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- 2021-06-16 发布
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第二节 平面向量的坐
标运算
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
平面向量基本定理
一组基底
:
两个不共线向量
e
1
,
e
2
,
一对实数
:
唯一一对实数
λ
1
,λ
2
,
任意向量
:
a
,
结论
:
a
=__________.
2.
平面向量的坐标表示
若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
= ____________.
λ
1
e
1
+λ
2
e
2
(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
)
3.
平面向量的坐标运算
(1)
若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),
则
a
±
b
=(x
1
±x
2
,y
1
±y
2
).
(2)
若
a
=(x,y),
则
λ
a
= __________.
(3)
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
4.
平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),
则
a
∥
b
⇔__________ .
(λx,λy)
x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
【
知识点辨析
】
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
平面内的任何两个向量都可以作为一组基底
. (
)
(2)
同一向量在不同基底下的表示是相同的
. (
)
(3)
设
a
,
b
是平面内的一组基底
,
若实数
λ
1
,μ
1
,λ
2
,μ
2
满足
λ
1
a
+μ
1
b
=λ
2
a
+μ
2
b
,
则
λ
1
=λ
2
,μ
1
=μ
2
. (
)
(4)
若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),
则
a
∥
b
的充要条件可以表示成
(
)
提示
:
(1) ×.
共线向量不可以作为基底
.
(2)×.
同一向量在不同基底下的表示不相同
.
(3)√.
用平面向量基本定理解释
.
(4)×.
若
b
=(0,0),
则 无意义
.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
忽略作为基底的必要条件是非零向量
基础自测
T1
2
不能准确建立平面几何与向量的关系
考点一、
T1
3
不能灵活运用“三角形法则”“平行四边形法则”
,
不能将所求向量用基底表示
考点二、
T1
4
混淆平行与垂直关系的坐标公式
考点三、角度
1
【
教材
·
基础自测
】
1.(
必修
4P87A
组
T2
改编
)
下列各组向量中
,
可以作为基底的是
(
)
A.
e
1
=(0,0),
e
2
=(1,-2)
B.
e
1
=(-1,2),
e
2
=(5,7)
C.
e
1
=(3,5),
e
2
=(6,10)
D.
e
1
=(2,-3),
e
2
=
【
解析
】
选
B.
两个不共线的非零向量构成一组基底
.
2.(
必修
4P100A
组
T4
改编
)
已知向量
a
=(4,2),
b
=(x,3),
且
a
∥
b
,
则
x
的值是
(
)
A.-6
B.6
C.9
D.12
【
解析
】
选
B.
因为
a
∥
b
,
所以
4×3-2x=0,
所以
x=6.
3.(
必修
4P87 A
组
T5
改编
)
已知
=1, = , ,
点
C
在线段
AB
上
,∠AOC
=30°.
设
(m,n∈R),
则 等于
(
)
【
解析
】
选
B.
如图
,
由已知
可得
AB=2,∠A=60°,
因为点
C
在线段
AB
上
,∠AOC=30°,
所以
OC⊥AB,
过点
C
作
CD⊥OA,
垂足为点
D,
4.(
必修
4P91
例
4
改编
)
已知
=(-m,-5n), =(-2m,8n), =(3m,-3n),
则
(
)
A.A,B,D
三点共线
B.A,B,C
三点共线
C.B,C,D
三点共线
D.A,C,D
三点共线
【
解析
】
选
A.
易知
=(-2m,8n)+(3m,-3n)=(m,5n),
所以
,
即
,
所以
A,B,D
三点共线
.
5.(
必修
4P92 A
组
T7
改编
)
已知两点
A(-5,7),B(-2,3),
则与 共线的单位向量
e
的
坐标为
.
【
解析
】
=(-2,3)-(-5,7)=(3,-4),
答案
:
【
思想方法
】
数形结合思想在向量中的应用
【
典例
】
已知
| |=1,| |= , =0,
点
C
在∠
AOB
内
,
且 的夹角
为
30°,
设
(m,n∈R),
则 的值为
.
世纪金榜导
学号
【
解析
】
因为
=0,
所以
,
以
OA
为
x
轴
,OB
为
y
轴建立平面直角坐
标系
,
则
=(1,0),
因为
tan 30°= ,
所以
m=3n,
即
=3.
答案
:
3
【
思想方法指导
】
向量中的数形结合思想必须理清的四个问题
一是向量运算的平行四边形法则、三角形法则
;
二是向量模的几何意义
;
三是向量的方向
;
四是题目中涉及图形有哪些性质
.
【
迁移应用
】
已知在
Rt△ABC
中
,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D
是△
ABC
内一点
,
且∠
DAB=60°,
设
(λ,μ∈R),
则
= (
)
【
解析
】
选
A.
如图
,
以
A
为原点
,AB
所在直线为
x
轴
,AC
所在直线为
y
轴建立平面直角坐标系
,
则
B
点的坐标为
(1,0),C
点的坐标为
(0,2),
因为∠
DAB=60°,
所以设点
D(m, m)(m≠0).
=(
m
,
m
)=
=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),λ=
m
,μ=
m
,
所以
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