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- 2021-06-16 发布
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1.简单随机抽样
(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法.
2.系统抽样的步骤
一般地,假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
(1)先将总体的N个个体编号;
(2)确定分段间隔k,对编号进行分段.当(n是样本容量)是整数时,取k=;
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k);
(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加k得到第3个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本.
3.分层抽样
(1)定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
(2)分层抽样的应用范围:
当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.( √ )
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.( × )
(3)抽签法中,先抽的人抽中的可能性大.( × )
(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样.( √ )
(5)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( × )
(6)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( × )
1.(教材改编)某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A.33,34,33 B.25,56,19
C.20,40,30 D.30,50,20
答案 B
解析 因为125∶280∶95=25∶56∶19,
所以抽取人数分别为25,56,19.
2.(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.系统抽样法
C.分层抽样法 D.随机数法
答案 C
解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法.
3.(1)某学校为了了解2016年高考数学学科的考试成绩,在高考后对1 200名学生进行抽样调查,其中文科400名考生,理科600名考生,艺术和体育类考生共200名,从中抽取120名考生作为样本.
(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会.
Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法
问题与方法配对正确的是( )
A.(1)Ⅲ,(2)Ⅰ B.(1)Ⅰ,(2)Ⅱ
C.(1)Ⅱ,(2)Ⅲ D.(1)Ⅲ,(2)Ⅱ
答案 A
解析 通过分析可知,对于(1),应采用分层抽样法,对于(2),应采用简单随机抽样法.
4.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为________.
答案 695
解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,
分段间隔数k===20,则抽取的第35个编号为a35=15+(35-1)×20=695.
5.某学校高一,高二,高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
答案 15
解析 设应从高二年级抽取x名学生,则x∶50=3∶10,解得x=15.
题型一 简单随机抽样
例1 (1)以下抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
(2)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C.02 D.01
答案 (1)D (2)D
解析 (1)选项A、B不是简单随机抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的;选项C不是简单随机抽样,因为总体的个体有明显的层次;选项D是简单随机抽样.
(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)
在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
(1)下列抽样试验中,适合用抽签法的有( )
A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________________.
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
答案 (1)B (2)①②③④
解析 (1)A,D中的总体个体数较多,不适宜抽签法,C中甲、乙两厂的产品质量有区别,也不适宜抽签法,故选B.
(2)①不是简单随机抽样.
②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.
③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.
题型二 系统抽样
例2 (1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由题意知,将1~35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.故选B.
(2)由=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落在区间[481,720]的人数为==12.
引申探究
1.本例(2)中条件不变,若第三组抽得的号码为44,则在第八组中抽得的号码是________.
答案 144
解析 在第八组中抽得的号码为(8-3)×20+44=144.
2.本例(2)中条件不变,若在编号为[481,720]中抽取8人,则样本容量为________.
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720-480=240人,又在[481,720]中抽取8人,
所以抽样比应为240∶8=30∶1,又因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为=28.
思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
(1)(2017·马鞍山月考)高三(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是( )
A.8 B.13 C.15 D.18
(2)(2016·烟台模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7 B.9 C.10 D.15
答案 (1)D (2)C
解析 (1)分段间隔为=13,故还有一个学生的编号为5+13=18,故选D.
(2)由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.
落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
例3 (1)(2016·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于( )
A.54 B.90 C.45 D.126
(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.
答案 (1)B (2)1 800
解析 (1)依题意得×n=18,解得n=90,即样本容量为90.
(2)分层抽样中各层的抽样比相同.样本中甲设备生产的产品有50件,则乙设备生产的产品有30件.在4 800件产品中,甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3,所以乙设备生产的产品的总数为1 800件.
命题点2 求某层入样的个体数
例4 (1) (2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
(2)(2015·福建)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.
答案 (1)C (2)25
解析 (1)由题意抽样比为=,
∴该样本中的老年教师人数为900×=180.
(2)由题意知,男生共有500名,根据分层抽样的特点,在容量为45
的样本中男生应抽取人数为45×=25.
思维升华 分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
(1)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.
(2)某公司共有1 000名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本,已告知广告部门被抽取了4个员工,则广告部门的员工人数为________.
答案 (1)200,20 (2)50
解析 (1)该地区中小学生总人数为
3 500+2 000+4 500=10 000,
则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%=20.
(2)=,x=50.
五审图表找规律
典例 (12分)某单位有2 000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1 200
共计
160
320
480
1 040
2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?
(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)
要以老、中、青分层,用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样
↓
要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解
↓(可认为亚运会是大众体育盛会,一个单位人员对情况了解相当)
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2 000)
人员较多,可采用系统抽样
规范解答
解 (1)按老年、中年、青年分层,用分层抽样法抽取,[1分]
抽取比例为=.[2分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人.[4分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层,用分层抽样法抽取,[5分]
抽取比例为=,[6分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人.[8分]
(3)用系统抽样,
对全部2 000人随机编号,号码从0001~2000,每100号分为一组,从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1 900,共20人组成一个样本.[12分]
1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
答案 B
解析 设样本容量为N,则N×=6,∴N=14,
∴高二年级所抽学生人数为14×=8.
2.(2017·榆林月考)打桥牌时,将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后,开始按次序搬牌,对任何一家来说,都是从52张总体抽取一个13张的样本.这种抽样方法是( )
A.系统抽样 B.分层抽样
C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法
答案 A
解析 符合系统抽样的特点,故选A.
3.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2
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