图所示： 2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量 的坐标才和这个终点的坐标相同． 2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算 答案 知识梳理 1．(1)互相垂直 (2)单位向量 xi＋yj 有序数对(x，y) a＝(x，y) (3)(x，y) (x2－x1，y2 －y1) 2．(1)(x1＋x2，y1＋y2) (2)(x1－x2，y1－y2) (3)(λx，λy) 作业设计 1．D 2.D 3．D [由 λ1＋2λ2＝3， 2λ1＋3λ2＝4. 解得 λ1＝－1， λ2＝2. ] 4．C [设 P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝1 2 ×(－8,1)， ∴x＝－1，y＝－3 2.] 5．B [∵AC→＝AB→＋AD→ ， ∴AD→ ＝AC→－AB→＝(－1，－1)． ∴BD→ ＝AD→ －AB→＝(－3，－5)．] 6．D [设 D(x，y)，由AD→ ＝BC→， ∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)． ∴x＝7，y＝－6.] 7．(－3,6) 8.11 2 解析 ∵AC→＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD→ ＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， 又 2BD→ ＝AC→，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)， ∴ 2x－4＝－1， 2y－6＝2， 解得 x＝3 2 ， y＝4， ∴x＋y＝11 2 . 9．－1 解析 ∵A(1,2)，B(3,2)，∴AB→＝(2,0)． 又∵a＝AB→，它们的坐标一定相等． ∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)． ∴ x＋3＝2， x2－3x－4＝0， ∴x＝－1. 10．(1，－1) 解析 函数 y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1 的顶点坐标为(－1,1)，函数 y＝x2 的顶点坐标为(0,0)， 则 a＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)． 11．解 设 c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)， ∴ 10＝－2x＋3y， －4＝3x＋y， 解得 x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b. 12．解 (1)当平行四边形为 ABCD 时，AB→＝DC→ ， 设点 D 的坐标为(x，y)． ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)， ∴ 1－x＝1， －2－y＝－1， ∴ x＝0， y＝－1. ∴D(0，－1)； (2)当平行四边形为 ABDC 时，仿(1)可得 D(2，－3)； (3)当平行四边形为 ADBC 时，仿(1)可得 D(6,15)． 综上可知点 D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)． 13．A [设 a＝(x，y)，则 P＝ x，y| x＝1 y＝m ， ∴集合 P 是直线 x＝1 上的点的集合． 同理集合 Q 是直线 x＋y＝2 上的点的集合， 即 P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}． ∴P∩Q＝{(1,1)}．故选 A.] 14．B [函数 y＝cos 2x＋π 6 －2 按向量 a＝(m，n)平移后得到 y′＝cos 2x－2m＋π 6 ＋n－2. 若平移后的函数为奇函数，则 n＝2，π 6 －2m＝kπ＋π 2(k∈Z)，故 m＝－π 6 时适合．]