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- 2021-06-16 发布
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§1.2 回归分析
第二课时
一、基础过关
1.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)成线性相关关系,且 r<0,则其回归方程可能是
( )
A.y
^
=-10x+200 B.y
^
=10x+200
C.y
^
=-10x-200 D.y
^
=10x-200
2.在回归直线方程y
^
=a
^
+b
^
x 中,回归系数b
^
表示
( )
A.当 x=0 时,y 的平均值
B.x 变动一个单位时,y 的实际变动量
C.y 变动一个单位时,x 的平均变动量
D.x 变动一个单位时,y 的平均变动量
3.下列说法中正确的有:①若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大;②若 r<0,则 x 增大时,
y 也相应增大;③若 r=1,或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点
图上各个散点均在一条直线上.
( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
4.每一吨铸铁成本 yc(元)与铸件废品率 x%建立的回归直线方程 yc=56+8x,下列说法正
确的是 ( )
A.废品率每增加 1%,成本每吨增加 64 元
B.废品率每增加 1%,成本每吨增加 8%
C.废品率每增加 1%,成本每吨增加 8 元
D.如果废品率增加 1%,则每吨成本为 56 元
5.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立地做 10 次和 15
次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知在两个人的试验中
发现对变量 x 的观测数据的平均值恰好相等,都为 s,对变量 y 的观测数据的平均值也
恰好相等,都为 t.那么下列说法正确的是
( )
A.直线 l1 和 l2 有交点(s,t)
B.直线 l1 和 l2 相交,但是交点未必是点(s,t)
C.直线 l1 和 l2 由于斜率相等,所以必定平行
D.直线 l1 和 l2 必定重合
二、能力提升
6.研究人员对 10 个家庭的儿童问题行为程度(x)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果
如下,家庭 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,儿童得分:72,40,52,87,39,95,12,64,49,46,母亲得分:
79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.
下列哪个方程可以较恰当的拟合 ( )
A.y
^
=0.771 1x+26.528
B.y
^
=36.958ln x-74.604
C.y
^
=1.177 8x1.014 5
D.y
^
=20.924e0.019 3x
7.已知 x,y 之间的一组数据如下表:
x 1.08 1.12 1.19 1.25
y 2.25 2.37 2.43 2.55
则 y 与 x 之间的回归直线方程y
^
=b
^
x+a
^
必过点___________________________.
8.已知回归直线方程为y
^
=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为________.
9.关于回归分析,下列说法错误的是__________.(填序号)
①在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,那么因变量不能由自变量唯一
确定;
②散点图反映变量间的线性相关关系,误差较大;
③散点图能明确反映变量间的关系.
10.在彩色显影中,由经验知:形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y=Aeb
x (b<0)
表示.现测得试验数据如下:
xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10
yi 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37
xi 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47
yi 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29
试求 y 对 x 的回归方程.
11.为了研究某种细菌随时间 x 变化时,繁殖个数 y 的变化,收集数据如下:
天数 x/天 1 2 3 4 5 6
繁殖个数 y/个 6 12 25 49 95 190
(1)用天数 x 作解释变量,繁殖个数 y 作预报变量,作出这些数据的散点图;
(2)描述解释变量 x 与预报变量 y 之间的关系.
三、探究与拓展
12.下表给出了我国从 1949 年至 1999 年人口数据资料,试根据表中数据估计我国 2004 年
的人口数,并作出相关性检验.
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
人口
数/百
万
542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246
答案
1.A 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B
7.(1.16,2.4) 8.11.69 9.③
10.解 由题给的经验公式 y=Aeb
x
,两边取自然对数,便得 ln y=ln A+b
x
,与回归直线方
程相对照,只要取 u=1
x
,v=ln y,a=ln A.就有 v=a+bu.
题给数据经变量置换 u=1
x
,v=ln y 变成如下表所示的数据:
ui 20.000 16.667 4.000 3.226 14.286 10.000
vi -2.303 -1.966 0 0.113 -1.470 -0.994
ui 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128
vi 0.174 0.223 -0.528 -0.236 0.255
可得 ln y
^
=0.548-0.146
x
,即y
^
=e0.548-0.146
x
=e0.548·e-0.146
x
≈1.73e-0.146
x
,
这就是 y 对 x 的回归方程.
11.解 (1)所作散点图如图所示.
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型函数 y=c1ec2x 的周围,于是令 z=ln y,则
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
由计算器得:z
^
=0.69x+1.115,
则有y
^
=e0.69x+1.115.
12.解 为了简化数据,先将年份减去 1949,得到下表:
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y 542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246
作出散点图如图,根据公式可得回归直线方程为y
^
=527.591+14.453x.
由于 2004 对应的 x=55,代入回归直线方程可得y
^
=1 322.506(百万),即 2004 年的人
口总数估计为 13.23 亿.
下面对其进行线性相关性检验:
(1)作统计假设 H0∶x 与 y 不具有线性相关;
(2)由 0.01 与 n-2=9 的附表中查得 r0.01=0.735;
(3)根据公式得相关系数 r=0.998;
(4)因为|r|=0.998>0.735,即|r|>r0.01,
所以有 99%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关关系,回归直线方程为y
^
=527.591+
14.453x,用这个方程去估计我国 2004 年的人口数是有意义的.
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