2021届高考数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件新人教A版 34页

第 1 节　平面向量的概念及线性运算 考试要求　 1. 了解向量的实际背景； 2. 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3. 理解向量的几何表示； 4. 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6. 了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 知 识 梳 理 1. 向量的有关概念 (1) 向量：既有 _______ 又有 _______ 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ______________ . (2) 零向量： __________ 的向量，其方向是任意的 . (3) 单位向量：长度等于 ___________ 的向量 . (4) 平行向量：方向 _______ 或 _______ 的非零向量 . 平行向量又叫 ___________ . 规定： 0 与任一向量 _______ . (5) 相等向量：长度 _______ 且方向 _______ 的向量 . (6) 相反向量：长度 _______ 且方向 _______ 的向量 . 大小 方向 长度 ( 或模 ) 长度为 0 1 个单位 相同 相反 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 2. 向量的线性运算 向量 运算 定　义 法则 ( 或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 (1) 交换律： a ＋ b ＝ _______ . (2) 结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ ____________ b ＋ a a ＋ ( b ＋ c ) 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a － b ＝ a ＋ ( － b ) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (1)| λ a | ＝ _______ ； (2) 当 λ ＞ 0 时， λ a 的方向与 a 的方向 _______ ；当 λ ＜ 0 时， λ a 的方向与 a 的方向 _______ ；当 λ ＝ 0 时， λ a ＝ _____ λ ( μ a ) ＝ _______ ； ( λ ＋ μ ) a ＝ _______ ； λ ( a ＋ b ) ＝ _______ | λ || a | 相同 相反 0 λμ a λ a ＋ μ a λ a ＋ λ b 3. 共线向量定理 向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ，使得 ____________. b ＝ λ a 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析　 (2) 若 b ＝ 0 ，则 a 与 c 不一定平行 . (3) 共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A ， B ， C ， D 四点不一定在一条直线上 . 答案 　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ A. ① B. ③ C. ①③ D. ①② 答案　 A A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 5. (2019· 西安调研 ) 设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a ＋ λ b 与－ ( b － 2 a ) 共线，则 λ ＝ ________. 考点一　平面向量的概念 (2) ① 正确 . ∵ a ＝ b ， ∴ a ， b 的长度相等且方向相同， 又 b ＝ c ， ∴ b ， c 的长度相等且方向相同， ∴ a ， c 的长度相等且方向相同，故 a ＝ c . 又 A ， B ， C ， D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， ③ 不正确 . 当 a ∥ b 且方向相反时，即使 | a | ＝ | b | ，也不能得到 a ＝ b ，故 | a | ＝ | b | 且 a ∥ b 不是 a ＝ b 的充要条件，而是必要不充分条件 . 答案　 (1)C 　 (2) ①② 规律方法　 向量有关概念的四个关注点： (1) 平行向量就是共线向量，二者是等价的； 非零向量的平行具有传递性； 相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量； 相等向量具有传递性 . (2) 向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小 . (3) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈 . 【训练 1 】 (1) 如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P ，点 E ， F 分别在两腰 AD ， BC 上， EF 过点 P ，且 EF ∥ AB ，则下列等式中成立的是 ( 　　 ) (2) 根据向量的有关概念可知 ①②③ 正确，对于 ④ ，当 λ ＝ μ ＝ 0 时， a 与 b 不一定共线，故 ④ 错误 . 答案　 (1)D 　 (2) ④ 考点二　向量的线性运算　 多维探究 角度 1 　平面向量的加、减运算的几何意义 【例 2 － 1 】 已知两个非零向量 a ， b 满足 | a ＋ b | ＝ | a － b | ，则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. a ∥ b B. a ⊥ b C.| a | ＝ | b | D. a ＋ b ＝ a － b 答案　 B 规律方法　 解题的关键：一是搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形，二是熟练运用向量的加、减法法则和运算律以及几何意义求解 . 角度 2 　向量的线性运算 ∵ E 为 BC 的中点， F 为 AE 的中点， 答案　 D 规律方法　 1. 解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 . 2. 在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示 . 角度 3 　利用向量的线性运算求参数 规律方法　 利用向量线性运算求解参数的思路： (1) 先利用向量的线性运算得到相关的线性表示， (2) 对比向量等式求出参数或建立方程 ( 组 ) 求解 . (2) 如图，连 BO 并延长交 AC 于点 M ， ∵ 点 O 为 △ ABC 的重心， ∴ M 为 AC 的中点， 答案　 (1)A 　 (2)D 考点三　共线向量定理及其应用 【例 3 】 设两向量 a 与 b 不共线 . (2) 解　 ∵ k a ＋ b 与 a ＋ k b 共线， ∴ 存在实数 λ ， 使 k a ＋ b ＝ λ ( a ＋ k b ) ，即 k a ＋ b ＝ λ a ＋ λk b ， ∴ ( k － λ ) a ＝ ( λk － 1) b . ∵ a ， b 是不共线的两个向量， ∴ k － λ ＝ λk － 1 ＝ 0 ， ∴ k 2 － 1 ＝ 0 ， ∴ k ＝ ±1. 规律方法　 1. 证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 . 2. 向量 a ， b 共线是指存在不全为零的实数 λ 1 ， λ 2 ，使 λ 1 a ＋ λ 2 b ＝ 0 成立 . 答案　 (1)D 　 (2)B