高中函数补充知识 5页

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  • 2021-06-16 发布

高中函数补充知识

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函数补充知识 【初等函数】 1、抽象函数的周期 (1)f(a±x)=f(b±x) T=|b-a| (2)f(a±x)=-f(b±x) T=2|b-a| (3)f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a (4)f(x-a)=f(x+a) T=2a (5)f(x+a)=-f(x) T=2a 2.奇偶函数概念的推广及其周期: (1)对于函数 f(x),若存在常数 a,使得 f(a-x)=f(a+x),则称 f(x)为广义(Ⅰ) 型偶函数,且当有两个相异实数 a,b 同时满足时,f(x)为周期函数 T=2|b-a| (2)若 f(a-x)=-f(a+x),则 f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数,当有两个相异实数 a,b 同时满足时,f(x)为周期函数 T=2|b-a| 3.抽象函数的对称性 (1)若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c ,则函数关于( , )成中心对称(充要) (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数关于直线 x= 成轴对称(充要) 4、函数 ( )y f x 的图像按向量 ( , )a k h 平移后,得函数 ( )y h f x k   的图像. 5、形如 ( 0, )ax by c ad bccx d    的图像是等轴双曲线,双曲线两渐近线分别直线 dx c  (由分母为零确定)、直线 ay c (由分子、分母中 x 的系数确定),双曲线的中心是 点 ( , )d a c c . 【三角函数】 1.三角形恒等式 (1)在△中, (2) 正切定理和余切定理: 在非 Rt△中,有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (3) (4) 2、任意三角形射影定理(又称第一余弦定理): 在△ABC 中,有: a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA 3、(1)任意三角形内切圆半径 r= (S 为面积), (2)外接圆半径 (3) 欧拉不等式:R>2r 4、和差化积公式(只记忆第一条) sinα+sinβ=2sin cos sinα-sinβ=2cos sin cosα+cosβ=2cos cos cosα-cosβ=-2sin sin 5、积化和差公式 sinαsinβ=- cosαcosβ= sinαcosβ= cosαsinβ= 6、万能公式 2tan1 2tan2 tan, 2tan1 2tan1 cos, 2tan1 2tan2 sin 22 2 2        7、三角混合不等式:若 x∈(0, ),sinx<x<tanx 当 x→0 时 sinx x tanx 8、三角形变形公式 9、在△中,sinA>sinB cos2A>cos2B 10、三角形三边 a.b.c 成等差数列,则 11、正弦平方差公式 )sin()sin(sinsin 22   【洛必达法则】 【法则 1】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1)  lim 0x a f x  及  lim 0x a g x  ; (2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3)    limx a f x lg x   , 那么    limx a f x g x =    limx a f x lg x   。 【法则 2】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1)  lim 0x f x  及  lim 0x g x  ; (2) 0A  ,f(x) 和 g(x)在 , A 与 ,A  上可导,且 g'(x)≠0; (3)    limx f x lg x   , 那么    limx f x g x =    limx f x lg x   。 法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1)  limx a f x   及  limx a g x   ; (2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3)    limx a f x lg x   , 那么    limx a f x g x =    limx a f x lg x   。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ○1 将上面公式中的 x→a,x→∞换成 x→+∞,x→-∞, x a  , x a  洛必达法则也 成立。○2 洛必达法则可处理 0 0 ,   , 0 ,1 , 0 , 00 ,    型。 ○3 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 0 0 ,   , 0 ,1 , 0 , 00 ,    型 定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这 时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 ○4 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 【双绝对值函数图像】 【中值定理与函数凹凸性】 中值 定理 名称 条件 结论 罗尔 中值 定理 )(xfy  : (1)在 ][a,b 上连续; (2) 在 )(a,b 内可导;(3) )()( bfaf  至少存在一点 )(a,bξ  使得 0)(/ ξf 拉格 朗日 中值 定理 )(xfy  : (1)在 ][a,b 上连续; (2) 在 )(a,b 内可导 至少存在一点 )b,a( 使得 )(/ ξf ab afbf   )()( 柯西 中值 定理 )(xf 、 )(xg : (1)在 ][a,b 上连续, 在 )(a,b 内可导;(2)在 )(a,b 内每点处 0)(/ xg 至少存在一点 )(a,bξ  使得 ab afbf ξg ξf   )()( )( )( / / 1、曲线凹凸性的概念:设 )(xf 在区间 I 内连续,如果对 I 上任意两点 21 , xx ,恒有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf  ,则称 )(xf 在 I 上的图形是凹的; 如果恒有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf  ,则称 )(xf 在 I 上的图形是凸的。 2、拐点的概念:连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。 3、曲线凹凸性的判别法:设 )(xf 在 ][a,b 上连续,在 )(a,b 内具有一阶和二阶导数,则 (1)若在 )(a,b 内 ( ) 0f x  ,则 )(xfy  在 ][a,b 上的图形是凹的; (2)若在 )(a,b 内 ( ) 0f x  ,则 )(xfy  在 ][a,b 上的图形是凸的。