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- 2021-06-16 发布
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参考公式:
圆锥的侧面积公式: S =
1
高一年级期末测试
数 学
1 cl ,其中 c 为底面圆的周长,l 是母线长;
2
高一数学
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锥体体积公式:V =
Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;
3
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第 10 页 (共 4 页)
球的体积公式:V = 4 πR3 ,其中 R 为球的半径.
3
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 直线 3x - y +1 = 0 倾斜角的大小是( )
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π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
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2. 计算sin 95°cos50° - cos95°sin 50° 的结果为( )
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A. - 2 2
B. 1
2
C. 2
D. 2
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3. 已知圆锥的底面直径与高都是 4,则该圆锥的侧面积为( )
A. 4π B. 4 3π C. 4 5π D. 8
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4. 已知a 满足tan(a + π)
4
1
= 3 ,则
tana = ( )
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A. - 1
2
,
1. 已知
1
B.
5 , cos
5
3 10
10
2
均为锐角,满足sin
C.2 D. -2
,则 =( )
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π π
A. B.
6 4
π 3π
C. D.
3 4
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2
2
3
5. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,则点 C 到平面 BDD1B1 的距离为( )
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A.1 B.
C. 2
D. 2
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6. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a
cos B
,则△ABC 形状是( )
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b cos A A D
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2, E , F 分别为 BC , CD 的中点, F
沿 AE,EF,FA 将正方形折起,使 B,C,D 重合于点O ,构成
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四面体 A - OEF ,则四面体 A - OEF 的体积为( )
B E C
(第 8 题)
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A. 1
3
B. 3
C. 1
2
D. 6
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[ 3 , +¥)
2
2. 已知点 A(2, 2),B(-1,3) ,若直线 kx - y -1 = 0 与线段 AB 有交点,则实数 k 的取值范围是( )
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( 3 , +¥)
2
A. (-¥, -4)
B. (-4, )
3
2
C. (-¥, -4]
D.[-4, ]
3
2
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3. 已知 m,n 表示两条不同直线,a , b 表示两个不同平面,下列说法正确的是( )
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A.若 m ^ n , n Ì a ,则 m ^ a
C.若a∥ b , m∥ b ,则 m∥a
B.若m∥ a , m∥ b ,则a∥ b
D.若m∥a, n ^ a, 则m ^ n
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4. 如图,一个底面水平放置的倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,容器内有一定量的水,水深为 h. 若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后,水面所在的平面恰好经过铁球的球心 O(水没有溢出),则 h 的值为( )
3 2
2
3 2
2π
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A. B.
9
C. D.
3
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5. 已知圆 O:
x2 + y2 = 1,直线l : 3x - 4 y + m = 0 与圆 O 交于 A,B 两点,若圆 O 外一点 C
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O
B
C
A
(第 11 题)
满足OC = OA + OB ,则实数 m 的值可以为( )
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A.5 B. - 5 2
C. 1
2
D. -3
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二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知直线l1 方程为 x + 2 y - 2 = 0 ,直线l2 的方程为
(m - 1)x + (m + 1) y + 1 = 0 ,若l1 // l2 ,则实数m 的值为 ▲ .
14. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, M , N 分别为棱 AD , D1D 的中点,则异面直线MN 与
AC 所成的角大小为 ▲ .
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B π
3
15. 已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足
,a c
3b , 则 a ▲ .
c
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16. 已知圆O : x2 + y2 = r2 (r > 0) ,直线l :mx + n y = r2 与圆O 相切,点 P 坐标为(m, n) , 点 A 坐标为(3, 4) ,若满足条件 PA=2 的点 P 有两个,则r 的取值范围为 ▲ .
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三.解答题:本大题共 6 题,第 17~18 每题题 10 分,第 19~21 题每题 12 分,第 22 题 14
分,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 10 分)
如图,在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形,
P
M
D C
A
N
B
M 为 PC 的中点,N 为 AB 的中点.
(1) 求证:AB⊥PD;
(2) 求证:MN∥ 平面 PAD.
(第 17 题)
18.(本题满分 10 分)
3 π
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已知sina =
,a Î(0, ) .
5 2
π
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(1)求sin(a +
) 的值;
4
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(2)若tan b = 1 ,求tan(2a - b ) 的值.
3
19. (本题满分 12 分)
y
B
C
M
E
A
O
x
在△ABC 中,A (-1, 2) ,边 AC 上的高 BE 所在的直线方程为7x + 4 y - 46 = 0 ,边 AB 上中线 CM 所在的直线方程为2x -11y + 54 = 0 .
(1) 求点 C 坐标;
(2) 求直线 BC 的方程.
(第 19 题)
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20.(本题满分 12 分)
2
如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,AC=13,CD=5, AD = 9 .
A
B
D
C
(1) 求 cosC 的值;
(2) 若cos B = 4 ,求△ABC 的面积.
5
(第 20 题)
21. (本题满分 12 分)
如图所示,四边形 OAPB 中,OA⊥OB,PA+PB=10,∠PAO=∠PBO,∠APB = 5π .
6
A
P
α
O
B
(第 21 题)
设∠POA= a ,△AOB 的面积为 S.
(1) 用a 表示 OA 和 OB;
(2) 求△AOB 面积 S 的最大值.
22.(本题满分 14 分)
如图,已知圆O : x2 + y2 = 4 与 y 轴交于 A, B 两点(A 在 B 的上方),直线l : y = kx - 4 .
(1) 当 k = 2 时,求直线l 被圆O 截得的弦长;
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(2) 若
k = 0 ,点C 为直线l 上一动点(不在 y 轴上),直线CA,CB 的斜率分别为k1 , k2 ,
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y
A
O
Q
x
P
B
C
(第 22 题)
直线CA,CB 与圆的另一交点分别 P, Q .
①问是否存在实数 m ,使得k = mk 成立?若存在,
1 2
求出 m 的值;若不存在,说明理由;
②证明:直线 PQ 经过定点,并求出定点坐标.
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数学参考答案及评分标准
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
1~5 BCCAB 6~10 BDACD 11~12 BD.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 3 14. 15.或 16.
三.解答题:本大题共6题,第17~18每题题10分,第19~21题每题12分,第22题14分,共70分.
17 证明:因为四边形为矩形,所以.
因为,
A
B
C
N
M
P
(第17题)
D
E
,
,
所以,……….3分
因为,
所以; ……………5分
取的中点,连接,,
在中,为的中点,为的中点,
所以ME是△PDC的中位线,
所以,
在矩形中,,
所以,
因为为中点,所以,
所以四边形为平行四边形. …………8分
所以,
因为,,
所以. …………10分
18解:(1)因为,
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所以,…………2分
所以,
;…………5分
(2)由(1)得,…………7分
所以.…………10分
19解:(1)边上的高,故的斜率为,
所以的方程为,
即, ………2分
因为的方程为
解得
所以. ……………6分
(2)设,为中点,则的坐标为,
解得,
所以, ……………10分
又因为,
所以的方程为
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即的方程为. ……………12分
20解:(1)在△ADC中,由余弦定理得,
;……………4分
(2),
, ……………6分
. ……………8分
在中,由正弦定理,
得,, …………10分
.…………12分
21解:(1)在中,由正弦定理得.
在中,由正弦定理得.
因为∠PAO=∠PBO,PA+PB=10,所以,
则,. ……3分
因为四边形OAPB内角和为2,可得∠PAO=∠PBO=,
在中,由正弦定理得,
即,
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所以,
在中,由正弦定理得即,
则,
所以, .…………6分
(2) 的面积
. …………9分
设,.
则.
当时,即时,有最大值.
所以三角形面积的最大值为. …………12分
22解:(1)当时,直线的方程为,
圆心到直线的距离,
所以,直线被圆截得的弦长为; ……3分
(2)若,直线的方程为,
①设,则,,
由可得,所以存在的值为; ………6分
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②证明:直线方程为,与圆方程联立得:,
所以,,解得或,
所以, ………8分
同理可得,即 ………10分
所以 ………12分
所以直线的方程为,
即,所以,直线经过定点. ………14分
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