高考数学黄金考点精析精训考点09导数的运算及其几何意义理 14页

考点 9 导数的运算及其几何意义 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.了解导数概念的实际背景； 2.理解导数的几何意义； 3.会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能 求简单的复合函数（仅限于形如 ( )f ax b 的导数） 2.命题方向预测： 导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义 为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归 纳起来常见的命题探究角度往往有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． 3.课本结论总结： 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ 1 xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3） 2 ( ) '( ) ( ) '( ) ( )'( ) ( ) f x f x g x g x f x g x g x        (g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 3. 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数几何意义： 函数 ( )y f x 在点 0x 处的导数 0'( )f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线和斜率， 即 0'( )k f x . 相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 4.名师二级结论： 当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则进行求导，求导时要注意分 清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量， 同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是由于 求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环. 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版选修 2-2 第 6 页，例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要 对原油进行冷却和加热.如果在第 x h 时，原油的温度（单位：℃）为 2( ) 7 15(0 8)y f x x x x      .计算第 2h 与第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义. 【经典理由】结合具体的实例，给出了结论： 0'( )f x 反映了原油温度在时刻 0x 附近的变化情 况，阐述了导数的意义：导数可以描述瞬时变化率. (2)新课标 A 版选修 2-2 第 17 页，例 4 求下列函数的导数（1） 2(2 3)y x  ；（2） 0.05 1xy e  ； （3） sin( )y x   ( 其中 ， 均为常数 ) ； 【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法. 6.考点交汇展示： (1)导数与函数图象相结合 例 1.【2018 届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】已知函数  f x 在 R 上可导， 其部分图象如图所示，设    4 2 4 2 f f a   ，则下列不等式正确的是（ ） A.    2 4a f f    B.    2 4f a f   C.    4 2f f a   D.    2 4f f a   【答案】B 【解析】 由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以      2, 2 , 4, 4f f 两点连续的斜率    4 2 4 2 f f  大小，在点   2, 2f 处的切线斜率  ' 2f 与点   4, 4f 的切 线斜率  ' 4f 之间，    ' 2 ' 4f a f   ，故选 B. (2)导数与不等式相结合 例 2.【2018 届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】已知函数 为自然对 数的底数. （1）过点 的切线斜率为 ，求实数 的值； （2）当 时，求证： . 【答案】（1） （2）见解析 【解析】试题分析：(1)对函数求导，由题意可知点 A 在函数 f(x)图像上， =2 可求得 a 的值。（2）即 ，构造函数 g ,x>0,利用导数证明。 【考点分类】 热点 1 导数的运算 1.已知函数  f x 的导函数为  'f x ,且满足    2 ' 1 lnf x xf x  ,则  ' 1f  （ ） A． e B． 1 C．1 D． e 【答案】B 【解析】          12 ' 1 1 2 ' 1 1 1 1f x f f f fx           ，所以选 B. 2.已知 '( )f x 是 ( ) sin cosf x x a x  的导函数，且 2'( )4 4f   ，则实数 a 的值为（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 3 4 D．1 【答案】B 【解析】由题意可得 '( ) cos sinf x x a x  ，由 2'( )4 4f   可得 2 2 2 2 2 4a  ，解之 得 1 2a  ，故选 B. 3.【2018 届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上第一次月考】曲线 在点 处切线为 ，则 等于( ) A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】由题意可得 ,而 = = ， 选 C. 【方法规律】导数运算时，要注意以下几点： 1.尽可能的把原函数化为幂函数和的形式； 2.遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量； 3.求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量. 热点 2 导数的几何意义 1.【2018 届江西省高三阶段性检测二】曲线 在点 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 ，得 ,则切线的斜率为 ，又 所以切线方程为： ，即 故选：D. 2.曲线 3)( 3  xxxf 在点 P 处的切线平行于直线 12  xy ，则 P 点的坐标为（ ） A． )3,1( B． )3,1( C． )3,1( 和 )3,1( D． )3,1(  【答案】C. 【解析】因 2'( ) 3 1f x x  ，令 '( ) 2f x  ，故 23 1 2 1x x    或 1 ，所以 (1,3)P 或 ( 1,3) ，经检验，点 (1,3) ， ( 1,3) 均不在直线 2 1y x  上，故选 C． 3.【2016 高考新课标 2 理数】若直线 y kx b  是曲线 ln 2y x  的切线，也是曲线 ln( 1)y x  的切线，则 b  ． 【答案】1 ln2 【方法规律】 曲线的切线的求法： 若已知曲线过点 0 0( , )P x y ，求曲线过点 P 的切线则需分点 0 0( , )P x y 是切点和不是切点两种情 况求解． (1)点 0 0( , )P x y 是切点的切线方程为 0 0 0'( )( )y y f x x x   ． (2)当点 0 0( , )P x y 不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 1 1'( , ( ))P x f x ； 第二步：写出过 1 1'( , ( ))P x f x 的切线方程为 1 1 1( ) '( )( )y f x f x x x   ； 第三步：将点 P 的坐标 0 0( , )x y 代入切线方程求出 1x ； 第四步：将 1x 的值代入方程 1 1 1( ) '( )( )y f x f x x x   可得过点 0 0( , )P x y 的切线方程． 热点 3 导数的几何意义的应用 1.【2018 届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】已知点 P 在曲线 C: 4 1xy e   上，则 曲线 C 在 P 处切线的倾斜角的取值范围是 _________. 【答案】 3 ,4      【解析】由    2 4 4 1,011 2 x x x x ey e e e          ，所以 3 , .4      2. 【 2018 届 广 东 省 中 山 市 第 一 中 学 高 三 第 一 次 统 测 】 若 函 数 与 函 数 有公切线，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 ，设切点分别是 ，所以切线方程分别 为： ，化简为 ，所以 消 ，得 令 ， ，所以 f(x)在 单调递减， ， ，填 . 3.已知函数 3( ) .f x x x  （1）求曲线 ( )y f x 在点 (1, 0)M  处的切线方程； （2）如果过点 (1, )b 可作曲线 ( )y f x 的三条切线, 求实数b 的取值范围. 【答案】（1） 2 2y x   ；（2） ( 1, 0)b  ． 【解析】 （1） 2'( ) 3 1.f x x  '(1) 2f  . 曲线 ( )y f x 在点 (1, 0)M  处的切线方程为: 2 2y x   . （2） 3 0 0 0( , ), x x x 设切点 则切线方程为 3 0 0 0 0 ( ) '( )( )y x x f x x x    . (1, ), b又切线过点 所以 2 3 0 0 0 0(3 1)(1 )x x x x b     ， 即 3 2 0 02 3 1 0x x b    . 由题意, 上述关于 0x 方程有三个不同的实数解. 记 3 2( ) 2 3 1, ( ) .g x x x b g x    则 有三个不同的零点 '( ) 6 ( 1), (0) (1) 0 , ( 1, 0).g x x x g g b    而 则 即可 也就是 【解题技巧】 导数的应用除研究切线方程外，还有许多应用，如： （1）因为有些物理量，如瞬时速度，瞬时加速度，瞬时功率，瞬时电流和瞬时感应电动势等 与导数有着直接或间接的关系，在解题时应紧扣这些联系来解决问题； （2）利用导数的性质求解参数的取值范围问题，解决这类问题的一般方法是待定系数法，即 根据题设条件，利用导数工具所列出所需的方程或方程组，然后加以求解即可. 【易错点睛】 利用导数解决恒成立或存在性问题的基本思想是转化成函数的最值问题，利用导数来判断函 数的单调性求七最值，在过程中，通常会用到分离变量法或者含参讨论以及构造函数.此外， 在分析题目描述的问题是需分析清楚到底是恒成立问题还是存在性问题. 【热点预测】 1. 【2016 高考山东理数】若函数 ( )y f x 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的 切线互相垂直，则称 ( )y f x 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ） （A） siny x （B） lny x （C） exy  （D） 3y x 【答案】A 【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函 数值的乘积为负一. 当 siny x 时， cosy x  ，有 cos 0 cos 1   ，所以在函数 siny x 图象存在两点 0,x x   使条件成立，故 A 正确；函数 3ln , ,xy x y e y x   的导数值均非负，不符合题 意，故选 A. 2.【2017 浙江，7】函数 y=f(x)的导函数 ( )y f x 的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可 能是 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D． 3. 【2018 届江西省莲塘一中高三 9 月】设曲线 1ny x  ( n ∈N*)在(1,1)处的切线与 x 轴的 交点的横坐标为 nx ，则 2017 1 2017 2 2017 2016log log ...... logx x x   的值为 ( ). A. 2017log 2016 B. －1 C. 2017log 2016 1 D. 1 【答案】B 4. 设函数 ' ( )f x 是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数， ( 1) 0f   ，当 0x  时， ' ( ) ( ) 0xf x f x  ， 则使得 ( ) 0f x  成立的 x 的取值范围是（ ） A． ( , 1) (0,1)   B． ( 1,0) (1, )  C． ( , 1) ( 1,0)   D． (0,1) (1, ) 【答案】A 【解析】记函数 ( )( ) f xg x x  ，则 ' ' 2 ( ) ( )( ) xf x f xg x x  ，因为当 0x  时， ' ( ) ( ) 0xf x f x  ， 故当 0x  时， ' ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 (0, ) 单调递减；又因为函数 ( )( )f x x R 是奇函数， 故函数 ( )g x 是偶函数，所以 ( )g x 在 ( ,0) 单调递减，且 ( 1) (1) 0g g   ．当 0 1x  时， ( ) 0g x  ，则 ( ) 0f x  ；当 1x   时， ( ) 0g x  ，则 ( ) 0f x  ，综上所述，使得 ( ) 0f x  成 立的 x 的取值范围是 ( , 1) (0,1)   ，故选 A． 5.【2018 届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】已知函数 若直线过点 ,且与曲线 相切,则直线的方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设切点为 则切线方程为 ，从而 斜率 解得 所以的方程为 即 故选 C. 6.【2018 届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】已知曲线 2x ay e y x 与 恰好存在两 条公切线，则实数 a 的取值范围是 A.  2ln2 2,  B.  2ln2, C.  ,2ln2 2  D.  ,2ln2 2  【答案】D 【解析】设直线 ( 0)y kx b k   为它们的公切线，联立 2{ y kx b y x    可得 2 4 0k b  ① x ay e  求导可得 x ay e  ，令 x ae k  可得 lnx k a  ，所以切点坐标为  ln , lnk a k k ak b   ，代入 x ay e  可得 lnk k k ak b   ②.联立①②可得 2 4 4 4 ln 0k k ak k k    ，化简得 4 4 4lna k k   。令   4lng k k k  ，   4 1g k k    ，      0, 0; 0,0 4; 0, 4g k k g k k g k k       g k 在 0,4 内单调递增，在 4, 内单调递减，    max 4 4ln4 4g k g   。 有两条公切线，  4 4 4lna k k   方程有两解， 4 4 4ln4 4a    2ln2 2a   ，所以答案为 D. 7.已知函数 ( ) 4lnf x x x  ，则曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为___________. 【答案】3 4 0x y   【解析】 ' 4( ) 1f x x   ， ' (1) 3f   ， (1) 1f  切线方程 1 3( 1)y x    ，即3 4 0x y   . 8.已知 P ， Q 为抛物线 2 2x y 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4， 2，过 P,Q 分别作抛物 线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为_________． 【答案】 4 . 9. 【2018 届河南省南阳一中高三上第三次考】经过原点 0,0 作函数   3 23f x x x  图像的 切线，则切线方程为__________． 【答案】y=0 或 9x+4y=0 【解析】由题可得 2' 3 4f x x （ ） ．设切线的斜率为 k． （1）当切点是原点时 ' 0 4k f （ ） ，所以所求曲线的切线方程为 4y x ． （2）当切点不是原点时，设切点是 0 0x y（ ， ），则有 3 2 2 0 0 0 0 02 ' 3 4y x x k f x x    ， （ ） ，① 又 20 0 0 0 2yk x xx    ，② 由①②得方程组无解，故曲线的切线方程是 4y x ； 故答案为 4y x ． 10.【2018 届江苏省南通中学高三 10 月月考】已知函数 ，若曲线 在点 处的切线经过圆： 的圆心，则实数的值是________. 【答案】 【解析】由题意可得： ， 且 ， 据此可得，切线方程为： ， 圆的圆心为 ，切线过圆心，则： . 11.已知偶函数  f x 在 R 上的任一取值都有导数，且 (1) 1, ( 2) ( 2)f f x f x     ，则曲线  y f x 在 5x   处的切线的斜率为 ． 【答案】 1 ． 12.已知函数  y f x 的图象在点   2, 2M f 处的切线方程是 4y x  ，则    2 2f f   ． 【答案】 7 【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知 1)2( f ，有点 M 必在切线 上，代入切线方程 4y x  ，可得 6)2( f ，所以有 7)2()2(  ff ． 13.已知点 P 在曲线 4 1xy e   （其中 e 为自然对数的底数）上， 为曲线在点 P 处的切线的 倾斜角，则 tan 的取值范围是 ． 【答案】 )0,1[ 【解析】由导数的几何意义 ytan 12 4 2  xx x ee e 21 4   x x ee 212 4   x x ee 1 ，又因为 0xe ，所以 0tan  ，故 )0,1[tan  . 14.【2018 届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上三校联考】设函数   2ln ( 0)f x a x bx x   ，若函数  f x 在 1x  处的切线方程为 6 2 7 0x y   ． （Ⅰ）求实数 ,a b 的值； （Ⅱ）求函数  f x 在 1 ,ee      上的最大值． 【答案】(I) 4 和 1 2 . (II) 4ln2 2 . 【解析】试题分析: (I)根据导数的几何意义,可知函数  f x 在 1x  处的导数即为切线的斜 率,又点(1, 1 2  )为切点,列出方程解出 a,b 的值; (II)把 a,b 的值代入解析式,对函数求导判 断单调性,根据单调区间写出函数的最值. 试题解析:(I)  ' 2 ,( 0)af x bx xx    ， ∵函数  f x 在 1x  处的切线方程为 6 2 7 0x y   . ∴     ' 1 2 3, { 11 ,2 f a b f b        解得 4, { 1 .2 a b   所以实数 ,a b 的值分别为 4 和 1 2 . (II)由(I)知，   214ln 2f x x x  ，   24 4' xf x xx x    ， 当 1 x ee   时，令  ' 0f x  ，得 1 2xe   ， 令  ' 0f x  ， 得 2 x e  , ∴  f x 在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，  f x 在 2x  处取得极大值这个极大值也是  f x 的最大值. 又  2 4ln2 2f   ， 所以，函数  f x 在 1 ,ee      上的最大值为 4ln2 2 .