高考数学模拟试卷 (16) 12页

- 1 - 长郡中学 2018 届高考模拟卷（一） 数学（理科）(16) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合  || | 2A x x  ，  |1 3B x x   ，则 A B 等于（ ） A． | 2 1x x   B． | 2 3x x   C． | 2 3x x  D． |1 2x x  2.若 (1 )z i i  ，则| |z 等于（ ） A．1 B． 3 2 C． 2 2 D． 1 2 3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, ) 上单调递减的函数为（ ） A． 3y x B． 1ln | |y x  C． | |2 xy  D． cosy x 4.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ） A． 2 B． 4 3 C． 5 4 D．1 5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直， 则该几何体的体积是（ ） - 2 - A． 20 3 B．16 3 C．8 6  D．8 3  6.将函数 ( ) sin(2 )3f x x   的图象向右平移 个单位，得到的图像关于原点对称，则 的 最小正值为（ ） A． 6  B． 3  C． 5 12  D． 7 12  7.某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如图： A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 8.已知等比数列 na 的各项都是正数，且 13a ， 3 1 2 a ， 22a 成等差数列， 8 9 6 7 a a a a   （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 9.在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 ABC 的面积为 S ，且 2 22 ( )S a b c   ，则 tanC  （ ） A． 3 4  B． 4 3  C． 3 4 D． 4 3 10.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的左右焦点分别为 1F ， 2F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右 支上的点， 1 2PF F 的内切圆的圆心为 I ，且圆 I 与 x 轴相切于点 A ，过 2F 作直线 PI 的垂线， - 3 - 垂足为 B ，若 e 为双曲线的离心率，则（ ） A．| | | |OB e OA B．| | | |OA e OB C．| | | |OB OA D．| |OA 与| |OB 关系不确定 11.如图，在 OMN 中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB   （ x ，y R ）， 且点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界），则 1 2 y x y    的取值范围是（ ） A． 1 2,3 3      B． 1 3,3 4      C． 1 3,4 4      D． 1 2,4 3      12.在实数集 R 中，我们定义的大小关系“  ”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这 平面向量集合  | ( , ), ,D a a x y x R y R     上也可以定义一个称为“序”的关系，记为 “  ”．定义如下：对于任意两个向量 1 1 1( , )a x y ， 2 2 2( , )a x y ， 1 2a a  当且仅当“ 1 2x x ” 或“ 1 2x x 且 1 2y y ”，按上述定义的关系“  ”，给出下列四个命题： ①若 1 (1,0)e  ， 2 (0,1)e  ， 0 (0,0) ，则 1 2 0e e    ； ②若 1 2a a  ， 2 3a a  ，则 1 3a a  ； ③若 1 2a a  ，则对于任意的 a D ， 1 2a a a a      ； ④对于任意的向量 0a   ，其中 0 (0,0) ，若 1 2a a  ，则 1 2a a a a      ． 其中正确的命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若 2 51( )ax x  的展开式中 5x 的系数是 80 ，则实数 a  ． - 4 - 14.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于 A 、B 两点，| | 12AB  ， P 为C 的准线l 上一点，则 ABP 的面积为 ． 15.已知 14 C 的半衰期为 5730 年（是指经过 5730 年后，14 C 的残余量占原始量的一半）．设 14 C 的原始量为 a ，经过 x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量 a 的关系如下： kxb ae ，其中 x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14 C 的残余量约占 原始量约占原始量的 76.7% ．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今 年．（已 知 2log 0.767 0.4  ） 16.已知 ( ) | 2018| | 2017 | | 1| | 1| | 2017 | | 2018|f x x x x x x x             … … （ x R ），且满足 2( 3 2) ( 1)f a a f a    的整数 a 共有 n 个， 2 2 2sin cos2 2( ) 3cos sin2 2 x x g x kxx x   （ 0x  ）的最大值为 m ，且 3m n  ，则实数 k 的取值范围 为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 na ， nb 满足 1 2a  ， 12 1n n na a a   ， 1n nb a  ， 0nb  ． （1）求证：数列 1 nb       是等差数列，并求数列 na 的通项公式； （2）令 1 2n n n c b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 18.如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE  平面 ABCD ， / /AF DE ，且 6DE  ， 2AF  ． （1）试在线段 BD 上确定一点 M 的位置，使得 / /AM 平面 BEF ； （2）求二面角 A BE C  的余弦值． - 5 - 19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅 为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） (0,10] (10,15] (15, ) 从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： （1）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 家，求取到第二阶梯水量的户数 X 的分布列与数学期 望； （2）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若 抽到 n 户月用水量为二阶的可能性最大，求 n 的值． 20.已知 1F ， 2F 是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点，点 2( 1, )2P  在椭圆上，线段 2PF 与 y 轴的交点 M 满足 2PM MF  ． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 2F 作不与 x 轴重合的直线l ，设 l 与圆 2 2 2 2x y a b   相交于 A ， B 两点，与椭 圆相交于 C ， D 两点，当 1 1F A F B    且 2 ,13       时，求 1FCD 的面积 S 的取值范围． 21.已知函数 ( ) x xf x e e  ，其中 e 是自然对数的底数． （1）若关于 x 的不等式 ( ) 1xmf x e m   在 (0, ) 上恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）已知正数 a 满足：存在 0 [1, )x   ，使得 3 0 0 0( ) ( 3 )f x a x x   成立．试比较 1ae  与 1ea  的大小，并证明你的结论． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 - 6 - 在直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为 2 2( 6) 25x y   ． （1）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是 cos , sin x t y t      （t 为参数），l 与C 交于 A 、 B 两点，| | 10AB  ， 求直线l 的斜率． 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | |f x x a  ，其中 1a  ． （1）当 2a  时，求不等式 ( ) 4 | 4 |f x x   的解集； （2）已知关于 x 的不等式| (2 ) 2 ( ) | 2f x a f x   的解集为 |1 2x x  ，求 a 的值． - 7 - 长郡中学 2018 届高考模拟卷（一）数学（理科）答案(16) 一、选择题 1-5: DCBDA 6-10: ADDBC 11、12：CB 二、填空题 13. 2 14.36 15. 2292 16. 1 3k  三、解答题 17.解：（1）∵ 1n nb a  ，∴ 1n na b  ，由 12 1n n na a a   ， ∴ 12( 1) 1 ( 1)( 1)n n nb b b      ，化简得 1 1n n n nb b b b   ， ∵ 0nb  ， ∴ +1 1 1 1n n n n n n b b b b b b    ，即 +1 1 1 1 n nb b   （ *n N ）， 而 1 1 1 1 1 11 2 1b a     ， ∴数列 1 nb       是以 1 为首项，1 为公差的等差数列． ∴ 1 1 ( 1) 1 n n nb      ，即 1 ( *)nb n Nn   ，∴ 1 11n na n n    （ *n N ）． （2）由（1）知， 2n n nc  ，∴ 1 2 1 2 2 2 2n n nT    … ，∴ 2 3 1 1 1 2 2 2 2 2n n nT    … ， 两式相减得， 1 2 1 1 1 1 1(1 )1 1 1 1 22 2 112 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n nT               … ， 故 22 2n n nT   ． 18.（1）证明：取 BE 的三等分点 K （靠近点 B ），过 K 作 KM BD 交 BD 于 M ，则有 1 23KM DE  ，由 DE  平面 ABCD ， / /AF DE ，可知 AF  平面 ABCD ， ∴ AF BD ，∴ / /FA KM ，且 FA KM ． ∴四边形 FAMK 为平行四边形，可知 / /AM FK ，∴ / /AM 平面 BEF ， ∵ 1 3 MK BM ED BD   ，∴ M 为 BD 的一个三等分点（靠近点 B ）． - 8 - （2）如图建立空间直角坐标系：则 (3,0,0)A ， (3,3,0)B ， (0,0,6)E ， (0,3,0)C ， (3,3, 6)EB   ， (0,3,0)AB  ， ( 3,0,0)BC   ，设平面 AEB 的法向量为 1 1( , ,1)n x y ， 由 1 1 1 3 3 6 0, 3 0, x y y      可得 (2,0,1)n  ． 设平面 BCE 的法向量为 2 2( , ,1)m x y ，由 2 2 2 3 3 6 0, 3 0, x y x      可得 (0,2,1)m  ， 因为二面角 A BE C  为钝二面角，可得 2 2 2 0 0 2 1 1cos | | 52 1 2 1            ， 所以二面角 A BE C  余弦值为 1 5  ． 19.解：（1）由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 2 户，二阶的有 6 户，三阶的有 2 户． 第二阶段水量的户数 X 的可能取值为 0,1,2,3， - 9 - 3 0 4 6 3 10 1( 0) 30 C CP X C    ， 2 1 4 6 3 10 3( 1) 10 C CP X C    ， 1 2 4 6 3 10 1( 2) 2 C CP X C    ， 0 3 4 6 3 10 1( 3) 6 C CP X C    ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 1 3 1 1 9( ) 0 1 2 330 10 2 6 5E X          ． （2）设Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得 3~ (10, )5Y B ， 所以 10 10 3 2( ) ( ) ( )5 5 k k kP Y k C   ，其中 k  0,1,2，…,10． 设 10 10 1 1 11 10 3 2( ) ( )( ) 3(11 )5 5 3 2( 1) 2( ) ( )5 5 k k k k k k CP Y k kt P Y k kC          ， 若 1t  ，则 6.6k  ， ( 1) ( )P Y k P Y k    ； 若 1t  ，则 6.6k  ， ( 1) ( )P Y k P Y k    ． 所以当 6k  或 7 ， ( )P Y k 可能最大， 6 6 4 10 7 7 3 10 3 2( ) ( )( 6) 75 5 3 2( 7) 6( ) ( )5 5 CP Y P Y C    1 ，所以 n 的取值为 6 ． 20.解：（1）∵ 2PM MF ，则 M 为线段 2PF 的中点，∴OM 是 1 2PF F 的中位线， 又 1 2OM F F ，∴ 1 1 2PF F F ，于是 1c  ，且 2 2 1 1 12a b   ，解得 2 2a  ， 2 2 1b c  ， ∴椭圆的标准方程为 2 2 12 x y  ． （2）由（1）知 1( 1,0)F  ， 2 (1,0)F ，由题意，设直线l 的方程为 1x ty  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 由 2 2 1, 3, x ty x y      得 2 2( 1) 2 2 0t y ty    ，则 1 2 2 2 1 ty y t     ， 1 2 2 2 1y y t    ． 1 1 1 1 2 2( 1, ) ( 1, )F A F B x y x y      1 1 1 2( 1)( 1)x x y y    1 2 1 2( 2)( 2)ty ty y y    - 10 - 2 1 2 1 2( 1) 2 ( ) 4t y y t y y     2 2 2 2 4 2 22 41 1 t t t t       ． ∵ 1 1 2 ,13F A F B         ，∴ 2 2 2 2 2 13 1 t t   ，解得 2 1 1,3 2t      ． 由 2 2 1, 1,2 x ty x y     消 x 得 2 2( 2) 2 1 0t y ty    ，设 3 3( , )C x y ， 4 4( , )D x y ， 则 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 1 | | | | ( ) 42F CDS F F y y y y y y       2 2 2 2 4( )2 2 t t t     2 2 2 8( 1) ( 2) t t   ． 设 2 1t m  ，则 2 8 8 1( 1) 2 mS m m m     ，其中 4 3,3 2m      ， ∵ S 关于 m 在 4 3,3 2      上为减函数，∴ 4 3 4 6,5 7S       ，即 1FCD 的面积 S 的取值范围为 4 3 4 6,5 7       ． 21.解：（1）由条件知 ( 1) 1x x xm e e e     在 (0, ) 上恒成立， 令 xt e （ 0x  ），则 1t  ，所以 2 1 1 11 1 11 tm t t t t         对于任意 1t  成立． 因为 1 11 1 2 ( 1) 1 31 ( 1)t tt t          ，∴ 1 1 1 31 11t t       ， 当且仅当 2t  ，即 ln 2x  时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是 1( , ]3   ． （2）令函数 31( ) ( 3 )x xg x e a x xe      ，则 21'( ) 3 ( 1)x xg x e a xe     ， 当 1x  时， 1 0x xe e   ， 2 1 0x   ，又 0a  ，故 '( ) 0g x  ， 所以 ( )g x 是[1, ) 上的单调递增函数， 因此 ( )g x 在[1, ) 上的最小值是 1(1) 2g e e a   ． - 11 - 由于存在 0 [1, )x   ，使 0 0 3 0 0( 3 ) 0x xe e a x x     成立，当且仅当最小值 (1) 0g  ， 故 1 2 0e e a   ，即 1 2 e ea  ． 1ae  与 1ea  均为正数，同取自然底数的对数， 即比较 ( 1)lna e 与 ( 1)lne a 的大小，试比较 ln 1 e e  与 ln 1 a a  的大小． 构造函数 ln( ) 1 xh x x   （ 1x  ），则 2 11 ln '( ) ( 1) xxh x x     ， 再设 1( ) 1 lnm x xx    ， 2 1'( ) xm x x  ，从而 ( )m x 在 (1, ) 上单调递减， 此时 ( ) (1) 0m x m  ，故 '( ) 0h x  在 (1, ) 上恒成立，则 ln( ) 1 xh x x   在 (1,+ ) 上单调递 减． 综上所述，当 1 ( , )2 e ea e  时， 1 1a ee a  ； 当 a e 时， 1 1a ee a  ； 当 ( , )a e  时， 1 1a ee a  ． 22.解：（1）由 cosx   ， siny   可得C 的极坐标方程 2 12 cos 11 0     ． （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为  （ R  ）， 由 A ， B 所对应的极径分别为 1 ， 2 ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 2 12 cos 11 0     ， 于是 1 2 12cos     ， 1 2 11   ， 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 144cos 44AB              ， 由| | 10AB  得 2 3cos 8   ， 15tan 3    ， 所以l 的斜率为 15 3 或 15 3  ． - 12 - 23.解：（1）当 2a  时， 2 6, 2, ( ) | 4 | 2,2 4, 2 6, 4, x x f x x x x x            当 2x  时，由 ( ) 4 | 4 |f x x   得 2 6 4x   ，解得 1x  ； 当 2 4x  时，由 ( ) 4 | 4 |f x x   得无解； 当 4x  时，由 ( ) 4 | 4 |f x x   得 2 6 4x   ，解得 5x  ， 故不等式的解集为 | 1 5x x x 或 ． （2）令 ( ) (2 ) 2 ( )h x f x a f x   ，则 2 , 0, ( ) 4 2 ,0 , 2 , , a x h x x a x a a x a         由| ( ) | 2h x  ，解得 1 1 2 2 a ax   ， 又知| ( ) | 2h x  的解集为 |1 2x x  ，所以 1 1,2 1 2,2 a a     于是解得 3a  ．