高考数学专题复习教案： 空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略 4页

空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略 主标题：空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：点，直线，平面，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容 考点一　平面的基本性质及其应用 ‎【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)．‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；‎ ‎③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是(　　)．‎ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析　(1)①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．‎ ‎(2)如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形．‎ 同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.‎ ‎∴截面为六边形PQFGRE.‎ 答案　(1)B　(2)D ‎【备考策略】(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．‎ ‎(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．‎ 考点二　空间两条直线的位置关系 ‎【例2】 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ 解析　把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.‎ 答案　②③④‎ ‎【备考策略】 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．‎ 考点三　异面直线所成的角 ‎【例3】 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求四棱锥的体积；‎ ‎(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．‎ 审题路线　(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积．‎ ‎(2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值．‎ 解　(1)在四棱锥P－ABCD中，‎ ‎∵PO⊥面ABCD，‎ ‎∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，‎ ‎∵BO＝AB·sin 30°＝1，‎ ‎∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan 60°＝，‎ ‎∵底面菱形的面积S＝2××22＝2.‎ ‎∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×2×＝2.‎ ‎(2)取AB的中点F，连接EF，DF，‎ ‎∵E为PB中点，∴EF∥PA，‎ ‎∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．‎ 在Rt△AOB中，AO＝AB·cos 30°＝＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝，‎ ‎∴EF＝.‎ 在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝，‎ 在△DEF中，由余弦定理，‎ 得cos∠DEF＝ ‎＝＝＝.‎ 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.‎ ‎【备考策略】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．‎ ‎(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．‎