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- 2021-06-16 发布
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函数补充知识
【初等函数】
1、抽象函数的周期
(1)f(a±x)=f(b±x) T=|b-a|
(2)f(a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|
(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a
(4)f(x-a)=f(x+a) T=2a
(5)f(x+a)=-f(x) T=2a
2.奇偶函数概念的推广及其周期:
(1)对于函数 f(x),若存在常数 a,使得 f(a-x)=f(a+x),则称 f(x)为广义(Ⅰ)
型偶函数,且当有两个相异实数 a,b 同时满足时,f(x)为周期函数 T=2|b-a|
(2)若 f(a-x)=-f(a+x),则 f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数,当有两个相异实数 a,b
同时满足时,f(x)为周期函数 T=2|b-a|
3.抽象函数的对称性
(1)若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c ,则函数关于( , )成中心对称(充要)
(2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数关于直线 x= 成轴对称(充要)
4、函数 ( )y f x 的图像按向量 ( , )a k h 平移后,得函数 ( )y h f x k 的图像.
5、形如 ( 0, )ax by c ad bccx d
的图像是等轴双曲线,双曲线两渐近线分别直线
dx c (由分母为零确定)、直线 ay c (由分子、分母中 x 的系数确定),双曲线的中心是
点 ( , )d a
c c .
【三角函数】
1.三角形恒等式
(1)在△中,
(2) 正切定理和余切定理:
在非 Rt△中,有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
(3)
(4)
2、任意三角形射影定理(又称第一余弦定理):
在△ABC 中,有: a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA
3、(1)任意三角形内切圆半径 r= (S 为面积),
(2)外接圆半径 (3) 欧拉不等式:R>2r
4、和差化积公式(只记忆第一条)
sinα+sinβ=2sin cos sinα-sinβ=2cos sin
cosα+cosβ=2cos cos cosα-cosβ=-2sin sin
5、积化和差公式
sinαsinβ=- cosαcosβ=
sinαcosβ= cosαsinβ=
6、万能公式
2tan1
2tan2
tan,
2tan1
2tan1
cos,
2tan1
2tan2
sin
22
2
2
7、三角混合不等式:若 x∈(0, ),sinx<x<tanx 当 x→0 时 sinx x tanx
8、三角形变形公式
9、在△中,sinA>sinB cos2A>cos2B
10、三角形三边 a.b.c 成等差数列,则
11、正弦平方差公式
)sin()sin(sinsin 22
【洛必达法则】
【法则 1】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim 0x a
f x
及 lim 0x a
g x
;
(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3)
limx a
f x lg x
,
那么
limx a
f x
g x
=
limx a
f x lg x
。
【法则 2】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) lim 0x
f x
及 lim 0x
g x
;
(2) 0A ,f(x) 和 g(x)在 , A 与 ,A 上可导,且 g'(x)≠0;
(3)
limx
f x lg x
,
那么
limx
f x
g x
=
limx
f x lg x
。
法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件:(1) limx a
f x
及 limx a
g x
;
(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0; (3)
limx a
f x lg x
,
那么
limx a
f x
g x
=
limx a
f x lg x
。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
○1 将上面公式中的 x→a,x→∞换成 x→+∞,x→-∞, x a , x a 洛必达法则也
成立。○2 洛必达法则可处理 0
0
,
, 0 ,1 , 0 , 00 , 型。
○3 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 0
0
,
, 0 ,1 , 0 , 00 , 型
定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这
时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。
○4 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。
【双绝对值函数图像】
【中值定理与函数凹凸性】
中值
定理
名称 条件 结论
罗尔
中值
定理
)(xfy : (1)在 ][a,b 上连续; (2)
在 )(a,b 内可导;(3) )()( bfaf
至少存在一点 )(a,bξ 使得
0)(/ ξf
拉格
朗日
中值
定理
)(xfy : (1)在 ][a,b 上连续; (2)
在 )(a,b 内可导
至少存在一点 )b,a( 使得
)(/ ξf ab
afbf
)()(
柯西
中值
定理
)(xf 、 )(xg : (1)在 ][a,b 上连续,
在 )(a,b 内可导;(2)在 )(a,b 内每点处
0)(/ xg
至少存在一点 )(a,bξ 使得
ab
afbf
ξg
ξf
)()(
)(
)(
/
/
1、曲线凹凸性的概念:设 )(xf 在区间 I 内连续,如果对 I 上任意两点 21 , xx ,恒有
2
)()()2( 2121 xfxfxxf ,则称 )(xf 在 I 上的图形是凹的;
如果恒有
2
)()()2( 2121 xfxfxxf ,则称 )(xf 在 I 上的图形是凸的。
2、拐点的概念:连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。
3、曲线凹凸性的判别法:设 )(xf 在 ][a,b 上连续,在 )(a,b 内具有一阶和二阶导数,则
(1)若在 )(a,b 内 ( ) 0f x ,则 )(xfy 在 ][a,b 上的图形是凹的;
(2)若在 )(a,b 内 ( ) 0f x ,则 )(xfy 在 ][a,b 上的图形是凸的。
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