高一数学必修学业水平复习 61页

三角函数复习 一、任意角的三角函数 1、角的概念的推广 正角 负角 o x y 的终边 的终边 ),(  零角 3、象限角： 注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。 4、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：  { | 360 , }S k k Z       { | 2 , }k k Z       （角度制） （弧度制） 例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角0 360 0 2到 1 950 12 2   （）、 19（ ）、3 48129 1 3 原点 x轴的非负半轴 2、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。 角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。 1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 2、象限角、象间角与区间角的区别    Zkkk  2,2 x y O x y O x y O x y O 3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式   Zkk 2  Zkk    Zkk  2 二、终边相同的角 (1)与  角终边相同的角的集合: 1.几类特殊角的表示方法 { | =2k+, k∈Z}. (2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: 2k<<2k+ , kZ 2  第二象限角: 2k+ <<2k+, kZ 2  第三象限角: 2k+<<2k+ , kZ2 3 第四象限角: 2  2k+ <<2k+2, kZ 或 2k- <<2k, kZ2 3 三、角的基本概念 ②轴线角 x 轴的非负半轴: =k360º(2k) (kZ); x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+) (kZ); y 轴的非负半轴: =k360º+90º(2k+ )(kZ); 2  y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ ) 或 =k360º-90º(2k- )(kZ); 2 3 2  x 轴: =k180º(k)(kZ); y 轴: =k180º+90º(k+ )(kZ); 2  坐标轴: =k90º( )(kZ). 2 k 例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合： （2）、终边落在y轴上的角度集合： （3）、终边落在象限平分线上的角度集合： { | , }k k Z    { | , }2 k k Z     { | , }4 2 k k Z      2、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。 O A B r r 2r O A B r 度 弧度 0 0 30 6  45 4  3  60 2  120 3 2 135 4 3 150 6 5 270  2 3 180 360 2 90 2、角度与弧度的互化  3602 180 1801 185730.57)180(1 ,    弧度 特殊角的角度数与弧度数的对应表 1）、角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便 地进行换算. 应熟记一些特殊角的度数和弧度数. 在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制 rad  1180180 rad1801    30.571801      rad 2)、弧长公式和扇形面积公式. rl  rnrnl 1802 360     rlrrS 2 1 2 1 2 22    22 360360 rnrnS     注意： （1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在 平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线 三角函数 三角函数线 正弦函数 余弦函数 正切函数 正弦线MP 正弦、余弦函数的图象 y xxO-1  P M A(1,0) T sin=MP cos=OM tan=AT 注意：三角 函数线是有 向线段！ 余弦线OM 正切线AT     为第二象限角时 为第一象限角时 为第三象限角时 为第四象限角时 sin cos sin , ,y r  cos ,x r  x y o 0 1 -1 0 + +_ _ 1 0 0 -1 x y o + + _ _ 不存在 x y o 0 0 不存在 _ +_ + tan ,y x  tan 一、任意角的三角函数定义 x y o ● P(x,y) r 的终边 sin ,cos ,tany x y r r x   = = = 二、同角三角函数的基本关系式 商关系： sintan cos  = 平方关系： 2 2sin cos 1 + = 22 yxr  三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦” 设00900，对于任意一个00到3600的角 =       ， 当[00，900] 1800-， 当[900，1800] 1800+，当[1800，2700] 3600-，当[2700，3600] 如何求非锐角的三角函数值呢？ 角1800-， 1800+， 3600-的三角函数值与 的三角函数值有何关系呢？  sin)2sin(  k  cos)2cos(  k  tan)2tan(  k  -sinsin(  ）  -coscos(  ）  tantan(  ）  sinsin(  ）  -coscos(  ）  tantan(  ）  -sinsin(  ）  coscos(  ）  tantan(  ） （注意：把 看作是锐角） sin( ) cos2 cos( ) sin2 tan( ) cot2                sin( ) cos2 cos( ) sin2 tan( ) cot2                  公式五： 公式六： 偶同奇余 象限定号 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 锐角三 角函数 到 的角 的三角函数 o0 o360 用公式三或一 用公式一 用公式 二或四 你记住了吗？ 度 弧 度 00 030 045 060 090 0120 0135 0150 0180 0270 0360 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6  3 2  2 sin cos tan cot 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 20 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 1 0 三、三角函数图像和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义 值域 奇偶性 对称 中心 2   kx  0,k       0,2 k      0,2 k R R [-1,1] [-1,1] R 奇 奇偶 y=sinx y=cosx y=tanx { | , }2x x k k Z    )(22,22 Zkkk      )(2 32,22 Zkkk       )(2,2 Zkkk    )(2,2 Zkkk  )(2,2 zkkk        ))(0,( Zkk  )(2 Zkkx   )( Zkkx   ))(0,2( Zkk   ))(0,2( Zkk  2T 2T T 定义域 值域 奇偶性 单调性 周期性 对称性 R R R[-1,1] [-1,1] 奇函数 奇函数偶函数 增区间： 增区间： 增区间： 减区间： 减区间： 对称中心： 对称中心： 对称中心： 对称轴： 对称轴： ． y=sinx y x 1 -1 /2 2 o 3/2 ． ．．．  五点作图法 ． /2 3/2 2 o y x y=cosx ． ． ．1 -1 对称点：(k,0) 对称轴：x=k+ 2 对称轴：x=k 对称点：(k+ ,0)  2 T/2 k∈Z k∈Z T/2 正切函数的性质： 6、对称性：对称中心 ( ,0)2 k xO y 1 1 2  2 3 2  2 2 3 4 1y 1y 7、渐进线： 2x k   1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法 法一：五点法 法二：图象变换法 （1）振幅变换（对A） （2）周期变换（对ω） （3）相位变换（对φ） (二) y=Asin(ωx+φ)的相关问题 1、先由图象确定A与T 2、由ω= 2 T 求ω 3、特殊点代入法求 对称轴：ωx+=k+  2 x= 2k+-2 2ω 对称中心: k- ω ,0  k为整数  3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法 4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的对称中心 和对称轴方程 )sin(   xAy xy sin 0 0 || )sin(  xy  1 10   1 )sin(   xy )sin(   xAy xy sin 10   1  1 xy sin 0 0   || )sin(   xy )sin(   xAy  )的简图.Asin(ωx1.五点法作函数y  的思想.看图说话3." " )的图象.Asin(ωx函数y2.通过图象变换得到  时 "的思想.代点看趋4. " 势求解析式 注意 sin( )y A x B    函数系列要求： sin( )y A x B    十二、两角和与差的正弦、余弦、正切： ( ) :S   ( ) :S   ( ) :C   ( ) :C   ( )T   ( ) :T   sin( ) sin cos cos sin        sin( ) sin cos cos sin        cos( ) cos cos sin sin        cos( ) cos cos sin sin        tan tantan( ) 1 tan tan         tan tantan( ) 1 tan tan         ( )T   ( )T   如： ( ) ,2 ( ) ( )               2 ( ) ( ),2 ( )                 3 6         与 互余， + 与 互余4 4 3、倍角公式  cossin22sin   22 sincos2cos   22 sin211cos2  1sincos 22     2tan1 tan22tan  注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别 2 2cos1cos2   2 2cos1sin 2   返回 和角公式的一个重要变形 ]cos,sin[ )sin(cossin 2222 22 ba a ba b xbaxbxa        其中 21 cos cos2 2    21 cos sin2 2    2 1 cos2sin 2   2 1 cos2cos 2   降 幂 （ 扩 角 ） 公 式 升 幂 （ 缩 角 ） 公 式 和差化积公式： 积化和差公式： 1sin cos [sin( ) sin( )]2          1cos sin [sin( ) sin( )]2          1cos cos [cos( ) cos( )]2          1sin sin [cos( ) cos( )]2           sin sin 2sin cos2 2         cos cos 2sin sin2 2          sin sin 2cos sin2 2         cos cos 2cos cos2 2         找出非特殊角和特殊角之间的关系, 这种技巧在化简求值中经常用到，并且 三角式变形有规律即坚持“二化”： 多角同角化 异名同名化 山东学业水平测试题 • 1.(08年3).若点P(-1，2)在角的终边上，则tan 等于 A. -2 B. C. D. • 2.(08年6).为了得到函数y=sin（2x- ）(X R）的图像， 只需把函数 y=sin2x 的图像上所有的点 （ ） A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度  5 5 2 1 5 52 A 3   3  3  6  6  B 山东学业水平测试题 3、(2010 山东 7T） 4、(2010 山东 1月 9T） 在ΔABC中，sinAsinB-cosAcosB<0则这个三角形一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 B B 山东学业水平测试题 5、 6、 D B 山东学业水平测试题 7、 C 山东学业水平测试题 (2013 12月 山东 2T） （ ） 8、 9、  ,0 B 山东学业水平测试题 (2013 12月 山东 3T） (2013 12月 山东 10T） 10、 11、 B C 山东学业水平测试题 (2013 12月 山东 14T） (2013 12月 山东 18T） 12、 13、 D A 山东学业水平测试题 (2013 12月 山东 25T） (2013 山东 1月 3T） 14、 15、 c o s 9  A 山东学业水平测试题 (2013 山东 1月 10T） (2011 山东 1月 5T） 的值为 A. 0 B. C. D. 1 1 2 3 2 0 0 0 0cos75 cos15 sin 75 sin15 17、 16、 D B 山东学业水平测试题 (2013 山东 1月 13T）18、 C 山东学业水平测试题 (2011 山东 1月 10T） 已知函数 ，下面结论正确 的是（ ） A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 在区间 上是增函数 C. 函数 是奇函数 D. 函数 的图象关于直线 对称 ( ) sin( )( )2f x x x R   2  [0, ]2  0x  ( ) sin( )( )2f x x x R   ( ) sin( )( )2f x x x R   ( ) sin( )( )2f x x x R   ( ) sin( )( )2f x x x R   19、 D 山东学业水平测试题 (2011 山东 1月 19T） 已知 ，则 等于 。3sin , ( , )5 2     sin 2 (2010 山东 1T） 20、 21、 25 24 D 山东学业水平测试题 • 22、(08年21).（本小题满分6分） 求函数f（x）=2sin（x+ ）-2cosx的最大值。6  xxxxxxf cossin3cos2)cos2 1sin2 3(2)(  6  6  解: = 2sin(x－ ) . ∵ －1≤sin(x－ )≤1 ∴ f (x)max = 2 . 平面向量学业水平复习 高一数学(必修4) 一.基本概念 1.向量及向量的模、向量的表示方法 1)图形表示 2)字母表示 3)坐标表示 A B a AB  有向线段AB :| | | |a AB 向量的模 ( , )a xi y j x y     ( , ) ( , )a OA x y A x y    点 ( , )B A B Aa AB x x y y     一.基本概念 2.零向量及其特殊性 3.单位向量 (1)0 / /a   (2) 0  (3)0 a   0 0 | | 1a  4.平行向量，相等向量，相反向量 5.两个非零向量 的夹角a b  与 [0, ]  二.基本运算 AB BC AC    ( )a R a   向量 与 共线 AB AC CB    a b  a b  a 1. 向量线性运算 2.两个非零向量 的数量积a b  与 a b  | | | | cosa b    b a  叫做向量 在 方向上的投影| | cosb  1 1 2 2( , ), ( , ), 1) 2) 3) 4) a x y b x y a b a b a a b                    若 则 )yy,xx( 2121  )yy,xx( 2121  )y,x( 11  二.基本运算（坐标途径） 2121 yyxx  5) | | 6)cos | || | a a a a b a b              2 1 2 1 yx  2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx   1. / / b a b a      向量 和非零向量 2. a b  非零向量 和 则若 ),y,x(b),y,x(a 2211  0yxyx 1221  0yyxx 2121  三.两个等价条件 b a  有唯一的实数 ，使 0a b  a b   四.一个基本定理 2.平面向量基本定理 . ee eea,, ,a, ee 21 221121 21 基底平面内所有向量的一组 叫做表示这一、把不共线的向量 使有且只有一对实数 任一向量那么对于这一平面内的向量 共线的是同一平面内的两个不、如果  利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组 山东学业水平测试题 • 1、(08年19)、设 且 的夹 角为钝角，则x的取值范围是___________. • 2、(10年20）、设┃a┃=12，┃b┃=9， a b= -54 ， 则a和 b的夹角θ为______. ),5,3(),2,(  bxa ba ,10- 3 6 5 X＞ 且x≠  2    4 3 山东学业水平测试题 3、 4、 C C 山东学业水平测试题 (2013 12月 山东 6T） (2013 12月 山东 8T） 5、（1） 5、（2） B B 山东学业水平测试题 (2013 12月山东 22T） (2013 1月 山东 21T）6、(2) 6、(1)        3 2 )4,2(  山东学业水平测试题 (2013 1月 山东 26T）     间．的最大 值最大值及单调 ，求 设函数3,1 ,3,sin1 已知向量 f(x)baf(x) bxa   7、 山东学业水平测试题 (2011 1月 山东 4T） 已知向量 ，则 的坐标为 A. （-5,3） B.（-1,5） C.（5,-3） D.（1，-5） (2,1), ( 3,4)a b    a b  8、 C 山东学业水平测试题 • (10年 24题 8分） 已知函数 求f(x)的最大值,并求使f(x)取得最大值时x 的集合 9、 Rxxxxf  ,cos2 1sin2 3)( 山东学业水平测试题 (2011 1月 山东 22T 6分） 已知平面向量 ，设 函数 ，求函数 的最大值及取 最 大值时 的值。 解： 当 即 时，函 数 取得最大值 (1, 3), (cos ,sin )a b x x   ( )f x a b   ( )f x a b   x 10、 xxxxbaxf sin3cos)sin,(cos)3,1()(  )6sin(2)sin2 3cos2 1(2  xxx 226   kx 32   kx )(xf 2. 山东学业水平测试题 (2011 1月 山东 25T 8分） 已知平面上两点 ，动点 满足 (1)求动点 的轨迹C的方程。 (2)若点 是轨迹C内一点，过点Q任作直线 交轨迹C于A,B两点，使证： 的值只与 有关； 令 ，求 的取值范围。 (4,0), (1,0)M N P | | 2 | |PM PN  P ( ,0)Q a l QA QB a ( )f a QA QB  ( )f a QA QB  11、